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1、第三节 格林公式及其应用(2),一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结,例.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,一、曲线积分与路径无关的定义:,B,A,如果在区域G内有,如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的
2、全微分,即,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u
3、=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,解:,例7.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D,则,例8.验证在xoy平面内,是某个函数的,全微分,并求出这个函数。,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,例9.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,重要结论:,解一:,解法二：,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,作业P213 1(1);2(1)(2)3;4(3);5(1),(4);6(2),(5),备用题 1.设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为,
