2-斐波那契数列.docx

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1、实验一斐波那契数列一、实验目的与要求1. 认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；2. 了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3. 掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；4. 提高对数据进行分析与处理的能力。二、问题描述某人养了一对兔（公母各一只），一个月后这对兔子生育了一对小兔。假设 小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子 不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？三、问题分析这个问题，最早由意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170-1240） 于 1202 年在其著作珠算原理中提出。根据问题的假设，

2、兔子的总数目是如下数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233，问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。这个数列通常被称为斐波那契（Fibonacci）数列，研究这个问题就是研究 Fibonacci数列。把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n个月后，总共有 多少对兔子？即Fibonacci数列的第n项是多少？这就需要我们探素Fibonacci 数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于 第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n个月后兔 子的对数（表示生育出来的新兔子对数）

3、。这样就得到关于Fibonacci数列的一 个递推公式：Fn+广Fn利用matlab软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后， 我们可以观察到Fibonacci数列的变化规律；通过matlab软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以 推导出来Fibonacci数列的通项公式。四、背景知识介绍1. 数据的可视化将离散的数据：F, F , F , F，,F，1234 n看成平面坐标系里的点：(1F),(2, F ),(3, F ),(4, F )，,(n,F )，,1234n利用matlab软件的plot函数在平面坐标系里划出一

4、个点列，就可以实现离 散数据的可视化。plot函数的基本使用格式为：plot(y),其中参数y表示竖坐标， 即需要显示的数据。例 1y=1:20;y=y.A3;plot(y)2. 数据的拟合数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。目标 函数的类型，可以是多项式、指数函数等。作数据拟合，首先需要估计目标函数 的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标 函数，此时称为线性回归。确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平 方和取最小值。在matlab软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是 polyfit，它的基本使用格式为：polyfit (x

5、,y,n)。其中(x,y)是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n是事先确定的多项 式的阶数。例2x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; p=polyfit (x,y,2)结果：0.2676t2 - 3.6053t + 13.4597调用f = polyval(p遥)，可以查看拟合多项式的对应于x的离散数值。3. 数列的通项公式寻找一个整标函数，使得它在n处的函数值，等于数列的第n项的值，这个 函数就是数列的通项公式。4. 黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部 分之比(如下图)。其比值是一个无理数(J5 - 1)

6、: 2,取其前三位数字的近似值 2是0.618。由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。AM:AB=MB:AM五、实验过程本试验将Fibonacci数列的有限项，看成是待处理的数据。首先利用matlab软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：指数函数的曲线。进止步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。通过观察到的目标函数，然后利用matlab软件的数据拟合功能，得到Fibonacci 数列通项公式的近似关系。最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci数列的 通项

7、公式。1. 观察数据的大概函数关系为了研究Fibonacci数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。利 用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中 蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：(1)定义数组fn；(2)显示数组fn。具体的代码如下:function plotfibo(n) %定义函数显示Fibonacci数列前n项fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的第3项到第n项endplot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第 i 项添加到数组 fn 中 %循环结束这个函数的

8、调用方式是：plotfibo(30)，显示出来的图像为图1，经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。可以改变参数n的值，反图 1 n=30图 2 n=50图 3 n=500图 4 n=10002. 进一步验证上一步得到的结论经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。为了进一步验 证这个结论是否正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。如果这些数据 确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式， 从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将 这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实现流 程

9、为：(1)定义数组fn；(2)数组fn取对数；(3)显示数组fn。具体的代 码如下：function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的第3项到第n项fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第 i 项添加到数组 fn 中end%循环结束fn=log(fn) ；%将原来的数据取对数plot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotlnfibo(30)，显示出来的图像为图5,经观察， 觉得它确实象一条直线。可以改变参数n的值，反复观察。3. 获得数据的近似关系式经过以上第一步

10、的观察，确定Fibonacci数列的数据是指数函数的关系， 第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为Fibonacci数列的数据关系就是 指数函数，取对数后就是线性函数，即一阶多项式。利用Matlab软件的数据拟 合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到 Fibonacci数列通项公式的一个近似表达式。具体的实现流程为：(1)定义数 组fn； (2)数组fn取对数；(3)用一阶多项式拟合数组fn。具体的代码如下:function fitlnfibo(n) %根据取对数后的数据，拟合出线性表达式fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的

11、第3项到第n项endfn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第 i 项添加到数组 fn 中 %循环结束xn=1:n;%定义横坐标fn=log(fn) ;%将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1)%拟合装有数列前n项的数组这个函数的调用方式是：fitlnfibo(30)，运行后返回结果是：0.4799, -0.7768。这两个数据就是一阶多项式的系数，即：logF )0.7768+0.4799n为了提高精度，可以加大n的值。取n=1000时得到：logF )0.8039+0.4812n从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：F 0.4476 1.618Q4.观察拟合数据与

12、原始数据的吻合程度经过第三步的拟合，得到了 Fibonacci数列近似的通项公式，为了观察其 吻合程度，我们将Fibonacci数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行 对比观察。具体的实现流程为：(1)定义数组fn1,fn2 ; (2)显示数组fn1,fn2。 具体的代码如下：function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=;%装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项fn1=fn1,0.4476*1.618i; %将第 i 项添加到数组 fn1 中endfn2=1,1;%装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %

13、fn2的第3项到第n项fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第 i 项添加到数组 fn2 中 endx=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*) %显示，fn1 -兰线，fn2-红星这个函数的调用方式是：fitlnfibo2(20)，显示出来的图像为图9,或fitlnfibo2(50)，显示出来的图像为图10。图 9 n=20图 10 n=505. 猜测Fibonacci数列的通项公式通过以上的观察和分析，我们知道Fibonacci数列的数据大概是指数函数 的关系。因此，我们猜测它的通项公式具有形式：Fn=k xrn。将这个表达式代 入递推公式F 2 = F 1 +

14、 F中，得到：k x rn+2 = k x rn+1 + k X rn。经过简化得到：r 2 = r +1这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：r = (1土、污):2考虑到Fibonacci数列的数据无限增大，我们取r = (1+桐:2，于是得到 通项公式如下：F = k x (1+ 5) + 2n上面的公式对吗？我们可以来验证。取n=1和n=2代入上面的公式中计算， 显然得不到F1 = 1,F2 = 1，因此它不是Fibonacci数列的通项公式。但这个公式并非一无是处，我们可以来考虑这个公式与Fibonacci数列到 底相差多少。因此，我们引入以下一个数列：T = F - k x

15、 (1+ 5) + 2n可以验证，这个新的数列也满足同样的递推公式：t+2 = t+1 +t，因此我 们猜测它同样是指数函数的形式，可以假设其表达式为：T =Xx rn，代入递推公式后，同样可以得到：r2 = r +1。这里的r显然不同于上面的r,故这个r取值为：r = (1*5) : 2，从而得到：T =3 (1一寸5) + 2。故有： nF = k X (1+ 5) + 2n +人 X (1 5) + 2n由条件F = 1, F = 1确定其中的常数，得到：12F = (1+T5) + 2n -(1-妁 + 2n 三必可以验证，它确实就是Fibonacci数列的通项公式。这个公式是法国数学

16、家比内(Binet)在1843年发现的，称为比内公式。6. 推导Fibonacci数列的通项公式Fibonacci数列具有如下递推关系：Fn+2 = Fn+1+Fn这个等式实际上是一个二阶常系数线性齐次差分方程，可以仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解。首先由递推等式得到如下特征方程：r 2 = r +1这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：r = (1*：5) : 2因此，我们得到差分方程的通解如下：F = C1 X (1+姊 + 2n + C2 X (1-姊 + 2n取n=1和n=2代入上面的公式中，解得：C1 = 1 + 拒 C2 =-1+ 右从而得到：F = (1+75) +

17、2n -(1-姊 + 2n 一赂六、结论与应用1. Fibonacci数列的阶通过以上实验过程，我们得到了 Fibonacci数列的通项公式，它类似一个 指数函数，当n无限增大时，其数据也无限增大，变化的阶是:（1+ 七5） :2）十七5在Fibonacci数列的通项公式中，出现了（1+p5） :2和（1-气；5） :2等无理 数，而它们运算以后的结果确是正整数，多么奇妙啊！2. Fibonacci数列与黄金分割数的关系上面的两个无理数之间，存在着这样的关系：（1+七：2 = 5 -1）: 2-1而G =（志-1）:2就是著名的黄金分割数。因此，Fibonacci数列的通项公 式又可以写成如下

18、形式：F =G-n + （-1）n+1 Gn 5可以验证，Fibonacci数列与黄金分割数之间还有如下的关系：F-2-F3FF5F 2 F2 n+1 G F2 n +1 -F2n+2FF4F 1-F2Limn sF 5 -1 nF2n+1G（怎么证明上式？）3. Fibonacci数列通项公式的其它形式Fibonacci数列的通项公式还有其它形式，比如:1-1000011-1000Fn+1 -011-1 0000014. 自然界中的Fibonacci数列Fibonacci数列与自然界中的许多现象有着紧密的联系。例如，树木的生长， 由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能

19、萌发新枝。 所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”， 老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年 “休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律， 就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。又如植物的分枝生长、向日葵种子的排 列、花瓣的数量、品体的结构等都是Fibonacci数列。花瓣的数量，一般都是Fibonacci数以斐波那契螺旋方式的排列如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其 为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的布局能使植物的生长疏密得当、最 充分地利用阳光和空气。5. 应用F

20、ibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用 价值，在现代物理、准晶体结构、化学等领域有直接的应用。本实验研究的是Fibonacci数列的变化规律，而数列本质上就是一些数据。 因此，对于一般的数据(比如：从调查中获得的数据、从试验中获得的数据)， 我们也可以参照这样的方式，来分析其中蕴涵的规律。利用Matlab软件的数据 可视化功能和数据拟合功能，可以极大地方便我们进行数据处理分析。七、练习1 .讨论数列七广气+1 *，a1 = 1的变化规律。(1) 在平面坐标系中画出数列变化的折线图；(2) 观察图形，你认为数列的极限是什么；(3) 观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；e 12.讨论调和级数的产n变化规律。(1) 画出部分和数列*变化的折线图，观察变化规律；(2) 引入数列：气=%-sn，作图观察其变化，猜测是否有极限；(3) 引入数列：气=S2，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；(4) 调和级数的部分和数列的变化规律是什么？