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1、蒙特卡罗模拟,蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟，又称蒙特卡罗方法、统计试验法等.,MC模拟是静态模拟，描述特定时间点上的系统行为.,模拟过程中不出现时间参数。,基本思想:把随机事件（变量）的概率特征与数学分析的解联系起来.,概率特征：随机事件的概率和随机变量的数学期望等.,用试验方法确定,一.蒙特卡罗法计算定积分,例7.3.1 用MC 模拟求圆周率的估计值.,设二维随机变量(X,Y)在正方形内服从均匀分布.,(X,Y)落在圆内的概率为:,计算机上做n 次掷点试验：,产生n 对二维随机点(xi，yi)，i1,2,n.,xi 和yi 是RND 随机数对.,检查每对随机数是否满足:,相当于第i个
2、随机点落在1/4圆内.,若有k 个点落在l4圆内,随机事件“点落入1/4圆内”的频率为 k/n,根据概率论中的大数定律,事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率p，即有,得圆周率的估计值为,且当试验次数足够大时,其精度也随之提高.,分析：实际上概率值为,恰为1/4圆的面积,频率法：,利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.,平均值法：,利用随机变量的平均值(数学期望)来计算定积分.,平均值法的算法如下：,产生RND 随机数：r1，r2，rn；,（2）令 ui=a(ba)ri，i=1，2，n；,（3）计算 作为I 的估计值.,原理分析：,设随机变量1，2，n相互独立，且iU(0,1),f(
3、i)，i=1，2，n 相互独立同分布,由(强)大数定律知,以概率为1 成立,当n 足够大时，得近似公式：,注：,平均值法本质上是用样本平均值作为总体教学期望的估计。,二.蒙特卡罗模拟试验次数的确定,MC 模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？,？,希望：模拟次数较少、模拟精度较高,频率法的讨论,用事件A出现的频率作为概率p 的估计:,问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度1（01），估计精度达到.,即问：取多大的n 使,成立？,证明,频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计,答案：,其中,z是正态分布的临界值.,n次独立试验中A出现的次数knB(n,p).由中心极限定理知,平均值法,在
4、给定和下所需的试验次数的估计式为,查得正态分布的临界值z,可解得,试验次数估计式的分析,为估计概率p做模拟,却又需要用p去估计模拟次数n.,如何计算S2？,解决方法：先做n0 次模拟（称为学习样本)，根据学习样本.,（1）先求出p的估计，再估计模拟次数n:,（2）计算出的样本方差S2,用来估计n.,2.M C模拟的估计精度与试验次数n的平方根成反比,若精度提高10倍,则试验次数n要增大100倍.,P197表8.2中列出了置信度为0.95 时,在不同精度及概率p条件下频率法所需试验次数。,对该表进行分析，能得到什么结论？,1.精度提高，试验次数大幅提高；,2.事件发生概率越接近0.5，试验次数越
5、高；,例 核反应堆屏蔽层设计问题,核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线.在各种射线中,中子对人体伤害极大，因此，在屏蔽层的设计中,了解中子穿透屏蔽层的概率对反应堆的安全运行至关重要.,1.问题背景,假定屏蔽层是理想的均匀平板,一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中子以初速度v0和方向角射入屏蔽层,运动一段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度及方向(v1,1).再游动一段距离后,与铅核发生第二次碰撞,并获得新的状态(v2,2),如此等等,经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子终止运动过程,三种状态,1）中子被弹回反应堆；,为使屏蔽层的厚度达到安全设计要
6、求,在计算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟,2）中子穿透屏蔽层；,3）第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收.,D,返回,穿透,吸收,阐述中子的运动，为模拟做理论准备,2.简化假设：,*1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离；,*2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降到为某一很小数值而终止运动（被引收）.,因每次碰撞后,中子因损失一部分能量而速度下降.,*4 中子经碰撞后的弹射角 U(0,2).,思考：请仔细分析以上假设的合理性.,*3 假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布；,3.中子运动的数学描述,引进变量：,弹射角i 第i 次碰撞后
7、中子的运动方向与x 轴正向的夹角.,D,D,0,x,xi,i,xi 第i 次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内 壁的距离.,R i 中子在第 i 次碰撞前后的游动距离.,三个变量均为随机变量,中子在屏蔽层里随机游动,第 i 次碰撞以后,按照它的位置坐标 xi，可能有以下三种情况发生：,（1）xi0，中子返回反应堆；,（2）xiD，中子穿透屏蔽层；,（3）0 xiD，若i10，中子在屏蔽层内继续运动,若 i=10中子被屏蔽层吸收.,中子三状态判别准则,经过第i 次碰撞，中子在屏蔽层内的位置是,xi=xi1+Ricosi，i=1，2，10，,4.模拟过程,(1)产生RND随机数对(ri,ui)；,(2)
8、将(ri,ui)代入公式计算,第i 次中子的移动距离和弹射角,(i=1,2,3，10),(3)将(Ri,i)代入公式,xi=xi1+Ricosi，i=1，2，10,计算出第i 次碰撞中子与内壁的距离xi.,判断中子是否穿透屏蔽层.,5.模拟结果分析,要求穿透屏蔽层的概率数量级为1061010,按假设条件得到一次模拟结果如下：,中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4,模拟结果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.,多厚的屏蔽层才能使穿透的概率W106？,问 题：,如何解决这个问题？,思路？,计算机收索法,增大屏蔽层的厚度，如D=6d、12d、24d、36d，交由计算机进行模拟,并搜索到所求解.,2.分析法,
9、D,D,D,设计屏蔽层的厚度：x=mD,将屏蔽层视为m层厚度均为D的平行板.,由于碰撞的能量损失,中子穿过屏蔽层的平均速度会逐层下降.,设WD 是中子穿过厚度为D 屏蔽层的概率,则穿过整个屏蔽层的概率W 满足,利用模拟结果：当D=3d，WD0.25，令,(WD)m106，或(m)410 6,取屏蔽层的厚度 x=10D=30d，可使穿透屏蔽层的概率w106,注：模拟5000个中子的运动,用穿透屏蔽的频率估计穿透概率,由表8.2可知精度大约只有1,模拟精度太低,应适当增大模拟次数.,总结：,模拟的意义？,1.模拟方法本质上是试验性的,模拟系统是 现实系统的仿真.,例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做一次“试验”或“观察”.,2.是对思维结果的一种验证.,3.模拟本质上是一种求解问题的试验方法,需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结果还需进行统计分析.,4.上千万次的模拟计算工作可以借助计算机完成,而且运算速度是非常快.,
