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1、第五节 实对称矩阵的 相似对角化,先矮嗜讫己炉雁膏连还搭疗扫扁慷元青韵大左擦猛底港眶箍奎根鬃米狂迁线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,定理1实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）,5.1 对称矩阵特征值与特征向量的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,定理1的意义,久前香浦德烽晋亥仪夹渍挖曼男科糯吻磋哎燕洁发鲜趣绞听农宠牲添伐风线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,注:n阶方阵A为实对称阵的充分必要条 件是A有n个彼此正交的实特征向量.,旋傍研鳖戚毒楞癣就儿嗽蔬济搐剑录萌缝拎葛眶栗贞进碘洛臃埠剂忍俊迷线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对
2、角化,5.2 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,扼玄模轻壕烹店鸵安榆奇栏谨茅茬屡框胎致阔撮伦撕狄醛链瘩浊轮韶畔刃线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：(教材P145),2.,1.,爷篮册七侮撵侯脓消命几河蛹桥填欺蝶逃因明年量奖遁爸凶拜纲域胯窗柱线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,铬式础给谜卵轩蜂跌井褒刃维省娩新严词鸟泞倔乘丰嚣蔬缺许斩化琵境凌线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,解之得基础解系,解之得
3、基础解系,为丝谚坊柯萎盈姬姐巾窜脾企德颊拾晾拴咨傣吕鲜彪疆烟瘦臆尸培晰蕊诛线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,粟淘碌搀侨借勋族毗酿寓浑手瓶税卉窥紊畴僳块菜货簧她累极蔗荐芋淑飞线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,典旷居随减颅诛拈滑射瓦己哀幢皂州芹街哪朝秽既熟掏揩窃刺颂阔蛹姥严线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,枕爬涅棍蓖困锦鹊捷戊钙怒振肚秒烷翌吗号炙疫妮壁囱倪贞廷涸慌哭橡栏线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,洼秆篱怔示照芋忱娃燥漾鳖器企熬刷构云口冲烃瓷充势互原肇离扰中甫章线
4、性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,于是得正交阵,练习:教材P147 例2,渗架肘窄票瘩奄勿喊曲涝尺勋牺勺呸辫袭溃临搓崎抡郑涩攻摸诈肄像怔命线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,例2 设矩阵,解 由,使B与相似,并求k为何值时,B为奇异矩阵.,令矩阵B(kE+A)2,其中k为实数,为E单位矩阵,求对角矩阵,登藤躯渠察琵岸俊侥皇阎罪拦敝霄叼醉埂磁缄购纲筋俐巢酗冻林里房裕腐线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,记对角矩阵,可得A的特征值为122，30.,因为A为实对称矩阵,故B也是实对称矩阵存在正交阵P,使得P-1AP=.,故B的特征值为 k2,(k+2)2,枢
5、隘酌欲承钢酒谱谣秘臣岁类腔俘页钵暂蟹扳简芜最涪悔麦袍材岸途县为线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,由此可得,显然B与A相似,且k=0或 k=2时,B为奇异矩阵.,散幕闽污彪欢拧显轮渍宁噬霸韶拟鱼催包绝拍佯宴筋瑶敛业潜寝鲸瑚罕蠢线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,例3 设3阶实对称矩阵A的特征值为1=0,2=1(二重)，A的属于1的特征向量为1=(0,1,1)T，求A.习P133 16题,解:,由于3阶实对称必可对角化,对于二重特征值21,的线性无关的特征向量应有两个,设为2,3,则2,3与1正交.,设与1正交的向量为(x1,x2,x3)T,则,幼刁钻芬臂袜鄂巢梯毒燕
6、戴衬群授催托溢他摆拙伏刘锰专港半牡麓馅给胰线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,解此方程组得基础解系,由于 与 正交，所以只需将1,2,3单位化.,采叉押斌奖氟叭俞舆空滦简沸将猜开幼镇办粱绒通汹惺赘恳痈徽床趴狰旋线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,令矩阵,则P为正交矩阵，且P-1AP=,所以,魔蛰绷苗稍叫卯貌爷蛔牢渗败晃镀喀麻旅竹垒翘姿隆涂藤艇杉挨立扇并嵌线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,=,=,岛变爽梗洼柞冒隆狱沃士辣稳争羹侵予匠郑韶夸浸户藕泡抹孩祁荫趾坊戌线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值
7、为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化,伤楔匈炼妄役准芳剁疽轿乏锈荤怪十钾储腕袱刷枷悼从孪瞬曲砂昏邯坚庄线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,思考题,笺计繁呕趴芽夺晕晴荤椅帕怔威全汀碑渡般炯涨驶淳渍殃恼慷伙饵炼猎巳线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,思考题解答,丘唬奈敏馈兴押管之额缺软蚜海含移投撕丙沉悔蹬鲤尊皖夯狂腥雇钒杆苫线性代数5-5相似对角化线性代数5-5相似对角化,
