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1、杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文解析几何问题的技巧和方法Skills and methods of Analytic geometry problems论文作者： 专业： 数学与应用数学指导老师： 完成时间： 2010 年 10 月 29 日摘 要 解析几何的优点在于树形结合而又动态的处理问题，其解题思路有很强的程序性，但是，盲目操作往往会带来繁琐的讨论或复杂的计算。本文通过对一些典型例题的分析，介绍解析几何中的一些常见的解题技巧。Abstract The advantages of analytic geometry are the combination of the tree an
2、d the form, its dynamic problem solving and strong procedural thinking, however., blind operation will often bring about trival discussion or complicated calculation. We will based on the analysis of some typical examples to introduce some common analytic geometry of problem solving skills. 关键词：方程;
3、几何图形; 曲线; 坐标平面；转化;不等式Keywords: equation; geometry; curve; coordinate plane; conversion; inequality目 录1、 引言（ 4 ）2、 正文（ 4 ）2.1 解析几何中有关几何量的计算和证明问题 （ 4 ）2.1.1 灵活运用方程思想（ 4 ）2.1.2 灵活运用平面几何和曲线本身的知识（ 5 ）2.1.3 选择曲线方程的形式和恰当的设置坐标系 （ 5 ）2.2 解析几何中的最值问题和不等式证明（ 6 ）2.2.1 转化为求代数或三角函数的最值和值域 （ 6 ）2.2.2 转化为讨论一元二次方程的根的性
4、质 （ 6 ）2.2.3 利用常用基本不等式（如平均值不等式、柯西不等式等） （ 7 ）2.2.4 利用曲线的定义、性质及平面几何的知识 （ 8 ）3、 总结（ 8 ）4、参考文献 （ 9 ）1、引言在解析几何学习中，许多同学对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但是拿到题目时却感觉无从入手。其实原因很简单：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化，成为自己的东西；三是缺乏对解题策略的探究。本文就对每一种方法举一个例子来加深读者对这些解题技巧的利用的印象。2、正文解析几何需要的是学生的基本运算能力，所以解析几何考题学生普遍感觉较难对付。其实，我们对
5、待解析几何的题目只要用适合题目的方法去做就会很简单，关键就是怎么用最适合题目的方法，这就需要我们自己多积累经验，时常总结归纳基本题型和解法，让学到的知识完完全全变成自己的东西。解析几何的解题技巧很多，下面我就解析几何中的有关几何量的计算与证明和最值问题与不等式证明做一个简单的归纳总结。2.1 解析几何中有关几何量的计算和证明问题2.1.1 灵活运用方程思想例1 已知抛物线及定点,，是抛物线上的点。设直线、与抛物线的另一个交点分别为，。求证：当在抛物线上变动时（只要，存在且）,直线恒过一个定点，并求这个定点的坐标。解设（，），（，），（，），则可求得的直线方程为.的直线方程为.的直线方程为. 将
6、,分别代入，得，消去得，整理成的方程形式，得 将 和 比较知直线过定点（，）本题通过利用轮换对称的方法简化了方程的计算，并且对、也是只设不求，这样就大大减少了运算过程。2.1.2 灵活运用平面几何和曲线本身的知识例2 如图1点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，表示原点，则=（）。A. B. C. D. 解 设椭圆的另一个焦点为，则 ，而,所以. 又注意到，各为、的中点， 所以是的中位线， 1所以.本题灵活的运用了椭圆的第一定义，求坐标再确定的值，而只需求出的长度就可以求出的值。2.1.3 选择曲线方程的形式和恰当的设置坐标系例3 设为抛物线顶点，为焦点且为过的弦。已知，求的面积
7、。解以为原点，为轴建立直角坐标系。因为，为焦点，故抛物线的方程为，设直线的参数方程为 ，为的倾斜角，代入抛物线方程，整理后得设其两根为，则 故，于是 当已知条件或结论涉及过一定点的弦的长度时，可考虑该弦的方程用直线的参数方程表示，利用参数的几何意义和韦达定理便很容易求出弦的长度。2.2 解析几何中的最值问题和不等式证明2.2.1 转化为求代数或三角函数的最值和值域例4 若椭圆与抛物线有公共点，则实数的取值范围是多少？解 由可设，代入得，故因为，所以，故。本题利用极坐标将问题转化成三角函数，然后利用正弦函数的取值范围求出的取值范围。2.2.2 转化为讨论一元二次方程的根的性质例5 已知,满足，求
8、的最大值与最小值。解 令,则,原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，且在轴上的截距最大或最小，由图2知，当直线与椭圆相切时，有最大截距和最小截距。 由，得，故得最大值为， 2最小值为。 像本题中对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造截距的方法来求。2.2.3 利用常用基本不等式（如平均值不等式、柯西不等式等）例6 给定椭圆,求与这个椭圆有公共交的双曲线，使以它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。解 设双曲线方程为，由已知条件，解方程组 得椭圆与双曲线的交点坐标满足，。因椭圆与双曲线关于轴和轴对称，所以以它们的交点为顶点的平行四边形是矩形，从而其
9、面积，等号成立当且仅当，故所求的双曲线方程为从而相应的四边形的四个顶点坐标为,。本题求最大面积时用到了均值不等式，并且考虑到均值不等式等号成立的情况求出了最大面积时m,n,a,b之间的关系，进而就求出了顶点坐标。2.2.4 利用曲线的定义、性质及平面几何的知识例 7 求函数的最大值。解 由于，可知表示抛物线上的点到两点和的距离的差。如图3，因在抛物线的下方， 在抛物线的上方，故直线与抛物线相交，交点由方程组 A1B2确定。消去得，因常系C数小于零，故方程必有负实根，设负实1 2 3根对应的点为，则 3,当且仅当P与C重合时等号成立，故的最大值为。本题灵活的将问题转化到抛物线上求点的距离，技巧性
10、高，做这类题目需要仔细观察题目里函数的性质特点，并且要很好的掌握各类曲线的定义和性质。3、总结上面仅将解析几何中的有关几何量的计算证明和最值问题及不等式的证明的一些题型及其解法作了介绍，其他题型及其解法其实也可仿点类似的方法进行归纳总结。解析几何是一门用代数方法研究几何问题的一门学科，由于其研究方法的独特性，因此，学习中需要同学们注意总结，善于归纳，加强解题策略的探究，对所学的知识就会融会贯通，解题时就会左右逢源。参考文献1 书籍。张垚，沈文选.奥林匹克数学中的真题分析M. 湖南：湖南师范大学出版社,2005.7:115-130.2书籍。 叶立军.数学方法论M.杭州:浙江大学出版社,2008.6:153-154.3 期刊。薛党鹏，解析几何问题的解题技巧J.中等数学，2003.4 : 6-9.致谢 本文是在李祖泉教授精心指导和大力支持下完成的。李老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。她渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢。第9页（共9页）
