《第四第五.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四第五.ppt（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,第四章 第五节,定积分的概念,基础部 王辉,定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系.现在我们先从实例出发来看一下定积分的概念是怎样提出来的.,新课导入,举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面的形状是根据流体力学原理设计的。如图1所示。上端是一段抛物线，中间部分是直线，下部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确地
2、计算出它的断面面积。,思考：该断面的面积如何来求解呢？,讲授新课,早在三国时代，我国古代的数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积看成是多边形的面积来计算，我们可否借助这种思想来解决此类问题呢？,把模型适当的进行简化：,曲边梯形定义：设f(x)为闭区间a,b上的连续函数，且f(x)0.由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形.,问题对应的数学模型：,曲线下方图形的面积,曲边梯形的面积,下面我们来求曲边梯形的面积:,能否直接求出面积的准确值？,用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、正方形、矩形、任意的多边形？,如果用矩形，用几个呢？,思
3、考,一分为二,一分为四,一分为八,一分为 n,采用两个矩形的面积来近似与四个矩形的面积和来近似，一般来说哪个值更接近？四个矩形与八个相比呢？,可以看出随着划分越来越细，小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.,如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的过程呢？这可以分四步进行.,解决步骤:,y,o,x,a,b,1)分割.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点：,2)近似.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,得,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积：,同样的方法，我们可以求出长江三峡溢流坝断面的面积。,再看一个运动问
4、题：变速直线运动的路程,设某物体作变速直线运动.已知速度V=V(t)是时间间隔 T1,T2 上 t 的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程 S.,匀速直线运动：路程速度时间，于是在小的时间间隔 ti-1,ti 内经过的路程近似为,分割,近似代替,在 ti-1,ti 上任取一点i，于是在该小区间走过的路程可近似表示为,求和,总路程,取极限,令,则定义此极限值为物体所走过的路程。,前面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变速直线运动路程的运动学问题，它们最终都归结为一个特定形式的和式的极限.,结论：,在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，解决这类问题的思想方法概括起来就是
5、“分割、近似代替、求和、取极限”.这就是产生定积分概念的背景.,定义,记为,积分上限,积分下限,我们就称这个极限为函数f(x),注意：,(1)如果函数f(x)在区间a,b上的定积分,存在则称,函数f(x)在a,b上可积。,（2）定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量的记号无关,即有,(3)在定积分,的定义中,a总是小于b的,，为了今后使,用方便,对于 ab和a=b的情况作如下规定：,当,时,当,时,解 把区间0,1分成n等份,分点和小区间长度分别为,例题：利用定义计算定积分,取,作积分和,微积分及其创始人简介：,艾萨克牛顿1，Isaac newton(1643年1月4日1727年3
6、月20日)是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家牛顿在科学上最卓越的贡献是创建了微积分和经典力学。,微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为流数术。他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。,戈特弗里德威廉凡莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日1716年11月14日）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，气象学家、生物学家、语言学家、化学家、地质学家。一位举世罕见的科学天才，他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了
7、不可磨灭的贡献。,十七世纪下半叶，在前人如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。,牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。现在我们使用的微
8、积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。,欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。,就创造与发表的年代比较，牛顿创造微积分基本定理比莱布尼茨更早。但莱布尼茨比牛顿更早发表微积分的成果。故发明微积分的荣誉应属于他们两人。,你若想获得知识，你该下苦功；你若想
9、获得食物，你该下苦功；你若想得到快乐，你也该下苦功，因为辛苦是获得一切的定律。,胜利者往往是从坚持最后五分钟的时间中得来成功。,-牛顿（英国）,如果在a,b上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,如果在a,b上，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,有没有更简单的方法求出长江三峡溢流坝的断面面积呢？,利用定积分的几何意义，把曲线下方面积转化为定积分来计算即可。,讨论并思考,解 函数 y1x在区间0,1上的定积分是以y=1-x为 曲边,以区间0,1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以,1、用定积分的几何意义求,课堂练习,2、利用定积分的几何意义，说明下 列等式成立：,1、回顾四个步骤：化整为零细划分,不变代变得微分,积零为整微分和,无限累加得积分。,课堂小结,3、定积分的几何意义,2、加深概念理解的几个注意点,课后作业,课本108页 习题4.5 第1、2题,
