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1、“幂函数”教学设计 富源县第二中学数学教研组 郭光富一 教材分析（一） 在教材中地位与作用新课标下，幂函数再次出现在人教版（2007版）教材中，编排在必修1第二章基本初等函数（）的第三节幂函数这节内容曾经在人教版的老教材中出现过，后来在人教版（2003版）教材这节内容删掉了，现在又重新出现，两次在教材中的地位不一样，这次分量轻，要求低，只要一个课时，所以控制难度是值得注意的地方幂函数是基本初等函数之一,是在学生系统学习了函数概念与函数性质、指数函数和对数函数之后，进入高中以来学到的第三种函数模型，它让学生体会到高中数学的丰富多彩，从而激发学生对数学学习的兴趣；是对函数概念及性质的应用，能进一步
2、培养学生利用函数图象研究函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的意识；是研究函数方法和能力的提升，从概念到图象再到性质，从一般到特殊再到一般，体现了研究函数的一般方法和方法的迁移（二）教材编排与课时要求幂函数的教学按照教师教学用书要求一个课时完成通过一个课时学习幂函数的概念、图象和性质，从而进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并为学习三角函数做好准备二 教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标： （1）通过实例，了解幂函数的概念，掌握幂函数的形式特征； （2）结合函数的图象，掌握幂函数的
3、性质； （3）能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题过程与方法目标： 类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质情感态度与价值观目标： （1）通过师生、生生间的讨论、互动，进一步渗透数形结合思想与类比的基本方法，培养合作、交流、探究的意识品质； (2) 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，渗透辨证统一的观点三 教学重难点分析从知识体系来看，前面有指数函数和对数函数的学习，后面有三角函数的研究，本节课的学习具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的数学思想方法；就能力培养来说，通过对幂函数性质的归纳，可培养学生类比、归纳概括能力，运用数学语言交流表达的能力从学生认
4、知发展角度出发，他们具备一定学习新函数的能力，可以通过学习指数函数和对数函数的方法来类比，但毕竟幂函数在三种初等函数中是最难的，分类多、性质杂，我采用让学生动手画图、分组讨论、小组展示等手段突破难点因此，确定这节课的重难点为：教学重点：从五个具体的幂函数中归纳认识幂函数的概念和性质教学难点：描点法作幂函数的图象和由图像概括幂函数的性质四 学情与教法分析（一）学情分析 从学生思维特点和认知结构来看，前面学生已经学指数函数和对数函数，对新函数的学习具备一定的经验一方面可以把本节课与前面的指数函数和对数函数进行类比学习，另一方面本节课分类情况多，性质归纳困难，尤其是与注数函数易混淆对进入高中半学期的
5、学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨性的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊（二）教法学法分析 学生思维活跃，求知欲强，然而，思维没有惯性、知识不能迁移、方法得不到推广是高一学生存在的问题因此，结合本节课内容，对概念的学习采用“引导探索法”；对图象与性质采用“后茶馆式”教学法，规律让学生找，结论让学生得，例题让学生讲，错误让学生析，通过启发疏导，点拨评价，分组讨论，合作交流，共同探究，让学生逐步体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性 本节课主要是通过对幂函数模型的特征进行归纳，动手探索幂函数的图象，观察发现其性质，因
6、此，建议学生在经历观察、类比、猜想、论证过程中，完成知识的探索，感受学习数学的乐趣，培养学生对知识应用的灵活性，提高分析问题和解决问题的能力（三） 教学环节合理安排，设计板书自我成长，反思教学联想类比，导出概念通过实例，引入课题类比归纳，探究新知概括归纳，形成理论收获体会，小结课堂课后反馈，布置作业五 教学过程分析一 通过实例引入课题问题1观察以下几个实例：如果张红购买了每千克元的蔬菜千克，那么她需要付的钱数元，；如果正方形的边长为，那么正方形的面积，；如果正方体的棱长为，那么正方体的体积，；如果一个正方形场地的面积为，那么正方形的边长，；如果某人秒内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，；以上实
7、例都是生活中常见的有关函数的例子，若将它们的自变量全部用来表示,函数值用来表示,则它们的函数关系式将分别是: 设计意图：通过具体例子，让学生回顾学习过的函数概念和表示这是五个身边很简单的例子，师生容易发生共鸣首先，能让学生感受数学来源于生活，也应用于生活，其次，能使学生认识到引入幂函数概念的必要性及其应用价值，激发学生学习热情和探究欲望；再三，为引入课题所用，为定义幂函数打下基础，为研究幂函数的性质埋下伏笔二 类比归纳，探究新知（一）联想类比，导出概念 问题2 以上函数是否为指数函数？这些函数的解析式有什么共同特征？（1）都是以自变量为底数的幂；（2）指数为常数；（3）自变量、因变量前的系数都
8、是；（4）只有项；（5）这些例子中涉及的函数都是形如的函数（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳；把学生分成小组进行讨论，并选代表发言）板书课题并归纳幂函数的定义设计意图：指数函数与幂函数在形式上很相像，学生容易混淆，而我们已经学习过指数函数，在这里提出“这些函数是否为指数函数？”这个问题恰到好处，能让学生回顾指数函数的定义，寻找幂函数与指数函数的区别同时，“这些函数的解析式有什么共同特征？”这个问题的提出，主要是引导学生讨论、探索、发现，从而导出幂函数的定义，为分析幂函数的形式特征奠基幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数
9、因此，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系数为，只有一项请同学们看下面的例题：（基础练习）例1：判别下列函数中哪些是幂函数？ ；总结要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定义根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系数为，只有一项设计意图：幂函数的概念来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数为了加深对幂函数定义的理解在例题中设计了很多可能，是幂函数的“标准”形式，通过变形则可，根据幂函数的定义，都是幂函数；例举了系数不为的情况，列举了不止一项的情形，都能从反面对幂函数的定义加深认识和理解（感受理解）例2：判断下列函数中哪些是幂函数、哪些是指
10、数函数？ ；总结判断一个函数是幂函数还是指数函数的关键是看看自变量是指数还是底数，若是指数，则为指数函数；若是底数，则是幂函数设计意图：进一步加深对幂函数定义的理解，拓宽概念外延，也呼应了问题的提出（巩固提升）例3：已知函数为何值时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数我们了解了幂函数的概念、掌握了幂函数的形式特征以后，我们一起来研究幂函数的性质（二）概括归纳，形成理论问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法研究这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起研究了哪些性质？（学生分组讨论，教师引导）设计意图：启发学生作图，利用图形的直观研究函
11、数性质，引导学生利用图象法具体研究函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等让学生感受到新知识的学习和研究方法往往以旧知识为基础；也能让学生体会到图形法研究函数性质的重要性，数形结合对解决问题的作用以下的设计考虑到在同一坐标系下作出几个函数的图象很复杂，按照学生的学习经历，结合这节内容的特征，采用了分层逐步完成再概括的方法处理在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生分组作图，教师巡视）观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内（小组展示）定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数单调性R上是增函数在（,
12、0上是减函数，在(0, +）上是增函数R上是增函数(0，+)上是增函数公共点（）问题4上面我们研究了（）时的情况，接下来请同学们模仿我们探究幂函数（）的情况探讨时幂函数图象的基本特征（学生独立作图，教师巡视） 观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内（个人展示）函数定义域值域奇偶性单调性公共点奇函数减函数偶函数增，减归纳总结得到幂函数的性质：幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，都因函数式中常数的不同而各异1所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且函数图象都通过点(1,1)；2当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数；3若，则幂函数在(0,+)上为增函数；若，则幂函数在(0,+)上
13、为减函数 下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性（板书一题，其他学生回答并小结）：； 设计意图：为了巩固幂函数的性质，学生可以画图完成，也可以直接利用幂函数的性质解决；同时，能照顾到中下层的学生，是打好基础的好题（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由（板书一题，其他学生回答并小结） ； ；总结指数相同的幂，构造幂函数， 底数相同的幂，构造指数函数，然后利用单调性进行大小比较设计意图：加深学生对幂函数性质的理解和掌握例题的要求较高，是考查函数的常规题型，是幂函数性质的简单应用，能培养学生知识迁移能力（巩固提升）例
14、6：幂函数在区间上是减函数，求的值设计意图：此题是幂函数的定义与性质的综合题，加强学生全面理解幂函数为提高学生的综合能力、分析问题的能力、计算能力和逻辑思维能力而设计三 收获体会，小结课堂问题5：谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？问题6：幂函数与指数函数的不同点主要表现在那些方面？问题7：获得了哪些思想和方法？四 课后反馈，布置作业必做题：课本；选做题：当为有理数、，且为既约分数）时，讨论幂函数的图象和性质设计意图：这节课通过对一些具体的幂函数的研究，归纳概括出了幂函数的图象随幂指数变化的情况对于优生，这一结论应从理论上加以完善，因此布置了选做题五 合理安排，设
15、计板书课题：幂函数一幂函数的定义且函数图象都通过点(1,1)；形如的函数称为幂函数， 2当为奇数时，幂函数为奇函数，其中是自变量，是常数 当为偶数时，幂函数为偶函数；例: 3若，则幂函数在(0,+)上为增函数；例: 若，则幂函数在(0,+)上为减函数例: 例4： 二幂函数的性质 例5： 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并 例6： 六 自我成长，反思教学 本节课我从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生观察、联想、类比，使学生感受到生活中处处有数学，并会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学生对学习数学的兴趣和愿望，使他们最大限度的参与到课堂的活动中，在整个教学过程中，我以启发学生、挖掘学生潜力，让他们通过实践思考，探索交流中形成机能，发展思维，学会学习，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而最大限度发展自己的潜能然而，也有些细节有待完善，具体是：v 本节课课堂容量大，有条件的班级最好能用多媒体辅助教学；v 课程标准对幂函数的研究范围有相对限制，课堂不宜研究太深；v 学生容易将幂函数与指数函数混淆，最好对两类不同函数的表达式进行辨析；v 幂值的大小比较是难点，分析讲解时要充分发挥学生的主观能动性，并加以总结归纳；v 学习过程中，为了让他们能够体会数形结合思想的优点，最好让他们多练习画函数图象，通过观察函数图像来直观地得出函数的性质8
