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1、九年级数学(人教版)上册,21.2.4 一元二次方程根与系数的关系,复习课,一元二次方程根与系数的关系,推论1,推论2,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,(1)x2-2x-1=0,(3)2x2-6x=0,(4)3x2=4,(2)2x2-3x+=0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,说一说：,在使用韦达定理时，应注意：、不是一般式的要先化成一般式；、在使用X1+X2=时，注意“”不要漏写。（3）前提是方程有实数根即0,几种常见的求代数式的值,引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,（2）
2、若两根互为倒数,（3）若一根为0,（4）若一根为1,（5）若一根为1,（6）若a、c异号,补充规律：,则b0;,则ac;,则c0;,则abc0;,则abc0;,方程一定有两个实数根.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法一：,设方程的另一个根为x1.,由韦达定理，得,x1 2=k+1,x1 2=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程
3、，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k=-2,由韦达定理，得x123k,即2 x1 6,x1 3,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。,解：设方程的两根分别为 和，则：而方程的两根互为倒数 即 所以：得：,例2.方程 的两根互为倒数，求k的值。,例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。,解：设方程的两根分别为x1和x2，则：x1x2=,k=-9,例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。,解法一:设两数分别为x,y则:,解得:,x=2y=1,或,1y=2,解法二:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:,求得,这两个数
4、为2和-,作用2：已知两个数的和与积，求两数,例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求这两数.,设这两数为 m,n，,解：,m,n可以看作是方程 x2-14x-51=0的两个根,这两数为17，-3,作用2：已知两个数的和与积，求两数,作用3：求代数式的值,例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1,x2。求下列代数式的值。,(1)x12+x22（2）（3）（x1-x2)2,解：x1+x2=,x1 x2=-1,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,（2）x1+x2=,x1 x2=-1,（3）x1+x2=,x1 x2=-1,（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2,=(x1+x2)2-4x
5、1x2,作用3：求代数式的值,(4)(x1+1)(x2+1)（5）x1-x2（6）,（4）x1+x2=,x1 x2=-1,原式=x1x2+x1+x2+1=,（5）x1+x2=,x1 x2=-1,（6）x1+x2=,x1 x2=-1,（7）x1+x2=,x1 x2=-1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,（8）x1+x2=,x1 x2=-1,例2.已知方程的两个实数根 是且 求k的值。,解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k，x1x2=k+2 又 x12+x2 2=4 即(x1+x2)2-2x1x2=4 K2-2(k+2）=4 K2-2k-8=0,解得：k=4 或k=-2,=K2
6、-4k-8当k=4时，=-80k=4(舍去）当k=-2时，=40 k=-2,1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根a2+3a-7=0，a+b=-3，则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4,课堂练习,作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。,2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。,解：x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x
7、1-mx1,x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x12x2=4x1x2=42=8,作业：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。,3.已知 m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（mn）求(m-1)(n-1).,解:,由已知条件得，,m,n是方程 x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根，,由韦达定理得：,m+n=-2,mn=-2009,(m-1)(n-1)=,mn-(m+n)+1,=-2009-(-2)+1,=-2006,课堂
8、练习,4.已知3m2-2m-5=0,5n2+2n-3=0.其中m,n为实数，求 的值。,解：3m2-2m-5=0 与,由于m,的关系没有给定，故应分两种情况：,当m=时，,当m 时，可知m,是方程3x2-2x-5=0的两个根，则,综合，得 或,5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且，求a的值.,解：据题意得x1+x2=1；x1x2=a,3a2+2a-1=0，即,又=1-4a0，a,a=1/3舍去，a=-1.,7.已知方程x2+3x+1=0的两个根为 求 的值。,解：,8.已知关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大
9、21。求m的值。,解=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m0 m0 设方程两个根为x1、x2，则由题意：x1+x2=-2(m-2),x1x2=m+4 x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=21 4(m-2)2-3(m2+4)=21 m2-16m-17=0 m1=-1，m2=17（不符合m0，舍去）m=-1,9.当m为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍.,解：设两根分别为,则由韦达定理得：,2 得,10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是，求的m值。,解：设方程两根为x1,x2.则,解得：m1=-11,m2=3,当m=-
10、11时，方程为2x2+11x+23=0,=112-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去,当m=3时，方程为2x23x5=0,=(-3)2-42(-5)0,方程有两个不相等的实数根.,m的值为3,11已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。求k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由,解：42-4k(-3)0且k0 k 且k0,假设存在.,存在满足条件的k值，且k=4,1.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根。求实数k的取值范围；是否存在实数k，使方程的两个
11、实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。,解：（2k+2)2-4k(k-1)0且k-10 k 且k1,假设存在,设方程的两根为x1，x2,不存在满足条件的k,13.是否存在实数m，使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。,解：假设存在,设方程的两根为x1，x2,x1+x2=2(m-2)=2m-4,x1x2=m2,又x12+x22=56,(x1+x2)2-2x1x2=56,(2m-4)2-2m2=56 即m2-8m-20=0,解得：m1=10,m2=-2,当m=10时，方程为x2-16x+100
12、=0,=(-16)2-41000，方程无实数根，m=10不合题意，舍去,当m=-2时，方程为x2+8x+4=0,=82-440,方程无实数根，m=-2不合题意，舍去,不存在满足条件的m,例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2-6x+2=0的两根平方的倒数.,解：设方程x2-6x+2=0的两根为m,n,设所求方程的两根为x1,x2,作用4：求作一个一元二次方程,2.甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项系数p，解得根为4和-9；乙看错了常数项q，解得根为2和3；求原方程。解：甲看错了一次项系数，解得根为4和-9，得q=4(-9)=-36，乙看错了常数项，解得根为2和
13、3，得p=-（2+3）=-5则原方程为：x2-5x-36=0，,例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0,解：,（1）设方程的两个根为x1,x2，,则x1 0，x2 0,作用5：研究方程根的情况,（1）k 为何值时，方程有两个负数根？,例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0,（2）k 为何值时，方程有一正根和负根？,解：,(2)设方程的两个根为x1,x2，,则x1 0,作用5：研究方程根的情况,补充规律：,一正根，一负根,0 x1x20,两个正根,0 x1x20 x1+x20,两个负根,0 x1x20 x1+x20,0,0,例2：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,=,即,m0m-10,0m1,解：设方程的两个根为x1,x2，,则x1 0,总结归纳,1、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用根与系数关系解决问题；3、探索解题思路，归纳解题思想方法。,要学习好只有一条路 探索,再见,
