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1、第零章预备知识?0.1向量的线性运算向量及其表示向量：速度,加速度，力等等.用一个有向线段来表示它.以A为起点乃为 终点的有向线段所表示的向量记为”(图7.5).还常用小写的粗体字母a, b,. 来记向量.Jp果吧、向量的大小相等、方向相同,就称这两个向量是相等的.如图7.5 中,A8和AW是相等的向量,记作一AB=A% .自由向量：能平移至任意起点的向量.相反向量：两个向量的大小相等而方向相反.负向量.向量模及其向量模的表示.?0.1.2向量的线性运算如果两个向量是相反向量，则其和显然为零向量，就是a +)-a) = )-a) +a = 0.显然，还有a +0 = 0+a = a.从三角形法
2、则容易证明向量的加法满足交换律，即a +b = b +a.从图7.8不难看出，向量的加法满足结合律a +)b + c) = )a + b) +c,因而可以略去括号而记a + b +c = )a + b) +c = a +)b +c).向量的减法与数量的减法一样，定义为加法的逆运算.向量与数的乘积.设有向量a和数儿则其乘积表示这样一个向量，它的模等于向量a的模 之倍,当A大于零时它与a同向，当小于零时与a反向(图7.9).由定义可知Oa = 0.显然又有)-l)a = -a.向量的线性组合.利用向量与数的乘积，向量a可以表示为其中a。表示与a同向的单位向量.由此得到即一个不为零的向量除以它的模后
3、是与它同向的单位向量.向量与数的乘积具有以下性质.设a与b是给定的两个向量,而人及是任意常数,则有) + ) a = a + a:)a) = )a) = )a;)a + b) = a + b.?0.1.3向量的共线与共面向量共线，向量共面.(零向量和任一个向量共线.)向量a,b共线的充分必要条件是，有实数人,使a = b或b = a.向量,仇。共面的充分必要条件是:其中一个向量可以表成其余二个向量 的线性组合.?0.2坐标系在空间中,任取一点O,从点O画三条互相垂直的直线,依次记为ox, OK OZ. 这样就得到一个直角坐标系.如果在坐标轴O, Oyi OZ上以O为起点分别取三 个单位向量ij
4、,上其方向与轴的正方向相同，这些单位向量称为坐标系OXYZ 的基本单位向量.给定向量a,过向量a的终点A作三平面分别与坐标平面平行,且与各坐 标轴交于点X, Y, Z.易知OX= ai, 7= a2j , 2- a,k.由向量加法的三角形规则可得OA=OP +Ta=ox +xp +pa = ox +oy +z,即a = ), 2, g) = ai + ay + aik.它就是a按基本单位向量的分解式.应用这个分解式，向量的加法，减法及 向量与数的乘积就可归结为其坐标的相应运算.事实上,设a = )i, G,公)，b 二 珈，历，为)，而人是一常数,则有a = ai +2/ + a3k, b =
5、 Z / + y + b3k.从而得到a b = )ab )i + )a2b2 )j + )a3b3 )k=)4 b , a2b2 , a3b3);a = ai + Kcnj + Aa3k = )w , Kai,入公).例0.2.1.已知两点A)a ,a2t应()b心,为)，求向量的坐标.解 如图7. 13,作向量加与 W,则OA = )a,a2, t), OB =)b,b2,bi).所以AB= OB OA = )b ,Zb-cn,by- m).就是说向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.口例0.2.2.设点户把有向线段75分成定比A即有 * =X若已知端点A和8 的坐标为)川,ZI
6、)和)X2J2,Z2),求分点P的坐标)xj,z).解由题设可知AP= KPB .若将4,P,B各点与原点O连成向量，则有OP-OA= K)OB-OP).由此得到I1 1 OP= -y) OA +KOB).因为钞+钞OA = ,i + yj + zk, OB = x2i+ y2j + Zlk1 OP= xi + yj + zk, 代入后给出 + yj + zk = _T +1 + 比较的对应系数即得Xl + n W + v2 Z： + z2，)=这就是空间线段的定比分点公式.特别地，线段中点的坐标为设向量a = ) , “2,43)的起点在原点,这时终点A的坐标就是)“, 42,43), 由空
7、间两点的距离公式得I Ial = OA=* + W + 竭.?0.3向量的内积?0.3.1内积的定义定义0.3.1.两个向量的内积是一个数量，它的大小是这两个向量的模与其夹角 的余弦的乘积.通常用记号ab表示向量a与b的内积.如果a.b=0称a与b正交.设它们的夹角为台，按定义有a . b = a bs 台.?0.32内积的性质La与b正交的充分必要条件是a, b之一为零向量或它们是互相垂直的 非零向量.2 .向量的内积满足交换律a . b = b . a.口3 .向量的内积满足分配律)a + b) . c = a . c + b . c.4 .向量的内积与数的乘积满足结合律)a) . b =
8、 )a . b).?0.3.3直角坐标系下内积的计算设给定两个向量a = ai + ay + a3kt b = b i + by + W,则有a . b = )“i +cy + a3k) . )h i + 切 +M)=ab)i. i) +ab)i. j) +ab3)i &)+ a2b 1/ .。+a2b2)j .) + a2b3)/ . &)+ a3b)k .。+ aib)k .j) +a3b3)k . A).因为ij是互相垂直的单位向量,所以i .i= IJ J= lik.k= 1,i .j = O,i. k = O,k .j = 0.从而得到a . b = ab + a2b2 + a3b3
9、.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积之和.特别当a = b时,有 22 . 2a a = +。2 +。3但 a . a = a F，所以，a I = a： + 域 + .这与7.2.3中导出的向量模的计算公式完全一致.设a = )m,2,3)与b =)加，历,的)之间的夹角为台,则由内积的定义可得a b CnbI +02 +3b3COS C3 - 1 11. i = hIallbl3+4 +嫉；+与+苗由于)a + b)2 = a2 + b2 + 2a . b = a 2 + b2 + 2a bcos 台 S)Ial + b)2所以有三角形不等式a + IbI2 a +b例0.3.1
10、.证明Cauchy不等式)ab + Gb2 + a3by) 2 S ) +2 + 3)1 +吊 + 国).证 设a = ), G,，b 二)历，历，历)则有a . b = ab +a2b2 + a3b3,a 2 =. + 嫉 + 虏，b2 = * + * + 丛.由内积的定义a . b = a bs台及ICOS台ISI推知)a . b)2 S a 2b2.把它写成坐标的形式，即得欲证的不等式.?0.4向量的外积?0.4.1外积的定义定义041.两个向量a与b的外积是向量c,它满足：若a与b的夹角为台,则ICl = Ia b sin 台.这就是说，向量C的模在数值上等于以向量a与b为邻边的平行四
11、边形的面 积(图 7. 19).(2)向量C垂直于向量a与b所决定的平面,并且a, b, c构成右手系统.a和b的外积记成a b,即c = a b.?0.4.2外积的性质外积具有以下性质.1 .如果两个向量共线，则它们的外积必是零向量；反之，如果两个向量的 外积为零向量，则这两个向量共线.2 .当因子的次序互换时，外积要改变符号，就是b a = -)a b).所以两个向量的外积不满足交换律.口3 .向量的外积与数的乘积满足结合律)a) b = )a b).从性质3又可推出外积与数的乘积另外一些形式的结合律a X )b)=入)a b),)a) )b) = )a X b).4 .向量的外积满足分配
12、律)a+b)c = ac+bc.由此乂可推出外积的分配律的另一形式c )a +b) = ca+cb.?0.4.3直角坐标系下外积的计算利用外积的这些运算性质，就可以导出外积的坐标表示式.设给定两个向 量a = +2 +a3k, b = / +bj +b3k,则有a b = )ai + ay +g2) X )b i + by + b3k)=ab )i z) + aib2 )i j) + ab3)/ A)+ aib )j i) + aib )j j) + a2b3 )j A)+ a3b )k i) a3b2)k j) + a3b3)k A).因为ijd是互相垂直的基本单位向量,所以i i =O17
13、 j = U, k X k = 0;于是得到a b = )a2b3 -公历)i + )。3加a1b3)j + )ab2 2历)k. 它可以利用三阶行列式写成i J iI Xb ： IIliE h fc h例0.4.1.已知三角形的顶点A) 1,2, 3) ,8)3,4, 5),。一 I, 2, 7),求ABC的面积. 解设所求三角形的面积为S,则由外积的定义可知1 ( S=IlABX AC.但AB= )2, 2,2), AC= )-2,-4,4), i kAB xAC= 222-2-4 -I 2.22.22-I -4 4 I -2 4 + I -2 -4 Ii=161 % 4k,所以S=I 1
14、62 +) 12)2 +)4)2= 226?0.5向量的混合积?0.5.1混合积的定义定义051.设给定三个向量a, b, c, )a b) . c称为a, b, c的混合积.它是一个数 量.以a, b, c为棱的平行六面体的体积V等于以a, b为边的平行四边形的面 积S乘以高瓦即V = Sh.但由外积的定义可知S=IaX b.另一方面,若设a X b与C的夹角为,则有h = c I cos ,其中为锐角时 = 1,否则取 = - 1,因而推得V = a bc cos =)a b) . c.其中 = 1或 = - 1使所得的体积为正数,所以当a, b, c组成右手系统时取 = 1,而组成左手系
15、统就取 = - 1.混合积为零的几何意义：三个向量共面.?0.5.2直角坐标系下混合积的计算混合积计算公式:设a = )a , 2 , g) , b 二)历，历，的)，C = )c, C2, C3),因为所以. az a3 a a a a2)axb).c= I Id I a / lc2 + h h1I1 h 02或用三阶行列式表示为h b),c = 例0.5.1.已知四面体的四个顶点为A) 1, 1, 1),5 )3,4,4), 03,5, 5)/)2,4,7),试求 该四面体的体积.解 容易看出，所求四面体的体积V是以为就,而为邻边的平行六面体的体积的六分之一，故Ii-TVZ = -I)A8
16、 AC) . AD.A而A8 = )2, 3, 3), AC= )2,4, 4), AD= ) 1,3,6),所以 233JAB XAC),AD=244= 6I36于是得到V= 1.?0.6复数?0.6.1复数的四则运算虚数单位i: Z2= - 1.复数:a + ib,)a,b R)称为复数,a称为实部,b称为虚部.灾数的加法：)4+ib) + )c+M = )a +c) + i)b + (f)复数的减法:) + ib) -)c+ id) = )a c) + i)b d 复数的乘法：)+诂)c+M = )ac hd) + i)ad + he)复数的除法:, M , c-a 4=-+ Iqc /
17、户+4 复数的共挽：z = a - ib称为z = + ib的共优，记为Z ?0.6.2复数的向量表示设平面中建立了直角坐标系oy复数Z= +活唯一对应了一个有序实 数对也/),而有序实数对)”,0)对应了平面中的一个点Z.点Z又决定了一个 向量OZ .因此复数与向量是对应的.复数的加法与对应向量的加法是一致的.?0.6.3复数的三角表示设复数z = +活对应的向量为l,向量方的长度/称为复数的模,因 A此 r= 。2 + 扭.一_,以OX轴正向为始边，向量OZ为终边的角 台称为复数Z的幅角.一个复 数的幅角有无限多个,相差2的整数倍.其中满足OS台 0,b 0,c 0)1.3 二次曲面简介一
18、般方程为三元二次多项式，具有形式a2 ai2xy aifxz + 哑寸+ alfyz 呢Z2 + ax + a：y z = O的曲面称为二次曲面常见的二次曲面有2221 .椭球面% + % + % = 1(a O,b 0,c 0)2222 .单叶双曲面 *-C2= 1双曲抛物直俗称马鞍面，可以被看作是OyZ平面上的抛物线Z=沿 着OxZ平面上的抛物线Z= X平行滑动而成。2 y28.双曲柱面 一2 = 1 (0,b0)9.抛物柱面y2= 2px (p Q第二章 线性方程组（Systems of Linear Equations ）n个变量 ,，xn, m个方程的线性方程组：（3, 1 Xi +
19、 3l2 2 + + ai nn = t）i I1 a211 + a 22 2 + + 32nXn = b2! ： ,（ am1 1 + 3m2 2 + + 3mnXn = bm若将XI=C1 ,，Xn= Cn代入上述方程等式都成立,则称（CICn）为该方程组的 一组解（solution）几个基本问题 方程组是否存在解？如果有解,有几个解？ 如何求方程组的解？ 解的公式表示 解的几何结构（如一个二元一次方程表示一条平面直线）2.1 GaUSS消元法基本思想：将方程组三角化,再回代求解例2.1(3 + 22 X3 = 6 (. + 32 + 2x3 = 92 2 + 33 = 3 f + 32
20、+ 23 = 9； l 2 - x2 + 3x3 = 3(3x1 + 2x2 - X3 = 6 f + 3x2 + 2x3 = 9 ,( 一 I -72 - X3 = -1572- 73 = -21 1 + 32 +23 =9x1 + 32 =7 f X1 =。t取代，-.-72 - 3 = -15 上l -7x2= 14YY一 l 2= 2 6x3 = 6X3 = 1Yq = 1 例2.2j Xi + 2x2 + 3x3 + I4 x4(1 + 22 - 54=1I 2 + 42 - 33 -19x4=6(-i- AYa RYC -24y.=7l 1 + 22 + 33 + 4x4 = -3
21、 a133 94 = 4I 93 - 294 - 12I,(-11X3 - 364 - 16+ 33 + 44 -312-33 - 94 = 41 = 1 - 2t + 5t2 9三个基本变换(1)交换两个方程；Oi - Oj(2)某个方程乘一个非零常数c Oi(3)某方程乘一非零常数加到另一个方程c 0i0j定理2.1三个基本变换将方程组变为同解方程组因此不会产生增根2.2 Gauss消元的矩阵表示解方程组的时候,变元不参与运算因此可以省去变元重新考虑例2.1X1 2 31329)-7-1-15 JAA2-1)32 X 336 x19 1329)J ； 2 T 334-72-13 QQ2-1
22、 pn7于是例2.1种的线性方程组等价于,(3x + 22 - 3 = 6 r (-7x2 - 72x3 = -21 (6x3 = 6两个进一步的例子重新考虑例2.2匚经 1 + 2X2 + 33 44= -3X2 + 2j N I 3 + 62 - 3x3 244 = 7例2.3:无解实例I- 2x2 + 53 + 4X4 = 2以6x1 - 7x2 + 43 + 34 = 39x1 - 92 + 9x3 + 7X4 = -12.3 一般线性方程组的GaUSS消元解法1 .算法描述2 .最终形式Cln )C11 Clj21JC2j2 C2lj3 1 C2n d2 1 i IICr. jrCr
23、n O . O a(O . O Idm)定理2.2线性方程组的解如下情形1 di O, i (r 1, ,m),方程组无解情形2 di = O, i = r + 1,，m且r = n,方程有唯一解情形3 di = 0,i = r + 1, ,m, r n,方程有无穷多解 j1, ,jf为非独立 未知数,其余为独立未知数(共有n - r个)，记为X , Jn r.则方程的通解可以写成 tl, ,tnr的线性组合对于齐次方程,只有情形23发生推论2.1齐次线性方程组有非零解充要条件为r n,只有零解条件为。r = n.推论2.2若m V n,则齐次线性方程组一定有非零解回头看本章开头提出的几个基本
24、问题：（1）解的存在性与唯一性问题已解决；（2） 求解问题已解决;我们还需继续研究方程的公式解及解的几何结构对于n = 3的情形,由于每个方程表示三维空间中的一个平面,因此方程组的解 将是一些平面的交集，因此解集可以是一个平面,一条直线一个点或空集这里, r是决定解集的一个非常变更的量！几个新的问题1 .如何从原方程组判别解的存在性唯一性及多解？2 .如何从原方程组直接确定r?3 . r是否唯一？4 .解集的大小与r有何关系？5 .直接从原方程获得解析（公式）解为研究方程组的解析（公式）解,我们将引入行列式的概念为研究方程组的解得 属性（存在性,唯一性等），我们引入矩阵的运算（特别是乘法运算）
25、.为研究线性方程组 的解集的结构,我们将引入线性空间的概念线性方程组行列式矩阵线性空间课堂作业1 .求下列线性方程组的通解：/2北1 + 3也一他+也=1 * j成立）则A称为上三角阵。 若矩阵A = （aij ）mn满足aij = 0对所有i A = (ajj)mn类似地)可以定义矩阵的减法运算和负矩阵A . B= (3ij . bjj ) m X n .A= (. 3ij ) m X n按照定义)只有大小相同的矩阵才可以相加减。定理3.1.矩阵的加法和数乘运算具有下列性质，(1) A + B = B + A：(2) (A + B ) + C = A + (B + C)：(3) A+O=O+
26、A=A:(4) A + (.A) = (.A) + A=O:(5) ( + )A = A + A:(6) (A + B ) = A + AB ：(7) ()A= (A):(8) 1A = A0因此)数域F上的所有m n矩阵构成F上的一个线性空间)记为FmX1 设Eij为(i, j)位置元素等于1 )其它位置元素等于。的m n矩阵)则每个矩 阵A = (aij)rn*n都可以唯一地表示成A =么 E的形式。于是)Fmn的 i. j维数等于mn )且Ejj 1 i m1 1 j M是FmXn的一组基。?3.2.2矩阵的乘法并非任意两个矩阵A与B都可以相乘)只有当A的列数等于B的行数 时)A与B才可
27、以相乘。 设A = (aij)1n)B = (bij)mp)定义A与B的乘 积 AB = (Cij) m* P )其中n I QGj = ikbkj = bij + 2b2j + X + n bj(3.4)k1即Cij等于A的第i行与B的第j列相应元素的乘积的和。(1)即使A与B是同阶方阵)AB与BA也不一定相等。(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。(3)在A的左边乘上对角阵相当于将A的各行分别乘上一个数)在A的右边乘 上对角阵相当于将A的各列分别乘上一个数。特别)用数量阵入I与A相乘 的效果等于矩阵的数乘入A。更特别)IA = Al = A )0A = AO = Oe定理3.2.矩阵的乘法运算具有以下性质，(1) (AB)C = A( BC)：(2) (AB ) = (AA)B = A(B )：(3) A(B + C) =
