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1、第四节 对弧长的曲线积分,一、弧微分,二、对弧长的曲线积分的计算,（第十章 第一节）,G 表示的几种几何形体以及其上的积分：,二重积分,三重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,几何形体上的积分,重积分,对弧长的（第一型）曲线积分,对面积的（第一型）曲面积分,当G为平面或空间有限光滑(或分段光滑),曲线(L或)时，积分称为对弧长的曲线积分,或第一型曲线积分,即,当L(或)为简单闭曲线时,对弧长的积分记为,计算思路：,化为定积分来计算,(1)直角坐标情形,对,有,弧长微分公式,斜边,取,以直代曲,一、弧长微分,(2)参数方程情形,曲线弧为,且在,上具有连续导数,弧长微分,(化为定积分),（1
2、）参数方程情形,其中,且,设曲线,二、对弧长曲线积分的计算,1.平面曲线积分,(化为对t 的定积分),因此,计算公式,计算公式,注1:,故右端的定积分存在.,注2:,在第一型曲线积分的计算中,定积分的下限一定要小于上限.,（2）直角坐标情形,化成参数方程,例1,计算,其中L的方程是,解,例2,计算,其中,是以,为顶点的,三角形边界.,是分段光滑弧段,解,在OA上，,故,在AB上，,故,故,在BO上，,因此,2.空间对弧长的曲线积分计算,(参数情形),曲线,平面情形的推广,例3,计算,其中,是螺线,的第一圈,解,以圆弧的圆心为坐标原点,例4,有一段铁丝成半圆形L，,半径为R，,其上任一点的线密度
3、的大小等于该点到其,两端点连线的距离，,求其质量.,L的对称轴为y 轴,则,建立坐标系(如图).,解,L 的参数方程为,小 结,对弧长的曲线积分的计算-化为定积分,1.把积分路径L代入被积函数；,2.根据积分路径L的不同的表示形式，求出弧微分.,3.定出定积分的上下限，下限小于上限.,(1)曲线弧为参数方程的计算,(2)曲线弧的方程为显函数方程的计算,将显函数方程化为参数形式：,思考题,1.以下两式正确否？,区域,则,(错误),曲线,则,(正确),2.若有不均匀的椭圆,形构件，,则此椭圆形构件,的平均线密度是,提示：平均线密度=质量M/曲线长L,平均线密度,平均线密度,讨论题,由此给出对弧长的曲线积分的几何意义.,已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？,提示：由定积分的几何意义推广.,答：柱面的侧面积,（y=y(x)为底边，z=f(x,y)为高的面积）,平面上对弧长的曲线积分几何意义：,作 业,P.131,
