相似矩阵与二次型.ppt

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1、第5章 相似矩阵与二次型,5.1 向量的内积、正交化方法,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.3 相似矩阵,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.5 二次型及其矩阵表示,5.6 二次型的标准形,5.7 正定二次型,5.1 向量的内积、正交化方法,5.1.1向量的内积,定义1 设有 维向量,称为向量 与 的内积,向量的内积具有下列性质,令,5.1.2向量的长度,定义2 设,令,称为向量 的长度（或范数）.,向量的长度具有下列性质,性质1 非负性:当,时,;当,时,性质2 齐次性:,（,为实数）.,性质3 三角不等式,则,.,当,时,可以证明,称为,维向量,与,的夹角.,当,时,称向量,与,显然,零向

2、量与任何向量都正交.,正交.,5.3.3正交向量组,定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组.,两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组,记作,正交向量组有下列性质：,性质1 若,是正交向量组,则,无关.,性质2 设,为单位正交向量组,为同维数的任一,若存在数,使,则,线性,向量,.,例1 已知两个3维向量,正交,求一个非零向量,使,两两正交.,解:记,则,应满足齐次线性方程组,即,因为,所以同解方程组为,通解为,一基础解系为,取,即可.,5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程),设,为一线性无关向量组,（1）正交化,取,依次类推,一般的,有,可以证明,两两正交,且

3、与,等价.,（2）单位化,令,则,为单位正交向量组,且,等价.,例2 已知,求一组非零向量,使,两两正交.,解：,应该满足,即,其同解方程组为,它的通解为,一基础解系为,，,把基础解系正交化，即为所求取,于是得,即为所求.,阶矩阵,5.1.5 正交矩阵,定义4 如果,满足,那么称,为正交矩阵，简称正交阵,例如：,都是正交矩阵,为正交阵，那么,正交矩阵有下列性质：,性质1 若,是可逆阵,且,或;,为正交阵，那么,性质2 若,是正交阵；,为正交阵,性质3,性质4 若,为同阶正交矩阵,则,也是正交矩阵,；,的特征值，非零列向量 称为方阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.2.1 方阵的特征值与特征

4、向量,定义5 设,是一个 阶方阵,如果存在数 及,维非零列向量,使得,那么,这样的数,称为方阵,对应于(或属于)特征值的特征向量,的,是方阵 的特征值,是对应的特征向量,(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组),是方阵 的特征值,是对应于 的特征向量,是齐次线性方程组,的非零解.,(右式称为 的特征多项式,记为,称为特征方程).,，(设),5.2.2 求方阵的特征值与特征向量的步骤,第一步：计算 的特征多项式；,为对应于 的全部特征向量.,不全为零),则,第二步：求出特征方程的所有根（重根按重数计算）；,第三步：对每个特征值,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系，,例3 求矩阵,的特征值与

5、特征向量.,解：,所以,的特征值为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,，通解为,一基础解系为,.,，所以对应于,的全部特征向量为,.,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,，通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为：,.,例4 求矩阵,的特征值与特征向量,解：,所以,有2重特征值,，有单特征值,对于特征值,，解方程,得同解方程组,故得通解,所以,对应于特征值,，由,的全部特征向量为：,对于特征值,，解方程,得同解方程组,，故得通解,对应于特征值,的全部特征向量为,重特征值算作,阶方阵,是可逆方阵,5.2.2 特征值的性质,性质1 若,的全部特征值为,（,个特征值）则：,性质2 设

6、,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应,向量,且,则,向量;,特征,是方阵,性质3 设,的一个特征值，,为对应的特征.,是,的一个特征值，,为对应特征向量;,向量,则,是一个正整数,是方阵,性质4 设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应特征向量.,向量,若,则,的特征值都不为零，知,可逆，故,例5 设3阶矩阵 的特征值为,求,解:因为,.而,所以,把上式记作,，则,故,的特征值为：,于是,例6：设,是三阶方阵，且,求.,解，由题知,是,的特征值，于是,由于,故,的特征值，,故,的特征值分别为：,所以，,由于：,的互不相同的特征值，,5.2.3 特征向量

7、的性质,是方阵,性质1 设,的一个特征值，,为对应的特征,向量,若又有数,，则,性质2 设,是方阵,是对应于,的特征向量,则向量组,即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关,线性无关,的相似矩阵，或称方阵,5.3 相似矩阵,定义6 设,都是,阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称,是,与,相似，记作,，有,，从而,即,如,5.3.1 相似矩阵的概念,的对应于,与,的某个特征值,若,是,5.3.2 相似矩阵的性质,性质1,（因为;,性质2 若,则,性质3 若,则,性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；,性质5 设,是,是,的特征向量，则,的对,的特征向量,;,;,应于,例7 若矩

8、阵,与,相似，求,解：,由于,，所以,比较上式两端,的同次幂系数，得：,（3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以 对角化,定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充 分必要条件是 有 个线性无关的特征向量,推论（能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似,注意（1）推论的逆命题未必成立,（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化,5.3.3 矩阵的相似对角化,的特征多项式为,例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化

9、,解:（1）,的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,令,，则,因此,的特征值为1，1，3,的特征多项式为,（2）,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为：,一基础解系为,有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化,令,则,是,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.4.1实对称矩阵的性质,性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实 向量；,性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互 正交；,性质3 设,

10、阶实对称矩阵,是,的,则齐次线性方程组,重特征根,的系数矩阵的,从而,的对应于特征值,性无关的特征向量恰有,的线,个.,秩,个特征值.,是,定理2 设,阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使,其中,为对角矩阵,且,元素是矩阵,对角线上的,的,5.4.2 实对称矩阵的相似对角形,根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似,寻找正交矩阵,使,成为对角阵的步骤如下：,1根据特征方程,求出矩阵,的特征值,的所有不同,及它们的重数,2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系：,3利用施密特正交化方法，把向量组,正交单位化得单位正交向量组,从而得到,个两两正交的单位特征向量组:,；,的,个

11、,4令,则,为正交矩阵,且,为对角矩阵，且,对角线上的元素含,恰好是矩阵,个特征值.其中,的主对角元素,的重数为,顺序与,并且排列,排列顺序相对应,中正交向量组的,例9 设,求一个正交矩阵,使,为对角矩阵,解：由,得,的特征值为,对应于,解方程,由,得同解方程组,，通解为,一基础解系为,单位化得,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为：,取,单位化,得：,令,则有：,注意：上例中若令,可逆,则,.,例10 设,求,解：,为实对称矩阵所以,可以对角化,即存在可逆矩阵,使,为对角矩阵.于是,从而,由,得,的特征值为：,于是,对于,得,由,对于,由,得,令,再求出,于是,一般地，,为

12、正整数).,.,合同,5.5 二次型及其矩阵表示,5.5.1合同矩阵,定义7 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二 次型的主要工具合同关系具有以下性质：,性质1,与,自身合同,性质2 若,合同,则,与,合同.,与,性质3 若,合同,与,合同,则,与,合同.,与,个变量的二次齐次函数,5.5.2二次型及其矩阵表示,定义8 含有,称为二次型,取,则,实二次型可以写成：,则二次型可记作：,记：,.,任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此

13、，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩,例如：,可表示为：,可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变,研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：,称为由变量 到变量 线性变换,矩阵形式为：,5.6 二次型的标准形,定义9 如果二次型 通过可逆,标准形所对应的矩阵为对角矩阵，,5.6.1二次型的标准形的定义,线性变换化成二次型 且仅含平方,式为二次型的标准形一般的，二次型的标准形不惟一,项.即,则称上,即,其中 是矩阵的特征值，正

14、交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量,定理3 任给一个二次型 总存在正 交变换 使 化为标准形：,5.6.2用正交变换法化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正,使二次型的矩阵,化成对角矩阵,具体步骤如下：,1.写出二次型的矩阵.,3.对重特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正,的特征值与线性无关的特征向量；,4.构造正交矩阵,令,则,交矩阵,2.求出矩阵,交化,再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为,例11 求一个正交变换 化二次型 为标准形,解：二次型的矩阵,所以，的特征值为：.,对于 解方程,单位化得：,一基础解系为：,同解方程组,由于,对于 解方程,

15、由于,同解方程组,一基础解系为：,单位化得：,将 正交化，得：,令,则作正交变换 二次型可化为标准形,5.6.3用配方法化二次型为标准形,用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常用的方法是拉格朗日配方法,例12 用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵,解:先将含有 的项配方,再将后三项中含有,的项配方，,令,则,经过可逆变换,可将二次型化为标准形,定理4 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略）,定理5(惯性定理)设二次型 它的秩为,有两个可逆线性变换,使,则 中正数的个数 中正数

16、个数相等.,5.6.4 惯性定理与二次型的规范形,另外，我们还有如下结论：（1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵的非零,特征值的个数（重特征值按重数计算）；,（2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征 值按重数计算）；,（3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正特征值的个数,二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数,定义10 如果二次型 通过 可逆线性变换可以化为：,则称之为该二次型的规范形,定理6 任给一个二次型总存在可逆变换,使 化为规范形,可以证明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的

17、个数，也等于正惯性指数；取1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩,例如，若二次型 的矩阵 的特征值为,的规范型为：,推论 两个实对称合同的充分必要条件是它们所对应,则,的实二次型具有相同的正惯性指数和秩,5.7 正定二次型,定义11 设实二次型,定理7 可逆变换不改变二次型的正定性,定理8 二次型 正定的充分必要条件,推论1 二次型 正定的充分必要条件 是它的规范型为：,是它的正惯性指数等于,则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的；,如果对任意 都有（显然），,推论2 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 使,推论3 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有特征值都大于零,推论4 如果实对称矩阵 正定，则 的行列式大于零；反之未必,定义12 设 阶矩阵 的子式称为矩阵 的 阶顺序主子式,定理9 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有顺序主子式都大于零，即,例13 求证给定的二次型是正定的,证明：这个二次型对应的实对称矩阵,它的顺序主子式,所以是 正定矩阵，即 为正定型,的顺序主子式,例14 判断对称矩阵,正定性.,解：,所以 既不是正定矩阵也不是负定矩阵.,