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1、1,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第20章,第一节、第一型曲线积分,第二节、第二型曲线积分,曲线积分,第20章,本章内容：,（或称：关于弧长的曲线积分）,（或称：关于坐标的曲线积分）,3,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,对弧长的曲线积分（第一型）,对坐标的曲线积分（第二型）,曲面积分,几类积分概况,4,第2节,一、第二型曲线积分的定义,二、第二型曲线积分的计算,第二型曲线积分,第20章,本节内容：,三、两类曲线积分之间的联系,5,一、第二型曲线积分的概念与性质,1.引例:变
2、力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“分割”,“近似代替”,“求和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,6,1)“分割”-大化小.,2)“近似代替”-常代变.,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,7,3)“求和”-近似和.,4)“取极限”,其中,8,2.定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,第二型曲线积分,则称此极限为函数,或对坐标的曲线积分
3、.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.,称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数,极限,9,若 为空间曲线弧,记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,10,1).组合形式,2).物理意义,11,3.性质,(1)若 L 可分成 k 条首尾相接的有向光滑曲线弧,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,且,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,存在,则,(3)线性性(略!),12,二、第二型曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,思想方法
4、：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。,证明:下面先证,13,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧,同理可证,14,特别地,如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,15,例1.计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为积分变量,则,解法2 取 y 为积分变量,则,从点,的一段.,16,例2.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取 L 的方程为,则,则,17,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折
5、线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,18,例4.已知,为折线 ABCOA(如图),计算,解:,19,例5.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:取 的参数方程,20,例6.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,21,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,22,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,23,例1,24,例2.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,25,二者夹角为,例3.设,曲线段 L 的
6、长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,26,作业,P208 1(1),(3),(5);3;4;,27,1.定义,2.性质,(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,28,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,29,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,30,原点 O 的距离成正比,备用题,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,31,方程为,2.,32,3.计算,其中L 为折线 OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2),解：,33,4.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.,沿直,34,5.设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向,(1)写出曲线 C 的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:(1),看去为逆时针方向.,35,(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,
