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1、函数单调性单元教学设计,北京市育英学校 关健,一、数学分析,1.函数的单调性在高中数学中的地位,(1)函数是高中数学的一条主线,克莱因：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”,函数与数列、不等式；解析几何；立体几何,一、数学分析,1.函数的单调性在高中数学中的地位,(1)函数是高中数学的一条主线,函数是客观世界的一个基本数学模型，用于刻画“变化”，体现两个变量的依存关系,一、数学分析,1.函数的单调性在高中数学中的地位,(2)函数有很多性质，高中阶段单调性最重要,奇偶性,周期性,对称性,简化对函数的研究，化繁为简,一、数学分析,1.
2、函数单调性在高中数学中的地位,(3)函数单调性贯穿整个数学教学,初中：以具体函数为载体，“感性”认识函数值随自变量的变化如何变化,高中：利用代数法和导数，“定性”、“定量”多角度研究函数的单调性,6,7,承前：延续和深化,启后：奠定基础,8,1、小学阶段：直观感知 小学低年级能够通过生活经验和数学课程的学习，对两个变量之间的变化关系有一定感性认识。小学高年级则进一步通过图像对两数量变化规律有了直观的认识。,9,学生已经能通过生活经验和乘除法的学习，自然地理解若购买某产品，购买数量越多，花的钱就越多；相同的钱，所购买的物品单价越高，可购买的物品数就越少。,小学低年级,在分数的学习过程中，学生能理
3、解把单位“1”平均分的份数越多，每份数就越少。在此基础上对同分子分数进行大小比较，知道分母越大，分数值越小,二年级（上下册）,三年级（上册）,10,六年级下册：首次用字母表示成正比例、反比例的量，新课标还首次出现平面直角坐标系，要求学生能通过图像表示两个成正比例的量，能根据图像直观看出两数量间的变化关系，通过该过程渗透函数思想,11,六年级下册：成反比例的量的图像表示只在习题中给出，要求学生能从图中直观看出数量变化规律，仅仅作为知识让学生认识了解即可,12,2、初中阶段：感性认识、自然语言描述 八年级上册：给出了函数定义，学生描点画图后，观察图像特点，能看图说话，揭示图像特征和函数变化规律存在
4、必然的联系。此时例题对直线y=x+0.5 及曲线y=等进行了认识，要求学生能说出图像特征：从左向右上升还是下降，对应的函数变化规律要求能表示为当x由小变大时，y随之增大还是减少。,13,1、值得关注的是：在课本信息技术应用部分，应用计算机画出了函数 与 的图像，并能根据图像指出图像与性质之间存在着必然的联系。,2、在此基础上，学习正比例函数和一次函数，要求学生能指出图像特征和函数变化规律（如：随着x的增大y也增大）本册书给出大量生活实例，如气温如何随时间的变化而变化？科学家如何测算地球的年龄（利用镭的半衰期）？用折线图表示我国近年来GDP情况及最近几年奥运奖牌获得情况，从中看出变化趋势。,14
5、,学习了反比例函数，能根据图像指出不同象限内，y值随x值的增大发生怎样变化？另外，也强调了随着x的变化，曲线越来越接近坐标轴。,学习了二次函数，能根据图像描述图形特征，但这并不是重点，重点在对称轴和顶点，能指出最高点、最低点并求出其坐标，在此基础上，学习了函数的最值。拓广探索习题中的填空题，要求能说出当x在哪一范围内时，y随x的增大而发生怎样变化？当x为何值时，y有最值？,八年级下册,九年级下册,进一步学习,15,针对各阶段的特点,列表整理如下:,16,一、数学分析,2.函数的单调性刻画“变化”，而变化无处不在,绝对变化：,，,平均变化：,瞬时变化：,联 系：,一、数学分析,3.函数的单调性与
6、其它知识的联系,函数的单调性,知识,能力,不等式,函数的值域,函数的零点,极限与拉格朗日中值定理,函数图像的形状,常用逻辑用语,抽象概括能力,归纳总结能力,恒等变形能力,方法,作差（商）比较大小,不等式的解法,导数,二、标准分析,1.必修阶段,在图形直观的基础上理解函数的单调性，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用,(1)“正式”接触“全称量词”,对函数的单调性定义的理解，关键在于对“”的理解,二、标准分析,1.必修阶段,(2)学生要经历从“具体到抽象”，“图形语言到自然语言，再到符号语言”的思维过程,这一过程不但有利于学生对函数单调性定义的理解，而且还有利于培养
7、学生抽象概括能力和逻辑思维能力.,二、标准分析,2.选修阶段,要求借助已学过的基本函数，理解导数与函数的单调性的关系，并能利用导数研究函数的单调性,(1)归纳总结能力的培养,学生对基本初等函数已非常熟悉，如何将学生对函数的单调性的原有认知，转化为以导数为依据的认知是不可忽视的问题.,二、标准分析,2.选修阶段,(2)逻辑思维的培养,教材只给出了函数单调性的充分条件，但在研究具体函数的单调性时并不够，如何处理这部分教材是教师要重点思考的问题，而这一问题也正是培养学生逻辑思维能力的优良载体.,三、学生分析,1.学生对一次、二次、反比例函数等已有较好的认识，印象应该是深刻的！,2.学生的直觉思维优于
8、逻辑思维，感性认识胜于理性思考.,3.学生的演算、恒等变形的能力有待加强.此处也正是培养学生这方面能力的载体.,四、教材分析,现行教材有六个版本,分别为人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版和鄂教版，以前四个版本使用较多.,教材的多样性为教师的教学提供了充足的材料，教师可以根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法.,下面以前四种教材，谈谈在函数单调性定义方面，各教材在处理上的不同之处.,四、教材分析,1.定义引入的方式不同.人教A版和人教B版以具体的函数引出函数单调性的描述，而北师大版和苏教版则以实践中的具体实例引出函数单调性的概念.,引入方式的不同，无所谓“优”与“劣”，
9、教师可以结合学生的实际情况，采用不同的处理方法.,四、教材分析,2.定义的方式不同.人教A版、北师大版和苏教版采用了传统教材对单调性的定义方式，即在通过自变量的增大过程中函数值的增大或减小来定义；人教B版的教材则采用自变量具有正增量时函数值增量的符号加以定义.,人教B版在其后安排了“探索与研究”，定义了平均变化率，希望学生能探究函数的单调性与增长快慢之间的联系，为选修系列导数做了铺垫.,四、教材分析,教材版本多样，在教学中，并非是简单“取并集”，关键是认真分析，领会新课程的理念和要求，合理地使用.,教材的多样化，为教师提出一个新的课题，教学过程中如何使用教材？,四、教材分析,1.用代数的方法认
10、识函数的单调性,(1)函数的单调性定义的建立,各版本教材目标和任务明确,能将对单调性的感性认识上升到理性认识即可，不必追求过度复杂、变形过于技巧的函数单调性的证明.,目前的六套现行教材在处理函数的单调性方面，在理念上有很多共同之处.,四、教材分析,1.用代数的方法认识函数的单调性,(2)函数的单调性是认识函数最重要的途径之一,研究基本初等函数离不开函数的单调性,对两个特殊数列（等差数列、等比数列）的研究离不开单调性,各版本教材都认为：,四、教材分析,1.用代数的方法认识函数的单调性,(3)对不等量关系的认识,函数的单调性是在对不等关系理解的基础上建立的，借助函数的单调性可以进一步认识不等量关系
11、,各版本教材都认为：,四、教材分析,2.用导数的方法研究函数的单调性,各版本教材都强调从“定性”和“定量”两个方面认识,(1)定量：导数绝对值的大小刻画“变化”的“快”与“慢”,(2)定性：导数的正与负刻画“变化”是“增加”还是“减少”,四、教材分析,3.对函数的单调性的认识切不可一步到位,(1)函数的单调性与其他知识联系广泛，一步到位不现实,(2)对函数的单调性的理解是知识和能力的双重考验，一步到位有悖学生的认知水平和认知规律,四、教材分析,3.对函数单调性的认识切不可一步到位,(3)循序渐进地理解函数的单调性更有利于培养学生的求知欲和热情,五、重点分析,函数的性质是研究函数问题的基石，对函
12、数的定性和定量分析是研究函数的两个不同角度，但同等重要，在必修中：,1.函数的单调性的定义的形成过程是重点,2.将学生对已熟知函数的单调性从感性认识上升至理性认识是核心,五、重点分析,在选修中：,1.理解导数为何可以“定量”刻画函数的变化是基础,2.理解导数与函数单调性之间的关系是重点,3.能利用导数研究函数的单调性是目的,六、教学安排设计,基于函数的单调性在中学数学中的特殊地位，对函数单调性的教学可以分为以下几个阶段,1.必修阶段单调性的定义（两课时）,第一课时：以理解函数的单调性概念为主要教学目标，学生对单调性的认识能：（1）依据函数图象指出其单调区间；（2）初步理解用代数法证明（确定）单
13、调区间的理论依据.,六、教学安排设计,第二课时：在理解函数的单调性定义的基础上，能：熟悉、巩固证明函数单调性的方法，从“判定”和“性质”两个方面进一步理解函数的单调性.,基于函数的单调性在中学数学中的特殊地位，对函数单调性的教学可以分为以下几个阶段,六、教学安排设计,2.基本初等函数和数列学完之后（一课时）,在这个阶段：以梳理基本初等函数和数列的单调性为主，让学生进一步理解函数的单调性及其在认识函数性质中的作用和地位,六、教学安排设计,3.不等量关系后的梳理（1课时）,不等式的性质；不等式的解法；基本不等式；不等式的应用.,六、教学安排设计,4.选修阶段（两课时）,第一课时：以基本函数为载体，
14、结合曲线切线的几何意义，学生能：借助直观初步理解函数的单调性与导数符号之间的关系.,第二课时：在认识和理解函数的单调性和导数符号之间关系的基础上，学生能：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间.,六、教学安排设计,5.高考备考阶段（1课时）,学生对用代数法和导数两种方法研究函数的单调性有了比较全面和系统的认识，在这一阶段，教学中要重视：,深化代数法和导数研究函数单调性的联系,六、教学安排设计,5.高考备考阶段（1课时）,处理单调性问题时方法的选择问题,基本初等函数的单调性；,复杂的、不熟悉的函数的单调性；,数列的单调性；,七、课例展示,必修时期 必修一 函数的单调性（概念课）选修时期 选修
15、22 导数的应用 高三复习时期 专题复习 函数的单调性,教学目标：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；,函数的单调性,教学重点：函数单调性的概念；,教学难点：函数单调性的概念的形成过程；,t1,问题1：观察第一组图像，寻找共同特征和不同之处,回忆你在初中所学的函数，举例子说明哪一个函数图象与这组图象具备共同特征,问题2：回顾初中知识，是如何描述函数的变化趋势的？,函数的单调性,自然语言的描述,符号语言的描述,问题3：这种形象的描述来源于对函数图象的观察，可否用量化的方法刻画变化趋势？,任取,x 增大,y 随之增大,抽象化符号化,函数的单调性,函数的单调性,定义的内涵与外延
16、：定义的内涵是利用自变量的大小变化来呈现函数值的变化；定义的外延表现为：函数值的变化与自变量的变化一致时，单调递增，当函数值的变化与自变量的变化相反时，则单调递减.,几何特征：自变量取值区间内，如果单调函数的函数图象从左到右下降，为减函数，反之，则是增函数.,51,y=f(x),y=g(x),描述函数 在 上的单调性，并用定义证明,描述函数 在 上的单调性，并用定义证明,53,练习：若函数 对于定义域内任意（），都满足，则函数 的图像可能是下列图像中的哪几个？,学生在理解的基础上，给出定义,函数的单调性,函数的单调性,返回,七、课例展示,导数的应用判断函数的单调性,选修,教学目标：借助几何直观
17、了解函数单调性与导数的关系，初步掌握利用导数求函数单调区间的方法；,教学重点和难点：函数单调性与导数的关系；,导数的应用函数单调性,复习引入：回顾必修1中函数单调性的定义？,从图形语言、自然语言和符号语言三个方面进行回顾,导数的应用函数单调性,导数的应用函数单调性,结合基本初等函数的图像，加深单调性与导数符号之间的关系,导数的应用函数单调性,“度”的把握,导数的应用函数单调性,反思函数单调的充分条件,导数的应用函数单调性,为导函数的变化零点和不变化零点对单调性 的影响做准备,七、课例展示,函数的性质函数的单调性,高三专题复习,专题复习函数的单调性,问题1：函数的性质，各自刻画了函数图像的哪些特
18、征呢？,定义域、值域图像分布位置,单调性y随x的增大而产生的增、减趋势,奇偶性图像关于原点（或y轴）的对称性,周期性y随x变化的周期性规律、图像平移不变性,问题2：函数单调性是怎样定义的？你是怎样理解的？,代数法（绝对变化，平均变化率）,导数法（瞬时变化）,专题复习函数的单调性,观察图像的变化趋势,用定义判断或证明,问题3：对于给定的函数，如何判断其单调性？有哪些方法？可否举例说明？,借助导数,专题复习函数的单调性,函数的值域（或最值，极值）,比较两数的大小,问题4：运用单调性可以解决哪些问题？,解不等式（特别指数、对数不等式）,讨论函数的零点问题,专题复习函数的单调性,专题复习函数的单调性,八、单元教学设计后的反思,4.教学中要认识到“代数法”和“导数法”处理函数单调性的侧重点和对学生能力培养的侧重点，切不可“厚此薄彼”,2.把握教学中的“度”，最好不要在细枝末叶处“折腾”.,1.重视函数的单调性在高中数学中的指导性地位，要不失时机地渗透、巩固，以加深学生对其重要性的认识,3.进行单元教学设计可大可小，要用整体把握的观点指导教学.,谢谢您的聆听！,
