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1、斐波那契数列,实验二,斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1240，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。,一、实验目的,认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程。,了解matlab软件中，进行数据显示与数据拟合的方式。,提高对数据进
2、行分析与处理的能力。,二、问题描述,意大利斐波那契(Fibonacci)，1202年,一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？,三、问题分析,称为Fibonacci数列。,递推公式：,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，,兔子对的数目依次如下：,所求答案：Fibonacci数列的第12项。,Fibonacci数列的一般规律是什么？,四、背景知识,1、最小二乘和数据拟合,2023/7/18,多项式拟合,当数据点互异时,plot(x,y,s)：将所给的点列连接成一条折线,x-点列的横坐标，y-点列的
3、竖坐标s-图形的格式字符串,例:给定数据，x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4;描绘其图形,代码：x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4;plot(x1,y1),2、画图和多项式拟合命令,2023/7/18,p=polyfit(x,y,n)：用n次多项式拟合数据列 返回多项式的系数，次序是由高阶到低阶,例:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;,拟合：p=polyfit(x,y,2),结果：0.2676-3.6053 13.4597,数值：f=poly
4、val(p,x),结果：f=10.1219 5.0519 3.3196 2.1224 1.4604 1.3335 1.7417 2.6851 4.1636,即2次多项式为p1=0.2676x2-3.6053x+13.4597,拟合效果展示：,代码:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;p=polyfit(x,y,2);plot(x,y,ro,x,polyval(p,x),b)legend(数据点,拟合曲线);,2023/7/18,五、实验过程,1.观察数据间的大概函数关系,2.进一步验证上一步得到的结论,3.获得数据的近似函数关系式,4.观察拟合数
5、据与原始数据的吻合程度,5.猜测Fibonacci数列的通项公式,6.证明Fibonacci数列的通项公式,1.观察数据间的大概函数关系,将以下点列显示在平面坐标系中：,观察其中蕴涵的函数关系,结论：曲线的形状象指数函数的曲线,查看代码,2.进一步验证上一步得到的结论,再将以下点列显示在平面坐标系中：,观察其中蕴涵的函数关系,结论：曲线的形状确实象一条直线,查看代码,3.获得数据的近似函数关系式,Fibonacci数列的数据关系是指数函数，,取对数后是线性函数，即一阶多项式，,用一阶多项式拟合出取对数后的函数关系式,得到Fibonacci数列通项公式的近似表达式：,查看代码,4.观察拟合数据与
6、原始数据的吻合程度,紅点：,蓝线：,查看代码,查看代码,5.猜测Fibonacci数列的通项公式,将上式代入递推公式中得：,考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：,然而,上式并不满足：,进一步修正,这样，得到Fibonacci数列通项的新猜测：,这样，得到Fibonacci数列通项：,称为比内公式。(Binet，法国，1843年发现),6.推导Fibonacci数列的通项公式,Fibonacci数列具有如下递推关系,这是一个二阶常系数线性齐次差分方程,仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解,特征方程,两个特征根,差分方程的通解,取n=1和n=2代入上面的公式中，解得,从而得到,六、化学反应中生成
7、物的浓度问题,1、描绘生成物浓度的散点图代码：t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86;y=y,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60;plot(t,y,r+)xlabel(时间);ylabel(浓度);legend(生成物浓度散点图),从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型函数或对数型函数做拟合等,2、采用2，4和6阶多项式进行拟合代码：p
8、2=polyfit(t,y,2);p4=polyfit(t,y,4);p6=polyfit(t,y,6);R1=dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t)%计算拟合残差plot(t,y,r+,t,polyval(p2,t),t,polyval(p4,t),t,polyval(p6,t)legend(测量数据,2阶拟合,4阶拟合,6阶拟合),6阶多项式拟合效果较好,3、采用双曲函数进行拟合：代码：p1=polyfit(1./t,1./y,1);plot(t,y,r+,t,1./polyval(p1,1./t)R2=dot(y-1./polyval(p1,1./t),y
9、-1./polyval(p1,1./t)legend(测量数据,双曲型拟合),七、结论与应用,1.Fibonacci数列的阶,2.Fibonacci数列与黄金分割数的关系,可以验证,3.Fibonacci数列通项公式的其它形式,4.自然界中的Fibonacci数列,花瓣的数量，一般都是Fibonacci数,斐波那契螺旋,如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋,计算机绘制的斐波那契螺旋,斐波那契螺旋与黄金矩型,5.应用,Fibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用价值,本实验所采用的方法，可以用来进行一般的数
10、据处理与分析。,显示Fibonacci数列前n项,function plotfibo(n)%显示Fibonacci数列前n项fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1);%将第i项添加到数组fn中end%循环结束plot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来,返回,显示取对数后的前n项,function plotlnfibo(n)%显示取对数后的前n项fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1);%将第i项添加到数组fn中en
11、d%循环结束fn=log(fn)%将原来的数据取对数plot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来,返回,根据取对数后的数据，拟合出线性表达式,function fitlnfibo(n)%先取对数，再拟合fn=1,1;%将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n%fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1);%将第i项添加到数组fn中end%循环结束xn=1:n;%定义横坐标fn=log(fn)%将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1)%拟合装有数列前n项的数组,返回,显示拟合数据与原始数据的前n项,function plotfibo2(n)%显示拟合数据与
12、原始数据的前n项fn1=;%装拟合数据的数组for i=1:n%fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,0.4476*1.618i;%将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1;%装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n%fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1);%将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*)%显示,fn1兰线，fn2红星,返回,显示取对数后的拟合数据与原始数据,function plotfibo3(n)%显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=;%装拟合数据的数组for i=1:n%fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,-0.8039+0.4812*i;%将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1;%装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n%fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1);%将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,log(fn2),r*)%显示,fn1兰线，fn2红星,返回,2023/7/18,第二次上课作业 教材P18-19：第2和6题,
