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1、第十章 多元函数的导数及其应用,10.1 多元函数的极限与连续,10.2 偏导数与全微分,10.3 多元复合函数与隐函数的偏导数,10.4 方向导数、梯度及泰勒公式,10.5 多元函数的极值与条件极值,10.4 方向导数与梯度及泰勒公式,10.4.1 方向导数与梯度,内容小结与作业,10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用,10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式,10.4.1 方向导数与梯度,1.方向导数的概念,偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.,对于二元函数 有,在几何上，它们分别表示平面曲线 及,在点 处的切线的斜率.,(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.,下面我们来考虑二元函数 在
2、点,定义 若函数,在点,处,沿方向 u(方向角为,存在下列极限:,记作,方向导数的几何意义,表示曲线C 在 点处的切线的斜率.,特别:,当 u 与 x 轴同向,当 u 与 x 轴反向,那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在，,且有,其中 为向量 u 的方向余弦.,2.方向导数的计算,这就证明了方向导数存在，且,一般地，当函数 可微时，有,且 所以,当自变量从点 沿u 方向移动时，,三元函数 在点 沿方向 u(方向角为)的方向导数定义为,定理的逆命题不成立.,f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.,方向导数的性质,例1.,求函数 在点 沿方向,的方向导数.,解：,又
3、的方向余弦为,故,例2.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,故,3.梯度向量的定义,因为,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,记作 grad f 或 f,即,nabla,例3.,求函数 在点 处的梯度以及,函数在该点处沿方向 的方向导数.,解：,故,又,故,如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数的,方向导数与梯度的定义.,设 f(x)是 n 元函数(通常我们只考虑二元函数和三元,u 是 n 元向量,u0 是 u 对应的单位向量,函数的情况)，,则 f(x)在点 x 处沿 u 的方向
4、导数和梯度分别定义为,10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用,1.函数的最速上升方向与最速下降方向,定义设 f(x)是,上的连续函数，,d 是 n 维非零向量，如果存在,，使得对于一切,，恒有,则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向;,恒有,如果对于,则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向.,定理设 f(x)在点 x0 处可微,u 是一个 n 维非,零向量，如果,个上升方向；,的一个下降方向,则u 是f(x)在点 x0 处的一,如果,则 u 是f(x)在点 x0 处,定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.,结论1,梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函
5、数值下降最快的方向(最速下降方向),沿梯度方向,方向导数达到最大值,问题：函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？,若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何,方向都不可能上升，于是由定理知,特别地,另一方面,因此,即函数在最大值点 处的梯度为零向量；,同理可,得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.,结论2,函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量,设 在 处取最大（小）值，则,即,类似地，若三元函数 在 处取最,大（小）值，则,例4.,设一座山的高度由函数 给出,如,果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方,向攀登时坡度最陡？,解：,坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即,求使高度
6、函数在点 处的方向导数最大的方向.,因,为梯度与 的夹角,所以,最大,即沿梯度方向函数上升最快.,又因,所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.,函数值下降最快的方向,定理设 f(x)是,上的连续函数，,d 是 n 维非零向量，如果,则d 是f(x)在点 x0 处的一个上升方向；如果,则d 是f(x)在点 x0 处的一个下降方向.,d 与f(x0)成锐角,d 与f(x0)成钝角,解：,所以函数在点 处的最速下降方向为,2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量,设 f(x)是 n 元可微函数,等值面,对于 n=2 的情形:,是函数 f(x,y)过点(x0,y0)的等值线,在该点
7、处,它与等值线的切线垂直.,在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.,结论:,与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以,是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.,对于 n=3 的情形:,是函数 f(x,y,z)的等值面,在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.,等值面,10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式,1.黑赛矩阵,设 n 元函数 f(x)在点 x 处对于自变量的各分量的二阶,连续，,偏导数,二阶导数,或黑塞矩阵,例6.,解：,计算函数 的梯度与黑塞,矩阵,并求 以及,因,，则,又,则,所以,例7.,解：,设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线
8、性,函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.,设,，于是,因,所以,当 时，二维线性函数,写成向量形式是,于是,例8.,解：,设 Q 为 n 阶对称矩阵，皆为n 维行向量，c 为,常数，求 n 维二次函数 在任意,点 处的梯度和黑塞矩阵.,设,则,于是,又因,所以,写出二维二次函数,的梯度和黑塞矩阵.,2.泰勒公式,若函数 在点 的某一邻域内具有一,阶连续偏导数,且 是这邻域内的一点,则有近似公式：,如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.,一元函数,的泰勒公式:,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,定理,的某一邻域内有直,到 n+1 阶连续偏导数,为此邻
9、域内任,一点,则有,其中,称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项.,证:令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,说明:,(1)余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M,则有,(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,例9.求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,其中,解：,由泰勒公式,其中,介于 0 与 x,0 与 y,0 与 z 之间.故有,1.方向导数的概念,2.梯度向量的定义,内容小结与作业,3.方向导数与梯度向量的关系,4黑赛矩阵,5.泰勒公式,作业P156-1581,3,4,5,7,8,9,11,15,其中,备用题,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(92考研),
