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1、复变函数的积分,第三章,3.1 复变函数积分的概念,1.复变函数积分的定义,设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.,定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：A=z0,z1,zn-1,zn=B,将曲线C划分成 n个小弧
2、段.在每个小弧段(k=1,2,n)上任取一点k,并作和式,f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.,其中.记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作,若C为闭曲线，则函数f(z)沿曲线C的积分记作,2.复变函数积分的性质,性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则,性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则,记sk为zk-1与zk之间的弧长,两端取极限,3.复变函数积分的基本计算方法,定理3.
3、1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且,证明：,已知f(z)沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且,参数方程法,设f(z)沿曲线C连续，则,解：(1)C的参数方程为：z=(1+i)t,t从0到1.,(2)这两直线段分别记为C1和C2,C1的参数方程为：y=0,x 从0到1;C2的参数方程为：x=1,y 从0到1.,例3.2 计算积分,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.,解：积分路径可分为四段：C1:z=t(-2 t-1);C2:z=从到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z=从0到.,例3.3
4、 计算积分,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.,解：曲线C的方程为：,当n=0时,当n0时，,3.2 柯西-古萨定理(Cauchy-Goursat)及其推广,1.柯西-古萨定理,假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f(z)在D内连续,u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.,记G为C所围区域，由格林(Green)公式有,由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u、v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即,因此,从而,定理3.2（柯西-古萨定理）若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即,对于
5、任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。,推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在 上解析，则,推论3.2 设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关.,证明：,设C1和C2为D内连接z0 与z1的任意两条曲线.,显然C1和 连接成D内一条闭曲线C.,由柯西-古萨定理,2.原函数,函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为,固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数,并称F(z)为定义在区域D内的
6、积分上限函数或变上限函数.,定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F(z)=f(z).,证明：,若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点,积分与路径无关,f(z)是与积分变量无关的值,又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.,所以对于任给的,必存在,使得当(且落在圆B内)，即当 时，总有,也就是,即,定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(z)，则称(z)为f(z)在D内的原函数.,变上限函数 为f(z)的一个原函数.那么函数f(z)的全体原函数可以表示为,其中C为任意常数.,定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处
7、解析，(z)为f(z)的一个原函数，则,其中z0、z1为D内的点.,证明：,为f(z)的一个原函数.,当z=z0时，根据柯西-古萨定理可知,例3.4 求积分 的值.,解：因为sin2z在复平面上解析，所以积分与路径无关.,例3.5 求积分 的值.,解：因为(z-1)e-z在复平面上解析，所以积分与路径无关.,上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法.,例3.6 设D为直线和直线所围成的区域.求积分 的值.,解：尽管 在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D包含点3和i，又不含奇点1和-2，因此在区域D内解析.,函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分
8、解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数都为,ln(z+2)的各个分支的导数都为,3.复合闭路定理,设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、Cn,其中C1、C2、Cn互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D,D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作,定理3.5 若f(z)在复闭路 及其所围成的多连通区域内解析，则,也就是,做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1及2表示这两个区域的边界.,由柯西-古萨定理,例3.7 计算 的值,C为
9、包含圆周|z|=1在内的 任何正向简单闭曲线.,解：显然z=0和z=-1是函数 的两个奇点，由于C为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=-1，C2的内部只包含奇点z=0.,在由C、C2、C2所围成的复连通域内解析,3.3 柯西(Cauchy)积分公式及其推论,1.柯西积分公式,定理3.6 若f(z)是区域D内的解析函数，C为D内的简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z为C内部任一点，则,其中积分沿曲线C的正向.上式称为柯西积分公式.,证明：取定C内部一点z.因为f(z)在D内解析，所
10、以f(z)在点z连续.,即对任给的0,必存在0,当时,有.令,则 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周,使圆B的内部及边界全含于C的内部.,根据复合闭路定理有,令，只需证明,而f(z)与x无关.,若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根据柯西积分公式,即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K.,若C为圆周:,即,则,从而,解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.,若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续，则柯西积分公式仍然成立.柯西积分公式可以改写成,例3.8 计算积分 的值.,解：因为z2+1在|z|=2内
11、解析,例3.9 计算积分 的值，其中C为:,解：,(1)被积函数 在 的内部解析,(2)被积函数 在 的内部解析,(3)被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1.,例3.10 求积分 的值,其中C为:x2+y2=4x.,解：x2+y2=4x可化为(x-2)2+y2=4，即|z-2|=2.,被积函数在C的内部内有奇点/2和2，作以/2和2为中心位于C内的互不相交的小圆周C1和C2.,2.高阶导数公式,定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有其中C为区域D内围绕z的任何
12、一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.,定理3.8 若f(z)为定义在区域D内的解析函数，则在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.,定理3.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)在D内连续；(2)在D内满足柯西-黎曼方程.,例3.11 求积分 的值,其中C为:.,解：被积函数在C的内部有一个奇点,例3.12 求积分 的值，其中C为:|z|=2.,解：被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条闭曲线C1和C2互不相交且互不包含，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部.,3.4 解析函数与调和函数的关
13、系,定义3.3 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元实函数(x,y)称为在D内的调和函数.,定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数.,证明,由柯西-黎曼方程有,u(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，所以,同理可证,即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数.,使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数.,1.
14、偏积分法,利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得,然后两边对x求偏导,由vx=-uy,于是有,从而,例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的形式.,解 由柯西-黎曼方程，有vy=ux=2y,此式两边关于y积分：,由条件 f(2)=-i,得C=-1,2.线积分法,利用柯西-黎曼方程有,该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x0,y0)为区域D中的点.,例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,ux=2y,uy=2x-2.,取(x0,y0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x,0)的直线段再从(x,0)到(x,y)的直线段.,3.不定积分法,根据柯西-黎曼方程及解析函数的导数公式有,将 表示成z的函数h(z),于是,例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,ux=2y,uy=2x-2.,由条件 f(2)=-i,得C=-i,故,
