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1、2.2 递推关系与Fibonacci数列,递推关系 Fibonacci数列,1.递推关系,Hanoi塔问题：这是组合数学中的一个著名问题。,n个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上，请设计一种方法并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。,首先要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。,当n=2时，,第一步把A柱的小圆盘移到B柱；,第二步把A柱的大圆盘移到C柱；,第三步把B柱的小圆盘移到C柱，即完成移动。,假定n-1个盘子的转移算法已经确定，对于一般n个圆盘的问题，,首先把A柱上面的n
2、-1个圆盘移到B柱；,然后把A柱最下面的圆盘移到C柱；,最后把B柱的n-1个圆盘移到C柱，即完成移动。,令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。,因此有：,从这个递推关系式可以逐项递推得到所有的h(n)。,根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后将B的n-1个盘子转移到C上。,下面我们利用母函数来得到h(n)的通项表达式。,假设序列h(n)对应的母函数为H(x)，即,因此有,或者利用,x2:,x3:,x4:,+),同样可以得到：,假设,下面我们用幂级数展开的方法得到h(n).,利用待定系数法容易得到A=1，B=-1，即,即,对于一个n位十进制数 p1 p2pn-1
3、 pn，则 p1 p2pn-1 是n-1位十进制数。,例1 求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。,因此若令an表示n位十进制数中出现偶数个5的数的个数，bn表示出现奇数个5的数的个数，则有,若它含有偶数个5，则 pn必须取5以外的九个数中的一个；,若 p1 p2pn-1含有奇数个5，则 pn必须取成5。,a1=8，b1=1.,设 an 的母函数为A(x)，bn的母函数为B(x)，则,或者利用,x2:,x3:,+),类似的还有,这样就得到了关于A(x)和B(x)的联立方程组：,可以解得：,因此有,由于,另解：n-1位十进制数共有910n-2个，要么含有奇数个5，要么含有偶数个5。故有：,因此
4、有,因此有,(1)不出现a1，这相当于从其他n-1个元素中取r个做可重组合；,这样的组合可以分为两种情况：,(2)出现a1，这相当于从n个元素中取r-1个做可重组合再加上a1。因此有,初始条件为,因此还可以令,例2 从n个不同的元素a1,a2,an中取r个做允许重复的组合，求不同的组合数,注意到,递推关系 中有2个参数，对于固定的n，的母函数为Gn(x)，则,因此有,因此由二项式展开定理可知,2.Fibonacci数列,Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。,有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。问过了n个月后共有多少对兔子？,设满n个月时兔
5、子对数为Fn，其中当月新生兔数目设为Nn 对，上个月留下的兔子数目设为On对，则,但是注意到 On=Fn-1，Nn=On-1=Fn-2，因此有,利用这个递推关系很容易可以得到：,下面我们利用母函数来计算Fn的通项表达式。,设Fn的母函数为G(x)，则,x3:,x4:,+),方程1-x-x2=0的两个根设为：,则有,利用待定系数法易有,因此有,即通项表达式为：,下面介绍一些关于Fibonacci数列的结论。,(1)任意正整数N可以表示成Fibonacci数列中的数的有限和，即,满足si=0或1，且si si+1=0。,(2)边长为Fn的正方形可以分解为若干个边长为Fi和Fi+1的长方形。,参见课
6、本图形。,下面介绍一个Fibonacci数列在优化中的应用。,问题：求单峰函数f(x)在区间a,b上的最大值。,三分法：将第k步的区间ak,bk三等分，即,优点：每次区间长度缩短1/3。,数值方法迭代求解。首先令a1=a，b1=b。,若，则取,否则取,缺点：上一步中点的值在下一步没有用到。,0.618方法：将三分法中的2/3换成0.618。,不妨假设区间为0,1，上一步的取值点为x，1-x。,为了充分利用上一步取值点的信息，因此要求x2=x(1-x)，解得x约等于0.618。,为什么取0.618？,假设保留的区间为0,x，则下一步的取值点为x2，x(1-x)。,这比三分法节省了大约一半的运算量。,Fibonacci方法：在第k步令,因此若要求最后区间长度不超过d，则可由(b-a)/Fn d 解出Fn，即确定n。,这样在n步迭代后，bn-an=(b-a)/Fn。,注意到,因此当n趋于无穷时，Fibonacci方法与0.618方法的区间缩短率相同。,可以证明Fibonacci方法是一维极值问题的最优策略，,而0.618是近似最优的。,
