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1、2023/5/21,1,概率论第7讲,第六章二维随机变量,本文件可从网址http:/上下载,2023/5/21,2,在实际问题中,试验结果往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这些随机变量及其取值规律多维分布.本章将介绍有关这方面的内容.为简明起见,只介绍二维情形.有关内容可以类推到多于二维的情形.,2023/5/21,3,第一节 二维随机变量及其分布函数,2023/5/21,4,在研究某族人的身长与体重之间的联系时,要从这族人中抽出若干个来,测量他们的身高与体重.每抽一个人出来,就有一个由身长,体重组成的有序数组(x,h).这个有序数组是根据试验结果(抽到的人)而确定的.,20
2、23/5/21,5,一般地说,如果由两个变量所组成的有序数组即二维变量(x,h),它的取值是随着试验结果而确定的,那末称这个二维变量(x,h)为二维随机变量.相应地,称(x,h)的取值规律为二维分布.,2023/5/21,6,也就是说,对于平面上任意一个集D,(x,h)D代表了一个随机事件.D确定后,P(x,h)D随之唯一确定.由这个对应关系定出,以平面上的集D为自变量,函数值在区间0,1上的函数,称为二维随机变量(x,h)的分布.它表明了二维随机变量(x,h)取数组的规律.简称二维随机变量的分布为二维分布.,2023/5/21,7,与一维时相仿,定义二维分布的分布函数为F(x,y)=Pxx,
3、hy,(1)其中x,y是任意实数.,x,y,y,x,D,O,图6-1,2023/5/21,8,第二节 二维离散型随机变量,2023/5/21,9,设(x,h)为一个二维随机变量.如果它可能取的值的全体是有限个或可数多个数组,则称(x,h)为二维离散型随机变量,称它的分布为二维离散型分布.,2023/5/21,10,设二维离散型随机变量(x,h)可能取的值为(a1,b1),.,(a1,bj),.,(ai,b1),.,(ai,bj),.,且事件x=ai,h=bj的概率为pij(i,j=1,2,.),即Px=ai,h=bj=pij,2023/5/21,11,那末(x,h)的分布密度为表格,(2),2
4、023/5/21,12,例1 一口袋中有三个球,它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以x,h分别记第一次,第二次取得的球上标有的数字,求(x,h)的分布密度.,2023/5/21,13,解(x,h)可能取的值为数组(1,2),(2,1),(2,2).不难算出,2023/5/21,14,所求分布密度为,2023/5/21,15,第三节 二维连续型随机变量,2023/5/21,16,与一维连续型随机变量类似:设(x,h)为一个二维随机变量.如果存在着一个定义域为整个xOy平面的非负函数j(x,y),使(x,h)的
5、分布函数可表为,D如图6-1所示,则称(x,h)为二维连续型随机变量,称它的分布为二维连续型分布,称j(x,y)为(x,h)的分布密度.,2023/5/21,17,这里的积分涉及广义二重积分.区域为无界的广义二重积分的定义如下:设D是xOy平面内的无界区域,则函数f(x,y)在D上的广义二重积分定义为,其中D1为D内的任意有界区域.,2023/5/21,18,二维分布密度具有下列性质:,(4),其中D为xOy平面内任一区域.,2023/5/21,19,最常遇到的二维连续型分布是二维正态分布.它的分布密度为,(5),其中a,b,s1,s2,r均为常数,且s10,s10,-1r1,2023/5/2
6、1,20,例2 已知二维随机变量(x,h)的分布密度为,又(1)D为xOy平面内由不等式x1,y3所定的区域;(2)D为xOy平面内由不等式x+y3所定的区域.求P(x,h)D,2023/5/21,21,(1)和(2)中D的示意图,x,O,1,2,2,3,4,y,x,O,1,2,2,3,4,y,2023/5/21,22,解(1),(2),2023/5/21,23,第四节 边缘分布,2023/5/21,24,设(x,h)为一个二维随机变量.事件xx就是指事件xx,h+.由(x,h)的分布函数可以定出x的分布函数:Pxx=Pxx,h+.这样定出的一维分布称为关于x的边缘分布.类似地,关于h的边缘分
7、布的分布函数为Phy=Px+,hy.,2023/5/21,25,设(x,h)的分布函数为F(x,y),那末关于x的边缘分布函数为,(6),同理可得,关于h的边缘分布函数为,(7),下面分别讨论离散型,连续型分布中的边缘分布.,2023/5/21,26,设(x,h)为二维离散型随机变量,它的分布密度如表(2)所示,则,因此x的分布密度为,(8),2023/5/21,27,同理可得,关于h的边缘分布也是离散型的,且它的分布密度为,其中,(9),2023/5/21,28,例3 设二维离散型随机变量(x,h)的分布密度为,求关于x及关于h的边缘分布的分布密度,2023/5/21,29,解 按表(8),
8、(9)分别得所要求的分布密度为,2023/5/21,30,设二维连续型随机变量(x,h)的分布密度为j(x,y),按式(6)有,可见关于x的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为,(10),2023/5/21,31,同理可得,关于h的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为,(11),2023/5/21,32,例4 设(x,h)服从区域A上的均匀分布,即它的分布密度,(12),其中S(A)为区域A的面积.如果A是由x轴,y轴及直线x+(y/2)=1所围成的三角形区域,求关于x及关于h的边缘分布密度.,O,x,1,2,A,y,2023/5/21,33,解 因S(A)=1,所以,按式(10),得关于x的
9、边缘分布密度为,按式(11),得关于h的边缘分布密度为,2023/5/21,34,例5 设(x,h)服从二维正态分布,它的分布密度为,(13),求关于x及关于h的边缘分布密度.,2023/5/21,35,解 按式(10)有,2023/5/21,36,作代换,便得关于x的边缘分布密度为,即这边缘分布为N(0,1).,2023/5/21,37,按式(11),同理可得关于h的边缘分布密度为,即这边缘分布也是N(0,1).从这个例子可以看到:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且这两个边缘分布都不依赖于参数r.这一事实表明:单单由关于x及关于h的边缘分布,一般说来是不能确定二维随机变量(x,h)的分布的.,2023/5/21,38,2003年考研数学试题(数一,一(5):设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则PX+Y1=_.(分值:4分),y=x,y=1,x,y,0 xy1,x+y=1,2023/5/21,39,解 所求概率为,2023/5/21,40,作业:从83页开始第1,4,5题,
