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1、基于信息技术的探索型数学实验教学模式初探蒋晓云1，马再鸣2（1、桂林师专 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001；2、西昌学院 四川 西昌 615022）【摘要】突破传统课堂教学模式，构建以学生自主探究为主线的基于信息技术的探索性数学实验教学模式：“创设情境数学实验观察思考归纳猜想推理论证拓展交流”，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，体现了大力提倡的“自主探究、合作交流、实践创新”学习方式。【关键词】信息技术；自主探究；课程整合；数学实验数学长期以来一直被认为是演绎科学，布尔巴基学派就试图以简明、严格和统一的方式来重写数学，贯穿其中的是“
2、定义定理证明系”。尽管这在数学家之间交流是很有价值的，但它隐去了“观察、猜想、实验、归纳”在创造数学过程中的重要作用。用演绎的方法来组织的数学教学，展示给学生的是“已组织好的数学系统”，片面强调数学的严谨性、逻辑推理的形式化，教师通常是沿着“定义-假设-定理-证明-推论”这么一条演绎的道路进行的。大学数学课程负担重、枯燥乏味、学生学习积极性不高，一直困扰着大学数学教育。我们认为最好的策略是运用信息技术构建大学数学实验教学模式，用计算机模拟数学发现的历程，使用计算机进行数学实验，通过电脑证明数学定理、解决数学问题，培养学生动手操作、自主探究、合作交流和推理能力。数学实验主要有：一类是以介绍数学应
3、用方法为主，通常是计算方法、统计方法和优化方法，以对这些方法的学习来带动实验；另一类是以探索数学的理论和内容为主，目的是通过实验去发现和理解数学中较为抽象或复杂的内容，这种数学实验课较适合大学数学教学，本文侧重讨论的就是这一类探索性数学实验。它在数学研究和数学教学中有着十分重要的作用。一、探索性数学实验教学模式的理论基础教学模式是指在一定的教育思想、教学理论和学习理论指导下，在某种教学环境和资源的支持下的教与学活动中各要素之间稳定的关系和活动进程结构。它包括理论基础，学科特点，教学目标、教学环境和资源的创设，教师和学生的主导及主体活动，教学活动的进程结构等基本要素。探索性数学实验教学模式：“创
4、设情境数学实验观察思考归纳猜想推理论证拓展交流”的理论基础和基本思想仍然是建构主义教学理论和现代数学观及数学教学观。 建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境中，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。由于学习是在一定的情境中，借助人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此，建构主义学习理论认为“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大因素。学习的质量是学习者建构意义能力的函数，而不是学习者重现教师思维过程能力的函数。学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。学生要成
5、为意义的主动建构者，就要求学生在学习过程中从以下几方面发挥主体作用：（1）要用探索法、发现法去建构知识的意义；（2）在建构意义过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料，对所学习的问题要提出各种假设并努力加以验证； （3）要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。“联系”与“思考”是意义构建的关键。 教师要成为学生建构意义的帮助者，就要求教师在教学过程中从以下几个方面发挥指导作用：（1）激发学生的学习兴趣，帮助学生形成学习动机；2）通过创设符合教学内容要求的实验情况和提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构当前所学知识的意义；（3）为了使意义建
6、构更有效，教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），并对协作学习过程进行引导使之朝有利于意义建构的方向发展。因而，“数学实验”教学模式的目标是要实现教学过程要素关系的转变，体现教师角色、学生地位、媒体作用、教学过程的转变。 从数学本身的发展来看，今日数学已不仅是一门科学，一门艺术，还是一种技术，一种关键的普遍适用的技术。从开创数学公理模式先何的欧氏几何原本开始，随着人类理性的发展，使得诉诸直观与实验和算法的数学开始向逻辑演绎证明转化，公理化终于成为人类在逻辑基础上建立抽象严密数学体系的主要方法，逻辑推理成为数学成果的最终存在形态。然而，数学产生于“直观”和“实验”，而且无论怎样的逻辑
7、推理，观察与实验的方法仍是数学发现的重要方法。因此，数学也是一门实验性的归纳科学，需要运用实验、归纳、类比、猜想等思维方法去发现知识、创造数学思想并开拓新的领域。计算机技术和数学软件的飞速发展使人们对“数学课程与信息技术的整合”有了更深刻的理解。随着计算机强大的运算功能、图形功能的开发和应用方便的数学软件的不断升级，学生不仅能在很短时间内自由地选择软件、比较算法、分析结果，而且能在屏幕上通过数值的、几何的观察、联想、类比，去发现解决问题的线索，探讨规律性的结果。以信息技术为“学具”，全面主体参与，通过自主选择、亲手操作，在“动”中学习、“动”中认知、在“动”中探索、在“动”中发现，由过去的知识
8、学习转变为素质全面提高的学习。教学过程中教师是教学情景的设计者、教学活动的组织者、学生思维的促进者，把学生的学习过程设计为探索的过程、发现的过程、创造的过程，帮助学生形成和发展数学概念、发现和认识数学规律、理解和应用数学知识。使学生真正成为实践者、体验者和获益者。二、构建基于信息技术的探索性数学实验教学模式探索性数学实验教学模式概括为六个环节：“创设情境数学实验观察思考归纳猜想推理论证拓展交流”。笔者以“Fibonacci数列通项的探索”为例阐述基于信息技术的探索性数学实验教学模式的操作特征。1、创设情境创设情境是指教师在学生动手实验之前，给学生提供新的学习准备，营造一个良好的学习氛围。在这情
9、境中，学生原有的数学认知结构与新学习的内容之间发生冲突，学习者在心理上产生学习需要。创设情境的方式主要有“真实性情境”、“问题性情境”。创设问题性情境是探索性数学实验教学过程中的第一环节，它是实施其他环节的首要条件。意大利数学家Fibonacci在十三世纪初提出这样一个有趣的问题：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若不计兔子的死亡数）？我们不难得出下面结果：月份n12345678幼兔10112358成兔011235813总数1123581321这个数列称为Fibonacci数列，很容易看出数列满足递推关系： （
10、1） 有了递推关系，计算这列数给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算一年后，18个月后的兔子对数。若要计算500个月以后的兔子数的值，我们不得不求得从到全部值。这时我们迫切地想知道：若已知月份数，能够马上计算出兔子对数吗？这又引起了另一个问题斐波那契数列的通项是什么？2、数学实验数学实验是指学生按照教师提出的实验要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验结果做出清楚的描述，它是整个教学过程中的核心环节。为了更直观了解数列的特性，我们借助于Mathematica数学软件计算出Fibonacci数列的前20项并作出其散点图和折线图。：fib
11、= Tablei, Fibonaccii, i, 1, 20ListPlotfib;ListPlotfib, PlotJoined - True, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 5, 6, 8, 7, 13, 8, 21, 9, 34, 10, 55, 11, 89, 12, 144, 13, 233, 14, 377, 15, 610, 16, 987, 17, 1597, 18, 2584, 19, 4181, 20, 6765观察Fibonacci数列的图象： 3、观察思考仔细观察数据的图象，它与哪一种已知函
12、数图象很近似？（由此可知其fibonaccii随i增加的速度很快。大概按指数式增长。）我们取对数后再观察，可以发现图象近似一条直线。lgf = Logfib;tu2 = ListPlotlgf, PlotStyle - PointSize0.014、归纳猜想提出猜想是指学生在理解了学习课题后，通过实物模型、虚拟模型、直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节整个教学过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段。同时也是培养学生合情推理能力的过程。猜想1： （2）由此可得出：，即，解出两根无论a=a1或a=a2，由（2）式定义的数列都能满足（
13、1）式中的递推关系，但是还未能满足。我们注意到任意两个满足（1）式中的递推关系的数列的线性组合仍能满足（1）式中的递推关系，于是，我们猜测：猜想2： （3）5、推理论证验证猜想是指在提出猜想之后，通过演绎推理的方法来验证猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。这是数学实验不可缺少的环节，是我们获得正确结论的关键步骤，是对实验成功与否的判断。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。现在用条件来确定系数C1和C2，在（3）式中，分别取n=1与n=2得解出。由此得到Fibonacci数列的通项公式：现在我们实验来验证为Fibonacci数列的通项公式。Fi2i_
14、:= (1 + Sqrt5)/2)i - (1 - Sqrt5)/2)i)/Sqrt5f2n_ := Modulei,list2=,Fori = 1, i True, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1;f2100由图知，就是通项公式。实际上，还有一种方法， 那就是检验前两项以及通项公式：Fi20=0;Fi21=0;SimplifyFi2i+2-Fi2i+1-Fi2i结果为0。也可以通过纸笔验算确实满足（1）式。这样，通过反复试验，逐步猜测导出了结果，这是探索型数学实验的一个典型例子。人们对裴氏数列的研究活动还在蓬勃发展，法国数学家拉姆，鲁卡斯等利用这一通项表达式得出裴氏数
15、列的很多重要性质。Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，它也能出现在自然界、生活中，在自然科学和数学领域中有着非常广泛的应用，美国还在1963年创刊了裴波那契季刊专门研究该数列。6、拓展交流成果交流是指学生将实验研究过程中的心得体会通过举行论文答辩等方式进行交流、研讨，与同学们分享成果，使认识和情感得到提升。如各小组推荐1人和教师组成“专家评议组”，通过抽签决定答辩的顺序。答辩时，先由答辩者在规定的时间内介绍本组的工作（包括如何选题、解决问题的基本思路、如何克服困难、如何合作等），再由答辩者回答“专家”或听众就其工作的提问。举行论文答辩后，由“专家评议组”进行评比。让每一个学生获得亲自参
16、与研究探索的积极体验，让每个学生体验科研成功的喜悦，发展对社会的责任心与使命感；培养科学态度与科学道德等。教师启发学生从以下几方面（还可以从其它方面）对本节课的主题“Fibonacci数列通项的探索”做更深入的探讨：a) 使用生成函数法计算Fibonacci数列通项。 （4）其中，满足递推关系 。想办法求出f(x)的表达式，可得到f(x)各项系数的表达式，从而得到Fibonacci数列通项公式。（参考文献1）b) 我们可以感受到的是这是继其递推关系后又一耐人寻味的等式：等式左边是正整数，而式子右边是由无理数来表达的。它有什么性质？c) 注意到通项公式中有一重要数 ，Fibonacci数列与黄金
17、分割比有什么关系？提示：对Fibonacci数列,数列有 满足迭代式，n=1,2, 迭代收敛且（这是一个美丽的数学常数黄金分割比）d) 斐氏数列应用非常广泛，如树枝生长问题、上楼方式问题、蜜蜂进蜂房问题（数学竞赛题），教学关键是要善于将这些实际问题转化成数学问题，让学生学会这种转化的数学思想，为他们的终身学习打下基础。e) 斐波那契数列涉及的知识极为广博，建议通过对网上资源的利用，扩大的学生的视野，将问题延伸到课外。当然这节课的意义远不在于此，数学知识来源于生活，只要我们细心观察，就会发现数学的美妙。三、实施成果亟待解决的问题 1、实践证明，基于计算机信息技术的数学实验课的引入，给我们的大学数
18、学课注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”。让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程，变为自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、动脑设计等的亲身经历。因此，数学实验是让学生在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的。在数学教学中，充分挖掘实验环境，特别是利用几何画板、Mathematica、MathCAD、MathLIB等这样的优秀软件平台为学生创设进行数学实验的良好环境，是实施数学素质教育的重要途径。2、保证了教学质量，促进了学生素质的发展。学生针对老师设置的问题或自提的问题的模拟实验，有了更为广阔的空间，由此发现并证明了
19、许多迷人的结论，诞生了许多小课件和小论文。 3、随着操作设计的不断完善，“实验”技术的日益提高，模式日益成熟，对所有的数学课程教学产生了积极的影响。基于信息技术的探索性数学实验教学模式中有几个问题必须继续探索：从短期来看，通过实验的方式让学生学习数学，的确要花费不少时间，但从长期来看，有过这样训练的学生学习的自觉性和主动性都大大提高，而且有较强的团队协作精神，这正是传统的训练方式不容易做到的。 新教学模式呼唤高素质的教师，数学教师要象使用粉笔、黑板、三角板、圆规、直尺等教具一样使用计算机来辅助完成教学任务，才能充分发挥计算机在数学教学中的优势。目前大学数学教师队伍可能难以适应发展的需求。希望在
20、今后进一步的教学实践中，吸收更多的教改经验，提高教师素质，使大学数学课程建设和教材建设工作不断提高和完善。参考文献：1 李卫国.高等数学实验课M.北京：高等教育出版社,2000.2 李玉琪.中学数学教学与实践研究M.北京：高等教育出版社，2001.3 陈琦,张建伟.建构主义学习观要义评析J.华东师范大学学报（教育科学版），1998年第1期。蒋晓云，桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系副教授，邮编（541001）出身年份：1963年2月；广西全州县人；研究方向：数学教育Editors note: Judson Jones is a meteorologist, journalist and p
21、hotographer. He has freelanced with CNN for four years, covering severe weather from tornadoes to typhoons. Follow him on Twitter: jnjonesjr (CNN) - I will always wonder what it was like to huddle around a shortwave radio and through the crackling static from space hear the faint beeps of the worlds
22、 first satellite - Sputnik. I also missed watching Neil Armstrong step foot on the moon and the first space shuttle take off for the stars. Those events were way before my time.As a kid, I was fascinated with what goes on in the sky, and when NASA pulled the plug on the shuttle program I was heartbr
23、oken. Yet the privatized space race has renewed my childhood dreams to reach for the stars.As a meteorologist, Ive still seen many important weather and space events, but right now, if you were sitting next to me, youd hear my foot tapping rapidly under my desk. Im anxious for the next one: a space
24、capsule hanging from a crane in the New Mexico desert.Its like the set for a George Lucas movie floating to the edge of space.You and I will have the chance to watch a man take a leap into an unimaginable free fall from the edge of space - live.The (lack of) air up there Watch man jump from 96,000 f
25、eet Tuesday, I sat at work glued to the live stream of the Red Bull Stratos Mission. I watched the balloons positioned at different altitudes in the sky to test the winds, knowing that if they would just line up in a vertical straight line we would be go for launch.I feel this mission was created fo
26、r me because I am also a journalist and a photographer, but above all I live for taking a leap of faith - the feeling of pushing the envelope into uncharted territory.The guy who is going to do this, Felix Baumgartner, must have that same feeling, at a level I will never reach. However, it did not s
27、top me from feeling his pain when a gust of swirling wind kicked up and twisted the partially filled balloon that would take him to the upper end of our atmosphere. As soon as the 40-acre balloon, with skin no thicker than a dry cleaning bag, scraped the ground I knew it was over.How claustrophobia
28、almost grounded supersonic skydiverWith each twist, you could see the wrinkles of disappointment on the face of the current record holder and capcom (capsule communications), Col. Joe Kittinger. He hung his head low in mission control as he told Baumgartner the disappointing news: Mission aborted.Th
29、e supersonic descent could happen as early as Sunday.The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will move through
30、the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he
31、 crosses the boundary layer (called the tropopause), he can expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet (22.7 miles/36.53 kilometers). Here, Fearless Felix will unclip. He will roll back the door.Then, I would assume, he will slowly step out onto som
32、ething resembling an Olympic diving platform.Below, the Earth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance, it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into t
33、he shallow end.Skydiver preps for the big jumpWhen he jumps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slow as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop h
34、im completely.If he goes too fast or spins out of control, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foot (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters).In order t
35、o deploy this chute successfully, he will have to slow to 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds.Even if everything goes as planned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to
36、pass out, and no parachute is guaranteed to work higher than 25,000 feet (7,620 meters).It might not be the moon, but Kittinger free fell from 102,800 feet in 1960 - at the dawn of an infamous space race that captured the hearts of many. Baumgartner will attempt to break that record, a feat that boggles the mind. This is one of those monumental moments I will always remember, because there is no way Id miss this.
