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1、灵活互化 活水长流524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝由于同学们接触极坐标的时间较短,运用的频率低,常给我们一种陌生感,而对于普通方程与平面直角坐标比较熟悉.于是一种“生化熟”的想法油然而生,本文对它们之间的互化作一点探讨,以供参考.一、互化的依据互化的前提条件:极点与原点重合;极轴与轴正方向重合;取相同的单位长度;互化的公式:,.二、互化的归纳1.活用公式实行点互化例1在极坐标系中,O是极点,点A(1,),B(,),则直线AB的极坐标方程为 .分析:将A、B两点转化为直角坐标系的点,求得直线AB的普通方程后,再将其转化为极坐标方程即可.解析:由,得点A的直角坐标为,同理得点B的直角坐标
2、为,直线AB的普通方程为,其极坐标方程为.评注:在极坐标系没给出过两点的方程式,其实只要灵活运用公式即可将点化为直角坐标系的点,再次运用公式即可将直线的普通方程化为极坐标方程.2.联用公式实行点互化例2极坐标系内,点关于直线的对称点的极坐标为.分析:先将问题转化为直角坐标问题,解决后,再回到极坐标中去即可.解析:由,得点的直角坐标为,由得其普通方程为,点关于对称的点为,由,由,由图形取,得.评注:公式是将直角坐标中的点坐标转化为极坐标的利器,联合活用公式,是实现点互化的关键.3.联用公式实行线互化例3极坐标方程表示的曲线为 .分析:将极坐标方程转化为普通方程,即可判断其表示的曲线.解析:由原方
3、程得,又,即,它表示的曲线为抛物线.评注:将降次,为公式的运用创造条件,再综合运用公式将化为普通方程是关键.例4极坐标系中,曲线和相交于点,则线段的长度为 .解析:将其化为直角坐标方程为,和,代入得:.设、,则.评注:本题将同乘得,创了应用公式的条件,而在中,直用即可将其转化为普通方程.但在解题过程中,需设法回避一些不必要的运算量,如本题中,用“韦达定理”简化了求的计算.4.活用公式实行点、线互化例5 在极坐标系中,已知直线:,(,且)与曲线C:交于两点. (1)写出直线的一般方程,及直线通过的定点的直角坐标; (2)设点,当时,求的面积.解:(1)可得直线的一般方程为,即,直线通过定点;(2):曲线C的普通方程为,它表示椭圆,点的直角坐标为.当时,得直线:,设、,由消去得,有,.,得, .评注:活用公式将问题转化为直角坐标问题是本题解题的中心思想,转化到位后,则可完整的运用“解几”中的方法自如的给予解答.
