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1、第四章 线性空间(LinearVeCtorSPaCe)?4.1 n维数组空间每一个方程可以与一个 + 1维向量对应因此,一个线性方程组对应于一组n1维向量.对方程组做初等变换对应于对向量做加、减、数乘等运算定义4.1 n维数组向量(对平面、空间向量的推广)及数组向量的运算加、减、 数乘.运算法则：(i)加法交换律(ii)加法结合律 (iii)分配律(iv)零向量(V)负向量(Vi)乘法结合；(Vii) 1 a = a.定义4.2线性组合与线性表示初等变换即对方程做线性组合.线性组合的线性组合仍为线性组合.线性方程组可以表示为向量形式Xl 31 + + Xnan = b.其中a,，a11, b为
2、m维列向量.齐次方程的通解可以表示为X = tl i + + t-rn-rm考虑集合：(81 ,，3m) ：= i3i i F i=1 k该集合拥有性质bl ,，bk (a ,，am),则 bi ，al).i-1定义4.3生成子空间与生成元生成子空间的几何考察.n = 3,(31) = aj | 1 F)一般表示一条直线,a2) = ai + 2a21入1 ,入2 F一般表示一个平面( , a2, a3) = a + 2a2 + 3a31 1 ,2 一般表示整个三维几何空间.问 b (a. a2, a3)?4.2线性相等与线性无关考察下列线性方程组h : = an + 1 + axn - bi
3、 = O)2 ： = a211 + , , , + 32Xn - b2 = OLI Im ： = am1 1 + , 1 + amXn - bm = O如果Ii是其余方程的线性组合,即Ii =.与人而，则去掉方程Ii= O1原方程组与现方程组等价：Z1rh = 0h =0I2 = 0IIlh+=Im( Im = 0此时称1 ,2 ,，m = 0是线性相关的.if X + y + z = 1C 1 2x y5z= 2是否线性相关？例4.2(X - 3y +13z = 1解：k = X y + z - 1, I2 = 2x + y +5z = -2, I3 =X- 3y +13z - 1 = 0.
4、设 3 =Alh + A2 2 ,则( 1 +22 = 1| 1 + 2 = -3、= 1 =-7入 1 +5 入 2 =1312 = 4. 1 +2入2 = 13 = -7 +42 .由于方程与向量一一对应因此可以类似定义数组向量的线性相关性定义 4.4 设 a , , am Fn.如果 3i 及 Aj F (j * i)使,= jaj,则称 j闺a1 , , am线性相关,否则,称它们线性无关.重新考察例 4.2 设 a1=(1, 1, 1, 1), a2 =(2, 1,5,2), a3 = (1,-3, 13, 1).则 a3 =-7a1 +4a2.因此a1 , a2, a3线性相关.由
5、于mmMaj= 0,某个 i = 1 0 jj = 0,某个入i 01=1j=1因此有定理4.1设a, ,an三FL则a, ,am线性相关=3不全为零的常数 m 1 , ,m 使 i3i = 0.i=1例 4.3 问向量 a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 1, 5), a3 = (1, -3, 13)是否锦性埠关?1，9解：a1,a2,a3 线性相关 O Aa + A2a2+入 3a3 = 0 有非零解 =215 , = 0.，9T -3 135因此，a1 , a2, a3线性相关.几条基本性质：(1)含零向量的向量组线性相关,特别0向量线性相关.(2)部分相关=整体相关.(3
6、)整体无关=部分无关.例 4.4 设 aI，a2, a3 R3.则a 与 a2 线性相关 OaI= Aa2 或 a? = ,即 ai /a2a与a2线性无关o tt a2ai, a2, a3线性相关Q其中一个向量是另两个的线性组合,不妨设a3 = 1at +2a2Qa1 , 32 5 3 共面ai , a2, a3线性无关。，a2, a3不共面定理4.2 a am线性相关。某个ai是它前面的向量的线性组合.定理4.3 a, , am线性相关=入通+ mam = O有非零解.(1)mn, a, ,a1 线性相关.(2) m = n, det(a, 1 am) = 0.(3) m n = rank
7、 (a 1 , a1) m (a1, , am)的所有 m 阶子式为零.总结起来有a1 am Fn, a1 am线性相关。某个ai是其它向量的线性组合=某个 ai是它前面的向量的一性组合 =线性方程组1al + + mam = 0有非零解 。 rank (ar an) + 2 - aa- 4 = 0.因此,31 , 2,83,84 线性 相关.例4.6 ai, a2 R3 .设耕，b?是a，a?在R2上投影则讲,b2线性无关=a, a2 线性无关.反之不然4.4 a= 1a2= 1 p,j . an, jj及加长向量组anar2Srm则 aram线性无关=bi bn无关bi bm线性相关= a
8、 am相关接下来我们看看线性相关与生成子空间的关系我们回忆(a, , a): = ia, F.先在R3中考虑OA 1 O() = a | R)=-过原点直线Rl送”.1/2 直线(31,(82) (l + 22 I 入1 ,入2 R)= I al t Aq 过a , a2 平面.| a /a2 g直线(a1,a2.a3)= , a1tta2, a3位于a1, a2所决定的平面，a, 2平面la1 , a2, a3 不共面生成子空间的核心性质：Ibi, , bi ，am),则 bj ，a).J= 1定义4.5 VU Fn为非空向量集合,它满足I若 a,., a1三 V , ,. , F ,则 A
9、iaiW V ,i=1则称V为Fn的向量子空间.显然，am)为Fn的子空间,称为a, , am生成的子空间(Subspacespanned by ar an).R3过原点的直线或平面为线性空间.空间(a1 am)的“大小”，与m没有必然关系,与a1 - an相关性有关.若a am线性相关,设Si = AjSj = (3 - Sm) =(Si , Sj-I , 3j+r a) “i反之亦然即若(a - - am) = (a - ai-, ai+ am),则 a,，am 线性相关.相应地,a, , am 线性无关 o Ai, a) # ai-, ai+ am)对三维空间中向量我们有ai, a2 线
10、性相关 =a /a2 = dim(a1, a2) 2a , a2 线性无关 OalHa2 Q dim(a , a2) = 2ai,a2, a3 线性相关=a1, a2, a3 共面=dim(a1, a2, a3) , Si-1, 3i+ am)即去掉ai剩下向量生成的空间不变类似地,如果a1 - ai-1 , ai+1 - am线性 相关,则可以进一步去掉其中一个向量而剩下向量生成的子空间不变这个过程可以 一直进行下去直至剩下的向量组线性无关一般地有(ai, , am) = (%, air).这里a“，air线性无关ail, ai，称为a, , an的一组极大无关组定义4.6 (极大无关组)设
11、为am e Fn.若即，a线性无关且任加一个其 它向量air,1后ah , , a air.线性相关,则称a”， ，为a, , a1的极大无关 组或者说如果(ai, , am) = (ail, , ar)且 a”，a上 线性无关,则称 ail, , air 为a, ,am的极大无关组类似地,可以定义方程组的极大无关组设方程组h = O1 ,Im = 0的极大无关 组为 Ii1 = 0, ,Iir = 0.则 Ii1 = 0, ,Iir = 0 是与 1 = 0, Jm = 0 等价,且线性无关 的方程组(不能再去掉任何一个方程)定义4.7 (等价向量组)设向量组a1, , am与向量组b1,
12、, b生成相同的子空 间，即，a1) = (bi, , b)则称Si, , am与bi,b等价.显然即，a与切，b等价,当且仅当a1, , am可以用b,，b线性 表示且b, ,b可以用a/ ,an线性表示例 4.7 求曲=(2, -1, 3, 1 )1 a2 = (4, -2, 5, 4), a3 = (2, -1,4, -1)的极大无关组解 由于3a1 = a2 + a3且a，a2 , a3中任两个线性无关,故其中任何两个为极 大无关组如何求极大无关组定理4.5假设a1， ，an e Fn经一系列的初等变换变为b1, , bm Fn,则 ai , , a线性相关ObI bm线性相关.因此，
13、人向+ mam = 0有非零解 = 1 b + +mbm = 0 有非零解;a“，a 为 a a1 的极大无关组 bi1, , bir 为b, ,bm的极大无关组根据上述定理要求一组向量a1 , , am的极大无关组只需要对它做初等变换 得到一组较简单的向量组其极大无关组很容易求解求它的极大无关组a a2 /14513 -2 (易知 ,a2, a3 L2 a19 a2 “a) 一分别为极大女如4现设即，am和aj1， ，ajs分别为a, , am的两个极大无关组问是否有 T=s?回答是肯定的我们有下述定理定理4.6两个等价向量组 ， ，aj和b, , bs)都分别线性无关,则T = s.定义4
14、.8 aam的极大无关组元素的个数(唯一)称为向量组的秩,记为rank (a1 am下列结论是显然的1 als ,am 线性无关 o rank(a, ,ant) = m.2. a, ,a1线性相关 o ramk(a, ,am) 2)线性无关=每个ai可以用前面向量的线性组合表 示?4.5线性方程解集空间的结构?4.5.1齐次线性方程解集间的结构设 A Fmxn ,记 V = x Fn | Ax = 0).1. V是Fn的子空间一解空间.2. V的基a ,.，as称为线性方程组Ax = 0的基础解系任一解x可以表示为 SX = ai-通解. i-13. dim V = n - r(A).?4.5
15、.2非齐次线性方程组解集的几何结构设 Ae Fmxn 及 b Fm(非零)，记 W = x F Ax = b, V = x Fn Ax = 0) W不是子空间！它具有性质1. , W = a- V.2. a W, V = a + W .定理 4.13 W = o + r I r V = o + V. o 是 Ax = b 的一个特解.?4.6 一般线性空间将数组空间推广到其它空间1。方程组成的空间.2。多项式空间Pn.3。三角多项式空间Cn.4。矩阵全体Fmxn.定义4.11 (线性空间空义)集合V W ,数域F .两种运算1。加法Vx V-V; 2,数乘FX V - V .还要8条运算公理则
16、称V为F上的线性空间.重点说明:两种运算的定义为何要8条公理从如下命题说明为何要8条公理 1 a + + an = O有非零解 =ai = 1n一 、a 一 . 一 1 an.iAi性质：(1)零向量唯一 Oi +02 = Oi = 02 +0 = 02 .(2)负向量唯一(3) Oa = : (-1)a = -a; AO = 0.(4) a = 0 OA = O 或 a = 0.例4.11线性空间实例(I)V=FL F .通常向量的加法与数乘.(5) V= (a Xi + + anx ai F).(6) V= P.(7) V = Fmxn .(8) V = C, F=R.(9) V = R+
17、 , F=R. = a,入。a = a.(10) V = C a, b. F=R.数组空间的相关理论线性相关与无关,极大无关组与秩子空间的基与维数等 都可以推广到一般线性空间注意不同类R3中有几何:长度、夹角等.Fn也可以定义但一般线性空间中没有向量长度、方向等概念?4.7线性空间的同构记V = n元一次齐次方程全体).对方程按通常的加法与数乘V构成一个线性空间.对每个I = a1X1 + +anxn = O V,有唯一， ，an) Fn与之对应由此建立V与 Fn的一个一一对应并且1 , ,Im线性相关“ b, , bm线性相关,其中bi与Ii对 应称V与Fn同构(即V与Fn的结构从线性运算角
18、度来说是相同的！).设V为n维线性空间，aI， ，an为V的基对任何x = x1 a1 + + xan, 有唯一坐标)X ：= (X1 , ,xn) Fn与之对应并且该对应保持线性关系不变: : V Fn, (x) = X. (x + y) = (x)+ (y), (x) = (x).定义4.12 V,V2是数域F上两个线性空间.如果存在映射 : Vi V2满足 (1) (x + y) = (x)+ (y), x, y Vi;(2) (x) = (x), F, x Vi .则称线性空间Vi与V2同构(isomorphic),记为Vi - 2 . 称为同构映射(isomorphism). 当Vl
19、 = V2时,称为自同构(automorphic).显然 dim V = n = V - Fn .定理4.14 : VlTV2是同构映射则 (1)(0) = 02.(3) (-) = -(a).(4) ( Aiai)= i(a2 ).(5) S线性无关(相关)。线性无关(相关).(6) B是VI的基。(B)是V2的基.(7) U是Vl的子空间。()是V2的子空间.(8) dimV = dim V2 .定理4.15数域F上线性空间Vi与V2同构 o dim Vi = dim V2 .例4.12 V是数域F上线性空间，a , ,a V线性无关.令i 丁 aijaj, i =j-11.2, ,m,
20、aij w F .证明dim(1, ,m) = rank(A).证 直接按定义不易要求仇， ，Bm的极大无关组先假设V= FL由已知条件，( , ,m) = (a, ,a)A1 A = (aij)mn.由于此时 1 , ,an为V的基,(6 , ,n)为可逆方阵从而dim(1 , ,m)= rank( , ,m) = rank(A).对于一般空间V 1考虑同构映射 : W := ( , . . . .an) Fn , o(ai)=普设 A = (Ai , ,Am).则 () = Ai, i = 1,2, . . . ,n.于是dim(, Fm) = dim(), ,(m) = dim(A,，A
21、m) = rank(A).课堂练习：1 . V = R. F = Q.证明V按通常加法、数乘构成线性空间.线性 无关.2 . V = 1, cos X, cos2 X, cos3 x).证明 1, cos x, cos 2x,cos 3x 为 V 的基. 求-3 + 2COS2X +cos3 X在该基下的坐标.3 .证明 R与R+同构.其中R+中加法与数乘定义如下a = a, a = a.4 .证明(1 - x)3,3(1 - x)x2,3(1 - x)2 , (1 - x)3 为 P3 的基,并求 1 + 2x +3x2 - 3 在 该基下的坐标.?4.8子空间的运算1 .求交设W,w2是V
22、的子空间.求Wln W2.(1) Wi W2仍为子空间.(2)求Wi W2的基.(3)求Wln W2的维数2 .求和设Wi1W2是V的子空间,定义Wi与W2的和Wi + W2 = a + a2 I a 1 W,a2 W2).(1) Wi W2为子空间.(2)求Wi + W2的基.(3)求Wi + W2的维数定理4.16(维数公式)设W,W2是V的子空间.则dim(W + W2) = dimW dimW2 - dim(W W2).设WijW2是V的子空间,如果WlnW2 = 0,则称Wi + W2为直和.定理4.17设WitW2是V的子空间,则Wi + W2为直和o Aa Wi + W2 , a可唯 一地表示为 a = a 1 +a2,其中 a 1 Wi and 立 e W2 0 dim(W1 + W2) = dimW1 + dimW2 CWl与W2的基合起来构成Wi + W2的一组基
