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1、弯曲变形 补充,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,M0,例 当 P 至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱表面产生贴合？当 P 足够大，使梁己经与圆柱面贴合，试根据 P 决定贴合的长度。,至少应使梁根部挠曲线的曲率半径与 R 相同，才可能产生贴合。,若,在 C 处,3.挠度微分方程,等截面梁中挠度各阶导数的意义：,曲率的符号规定与弯矩相同。,7.2 积分法求梁的挠度,EI 是常数,7.2.1 弯矩方程积分的一般方法,挠曲线微分方程,积分一次,
2、再积分一次,积分常数由约束条件确定,当弯矩方程为分段函数时，则应分段积分，分段点存在光滑连接条件,在分段点 处：,挠度是连续的：,挠度是光滑的：,简支端处挠度为零。,固定端处挠度为零，转角为零。,例 求图示梁的挠度曲线。,弯矩,转角,挠度,边界条件,适于用积分法求梁的挠度曲线的情况,1)单个梁,2)等截面梁,非等截面梁的挠度曲线方程应分段建立。,非单梁的挠度曲线方程应分段建立。,例 悬臂梁未加载时为微弯曲线。今有移动荷载 F 的作用，若要使 F 力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。,微弯梁的挠度仍可按直梁计算。,故有,设初始曲线方程为 y(x)。,F 作用而产生的挠度为,由题设,分析和
3、讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？,分析和讨论,如果下面三种梁截面一样，它们的应力情况一样吗？,公式是对的，结论是错的。,结论是对的，公式是错的。,公式是精确的，结论是近似的。,结论是精确的，公式是近似的。,分析和讨论,如何把两者统一起来？,分析和讨论,对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：,求 B 点转角,7.3 叠加法计算梁的挠度和转角,动脑又动笔,求 A 点转角,利用已有结果计算：,求 A 点转角,例
4、求图示自由端的挠度。,1.荷载的分解或重组,叠加法的常用手法(2006.11.21 星期一),叠加原理,在处于稳定状态的线弹性小变形杆件中，内力、变形量、应力、应变关于外荷载均满足叠加原理。,例,求图示自由端的挠度。,注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。,例 求图示 A 端的竖向位移。,分析和讨论,竖梁压缩对 A 端竖向位移的贡献有多大？,竖梁压缩量,竖梁弯曲的贡献,两者之比,以圆杆为例,例 求如图外伸梁 A 点的竖向位移。,例 求如图外伸梁 A 点的竖向位移。,例 求图示结构中 A 点的竖向位移。,例 求图示结构中 A 点的竖向位
5、移。,例 求 C 点竖向位移 v。,3.利用结构、荷载和变形特点建立简化计算模型,利用结构、荷载对称性简化计算,对称结构承受对称荷载情况,对称面（点）上剪力、扭矩为零,变形对称,内力对称,对称面（点）上转角为零,对称面（点）上轴力、弯矩一般不为零,对称面（点）上垂直于对称轴的位移为零,对称面（点）上沿对称轴的位移一般不为零,3.利用结构、荷载和变形特点建立简化计算模型,利用结构、荷载对称性简化计算,对称面（点）上剪力、扭矩一般不为零,变形反对称,内力反对称,对称面（点）上转角一般不为零,对称面（点）上轴力、弯矩为零,对称面（点）上沿对称轴的位移为零,对称结构承受反对称荷载情况,对称面（点）上垂
6、直于对称轴的位移一般不为零,例 求图示简支梁中点处的竖向位移 w。,梁的变形如图。,根据梁的对称性，其中点处的竖向位移与图示悬臂梁自由端处的位移 w 相等。,例 求图示简支梁中点处的竖向位移 w。,结构的荷载等同于图示两种荷载的组合,例 画刚架各部的抗弯刚度为EI，求AB 两点间的相对位移。,由于结构对称而荷载反对称，结构下梁中点处弯矩为零，但剪力不为零。这样结构便可只考虑其一半，并简化如图：,这一半的结构上下对称，因此可进一步简化。,AB 两点间的相对位移为,分析和讨论,在下列不同的加载方式中，哪一种刚度最高？,分析和讨论,分析和讨论,在下列不同的支承方式中，哪一种刚度最高？,分析和讨论,梁
7、由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能够改善强度吗？,梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？,能够改善刚度吗？,梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？,求解超静定梁问题的步骤,1)将某个约束确定为“多余”约束，解除这个约束，使结构成为静定结构（称为 静定基），并将所解除的约束用“多余约束力”代替。,2)在静定基上，分别求出原荷载和“多余约束力”在解除约束处的挠度或转角。,3)根据解除约束处的实际位移情况建立协调方程，并从这个方程中求出“多余约束力”。,静定结构的选择不是唯一的,例 画出如图结构的剪力弯矩图。,左梁,右梁,协调条件,故有,如图的两个长度均为 a 的简支梁在中点
8、垂直相交。求中点的挠度。,动脑又动笔,a,a,EI,EI,EA,a,q,A,C,B,例 求图示 A 处的支反力。,B 处位移,BC 的变形量,设 BC 杆对简支梁的支撑力为 R,BC 杆的支撑使结构成为超静定,若 BC 杆为刚性杆，协调条件如何表达？,C 处位移,BC 杆为弹性杆，协调条件如何表达？,协调条件,A 处支反力,支反力偶矩,例 求图示 A 处的支反力。,三次超静定问题,无轴向力：二次超静定问题,利用对称性：一次超静定问题,由于对称性，设两端的支反力偶矩均为 m。,例 体重为 450N 的运动员位于平衡木中点处，求平衡木中的最大位移。,取简支梁为静定基。,协调条件,最大位移在中点处,
9、由于对称性，可以只考虑一半。,例 体重为 450N 的运动员位于平衡木中点处，求平衡木中的最大位移。,例 求图示结构 C 点挠度。,图示的情况可视为下述两种情况的合成。,由于反对称性，图示第二种情况中，C 点挠度为零。,因此原结构中 C 点的挠度与笫一种情况下 C 点的挠度相等。,由于对称性，可只考虑一半。,设左半部自由端力偶矩为 m。,由 C 点转角为零可得,由此可得 C 点挠度,分析和讨论,上面四种梁除支承形式不同外，其它各种情况相同。将它们的刚度从大到小地排列起来。,1,2,3,4,试归纳改善梁的刚度的措施。,本 章 内 容 小 结,梁的挠度和转角,积分法求梁的变形,简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。,积分常数的确定,利用曲率公式 判断梁的挠度曲线的形状,挠度各阶导数的意义,荷载的分解或重组,注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。,逐段刚化求解,注意不要遗漏影响所求位移的因素。,利用结构、荷载和变形特点建立简化计算模型,注意对称部位哪些量为零，哪些量不为零。,静定基和多余约束力、协调方程,求解除约束处位移时用叠加法较方便。,
