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1、考点1,考点2,考点3,考 纲 解 读,返回目录,从近两年的高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题等是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弧长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法.预测2012年高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系为主要考点，重点考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力.,考 向 预 测,返回目录,1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，进而转化为一
2、元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.Ax+By+C=0 f(x,y)=0,由,消元（x或y）,相交、相切、相离,解的个数,返回目录,若消去y后得ax2+bx+c=0:（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是.当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线.当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴.（2）若a0，设=b2-4ac.0时，直线与圆锥曲线相交于；=0时，直线与圆锥曲线；0时，直线与圆锥曲线.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.,椭圆,平行或重合,平行或重合,两个点,相切,相离,返回目录,
3、2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为k，则弦长公式为|AB|=或|AB|=.,两点间的距离公式,返回目录,已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于两点,O是坐标原点，且 AOB的面积为，求实数k的值.,【分析】联立直线方程和双曲线方程,化为关于x(或y)的一元二次方程，借助于0得关于k的不等式;(2)求出
4、面积S的表达式,再解方程.,考点1 直线与圆锥曲线的关系,返回目录,【解析】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,x2-y2=1 y=kx-1 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.1-k20,=4k2+8(1-k2)0,解得-k 且k1.故当-k 且k1时，双曲线C与直线l有两个不同的交点.,有两个不同的解,则方程组,返回目录,（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与y轴交于点D（0，-1）.x1+x2=x1x2=.当A，B分别在双曲线的一支上且|x1|x2|时，SOAB=S OAD S OBD=（|x1|-|x2|）=|x1-x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时
5、，,由（1）得,返回目录,SOAB=SOAD+SOBD=（|x1|+|x2|）=|x1-x2|.SOAB=|x1-x2|=，（x1-x2）2=（2）2.即=8，解得k=0或k=.又-k,且k1,当k=0或k=时，AOB的面积为.,返回目录,（1）在利用判别式时，易忽略1-k20这一约束条件，1-k2=0时直线与双曲线只有一个交点.在求AOB面积的表达式时，不能按A，B两点在双曲线的同支上或异支上分类讨论.（2）方法总结：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过
6、程得到简化.,返回目录,设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a0)相交于A,B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（1）证明：a2;（2）若AC=2CB,求OAB的面积最大值.,返回目录,【解析】(1)证明：依题意,当k=0时,a20显然成立;当k0时,故y=k(x+1)可化为x=y-1.将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x，得(+3)y2-y+1-a2=0.由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得化简整理得a2.,返回目录,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知C(-1,0).由，得y1+y2=.因为AC=（-1-x1,-y1),CB=(x2+1,
7、y2),由AC=2CB,得y1=-2y2.由联立，解得y2=OAB的面积S=|OC|y1-y2|=|y2|=上式取等号的条件是3k2=1,SOAB的最大值为.,返回目录,设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)交于A，B两点,且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求:(1)直线l的方程;(2)|AB|的长.,考点2 弦长问题,【分析】(1)要注意讨论斜率k是否为0.(2)利用弦长公式.,返回目录,【解析】(1)设l:y=kx,抛物线的焦点为F(2,0),y2=4(x-1)y=kx当k=0时,l与x轴重合,不合题意.k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,AFB
8、F,AFBF=0(或用kAFkBF=-1),又AF=(2-x1,-y1),BF=(2-x2,-y2),得k2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,代入得k=,l:y=x.,k2x2-4x+4=0.,返回目录,(2)由(1)求解得x1+x2=8,x1x2=8,|AB|=弦AB的长为4.,返回目录,（1）弦长公式|AB|=|x2-x1|中，k指的是直线的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥曲线的焦点.在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化.（2）用公式之前首先验证斜率不存在的情况.（3）弦长公式的另一种形式|AB|=
9、|y1-y2|也经常用到，原则是计算方便、快捷.,返回目录,椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点，若|AB|=2，且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求实数a,b的值.,返回目录,【解析】设椭圆与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,ax2+by2=1 x+y=1 x1+x2=,x1x2=.|AB|=|x2-x1|=.(a+b)2=a+b-ab.a=b.把代入得b=,a=.,可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.,则由,又,返回目录,若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围.,考点3 对称问题,【分析】两点所在的直线与抛物线有
10、两个交点，可利用判别式求m的范围.,返回目录,【解析】设直线l:y=-x+b与y=x2两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0).y=-x+b y=x2,=1+4m2b0.x0=,y0=,又M在对称轴y=m(x-3)上,+b=m(-3),由,得mx2+x-mb=0.,返回目录,b=-3m-.又=1+4m2b=1+4m2(-3m-)=-12m3-2m2-10,12m3+2m2+10.即(2m+1)(6m2-2m+1)0.m-，即m的取值范围为(-,-).,返回目录,若A,B两点关于直线对称，则直线AB与对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上.即对称轴是线段AB的垂直
11、平分线.解对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系.,返回目录,在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=-kx+对称,求k的取值范围.,【解析】解法一:由题意知,k0.设M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,则MN的方程可设为y=x+b,代入y=x2,得x2-x-b=0,且=+4b0.又x1+x2=,中点x0=y0=+b.(x0,y0)在直线l:y=-kx+上，+b=-k+，b=4-.,返回目录,把代入得 k 或k,k2,即k 或k-.,返回目录,1.直线与圆锥曲线相交的问题（1）直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题，解题
12、时注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.（2）运用“点差法”的方法解决弦的中点问题涉及弦的中点问题，可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决，也可利用“点差法”的方法解决此类问题.若知道中点，则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法在解决有关存在性问题时，要结合图形和判别式加以检验.,返回目录,2.定值与最值问题（1）圆锥曲线中的定值问题 在解析几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.（2）圆锥曲线中的最值问题 解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题（即根据条件列出所求的目标函数）然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
