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1、几何光学的深入探究与运用摘要：本人于七年级下册学习几何光学之时，对光的一些现象奇妙的“偶然性”感 到诡异与惊骇，有幸通过一些途径对几何光学中的定律与现象进行了深入探究，并尝试 对他们进行了理论推导以及一些应用，于近日进行整理归纳，遂成本文。提出问题：思考这样一道基础题，并挖掘其中信息。一平面镜MN上方有一光源点A，有一物体B，试作出从点A发出的光线通过平面镜 MN反射经过B点时的光路图。显然，只需作出光源点A关于平面镜MN成的像A，再连接AB交MN于点P，连接 AP并延长，那么AP-PB即是题意要求的光路图。我们仔细观察，不难发现，作出光路图 的过程与数学中著名的几何最值问题“将军饮马”的处理
2、方法是类似的，作像点等价于 作对称点，那么我们便可以得知，此时AP-PB的距离是最短的。同时通过大量的尝试与 思考，我们可以得到结论：光在发生反射时，是沿最短路径进行传播的。由此，我们可以提出一个问题：对于光的反射与折射，是否都具有沿最短路径传播 的性质？如果有，我们能否在此基础上理论推导出光的反射定律与折射定律？引入概念：为解决上述问题，我们查阅资料，可以得知“费马原理”，“折射率”， “斯涅耳定律”三个重要概念，现以通俗的说法对三个概念进行阐述。费马原理：光传播的路线是在约束条件（如上文提到的点A发出的光线必须通过平 面镜MN进行反射到达点B，而不能直接从点A发出光线到达点B）下，需时取得
3、极值的 路径。折射率：c为光在真空中的速度，v为光在介质1中的速度，则定义n为光的绝对 折射率，n=c/v。斯涅耳定律：即折射定律的原本形态，当光从介质1折射到介质2时，设光在介质 1中的绝对折射率为n1，光在介质2中的绝对折射率为n2，入射角为0 1，折射角为。2， 则满足：n1sin0 1=n2sin0 2。设光在介质1中的速度为v1，在介质2中的速度为v2， 则得到该定理的重要推论：sin0 1/sin0 2=v1/v2。探究问题：上述三个概念中，费马原理是几何光学的基石，通过这个原理，我们可 以直接解决第一个问题，由该原理推导出反射定律是十分容易的，我们主要探究如何推 导折射定律即斯涅
4、耳定律。高等数学的推导方法网络上泛滥，本人在此就不赘述了，这里提供一种初等数学的几何证明方法。如图所示，光源点A在介质1,2分界面上方，直线11为法线，点A发出的光线于 点P位置发生折射，经过点B。记入射角为。1,折射角为。2,光在介质1中的速度为 v1,在介质2中的速度为v2，求证：sin0 1/sin0 2=v1/v2。证由费马原理，可知该问题等价于当AP/v1+BP/v2取得最值时，求证sin 0 1/sin。2=v1/v2。显然此时 AP/v1+BP/v2 不 存在最大值，不妨设在点P处满足sin 9 1/sin 9 2=v1/v2，在直线1上再任意取一点P，只需证明 AP/v1+BP
5、/v2VAP/v1+BP/v2 即可(注 意AP-PB不是光的传播路线)。作AG直线1交其 于点G，BH直线1交其于点H，PMAP交其于点M,PNBP 交其延长线于点 N，则得ZMPH=ZGAP= 0 1，ZNPH=ZPBH= 0 2, AP/v1+BP/v2 = AM/v1+MP/v1+BN/v2-PN/v2 = AM/v1+PPsin 0 1/v1+BN/v2-PPsin 0 2/v2 =AM/v1+BN/v2+PP (sin 0 1/v1-sin 0 2/v2) = AM/v1+BN/v2AP/v1+BP/v2,由此该命题得 证。初步运用：我们思考这样一道题目。有一凸面镜0,在其上方有一
6、光源点A，点A发出光线至凸面镜上P点，试作出对 于该光线的光路图。实际上，我们只需要过点P作该凸面镜的切面1，作出光源点A关于切面1的对称 点A，再连接AP并延长，点Q是其延长线上一点，连接AP，AP-PQ即是题意要求的光 路图。上述处理方法中，与一般平面镜成像的差别在 于是利用切面1来对凸面镜上的点P进行线性逼近， 将光线是射到直线1上的点P进行处理，我们现尝 试使用初等数学方法，使用几何不等式放缩论证大 法对“用切面对凸透镜上的点进行等效替代”这一 操作的正确性进行论证。将凸面镜看作平面上的上凸对称曲线进行处理，过点P作该上凸曲线的切线1,设光线AP通过切线l发生反射，作出反射光线PB,由
7、 费马原理可知AP+BP是切线l上一点到A，B两点的最小值，在切线l上另取一点P， 连接AP,BP，延长BP，交上凸曲线于点P，连接AP，此时利用三角形三边关系易证 AP+BPAP+BPAP+BP恒成立，则AP+BP也是该上凸曲线上一点到A，B两点的最小值， 曲线上的一点与过该点的切线是一一对应的，故AP-PB也是光线AP通过该上凸曲线发 生反射的光路图，上述操作是正确的。接下来我们探究折射的情况，对于凸透镜O,我们亦将其看作平面上的上凸对称曲 线进行处理，光线AP通过切线l发生折射，点B是其折射光线上一点，作点B关于切 线l的对称点B，连接PB，然后采取上述方法，易证AP+BP是该凸曲线上一
8、点P到A， B两点的最小值，故AP+BP也是该上凸曲线上一点P到A，B两点的最小值，故AP-PB 也是光线AP通过该上凸曲线发生折射的光路图。类似的，对于凹面（透）镜也可以如此处理并使用上述方法进行论证，故我们得到 了一个结论：对于任意曲面上一点发生的光的反射与折射，其反（折）射面都可以等效 替代为该过点与曲面相切的平面，其法线即可等效替代为该平面的垂线，平面中的反射 定律与斯涅尔定律在曲面中均成立。同时，我们根据费马原理，根据数学中轮换对称的 地位等价性（如三角形内接三角形周长最短时三点取得最值的几何条件相同，实际上这 便可以看成一个轮换对称的结构，三点地位等价，其余情况亦然同理），可以归纳
9、得到 一个数学结论：任意可以物理建模为光的反射折射型的直线型几何最值问题取得最值的 条件，将其推广到任意曲线仍然成立。由此，我们结合费马原理，反射定律，斯涅尔定律，切面等效替代曲面思想，可以 解决下述几个用常规方法难以解决的问题：1）：球面镜O上方有一光源点A，试指出怎样的点P才能使得入射光线AP所对应 的反射光线过点B （点A，B图中均已标出）。将球面镜O看作圆O处理，过点P作切上线l，连接OP并延长，根据圆上一点与圆心/的连线和过该点的切线垂直，当且仅当OP延长线平分ZAPB时，满足题意。需要注意的是，当点A，B不满足特殊关系时，确定点P需要解一个一元四次方程，是无法尺规作图得到的。这一问
10、题的数学背景叫做“古堡朝圣”，即求AP+BP的最小值，是动点在曲线上的“将军饮马”，显然这与本题是等价的，故我们 也可以直接利用物理方法秒杀这一数学问题。（2）：球透镜O上方有一光源点A，设外界 空气绝对折射率为n1，球透镜的绝对折射率为 n2,试指出怎样的点P才能使得入射光线AP所 对应的折射光线过点B（点A，B图中均已标出， 且为了方便，（1）与（2）放置在同一张图中）。将球面镜O看作圆O处理，过点P作切线l， 连接OP并延长，根据圆上一点与圆心的连线和 过该点的切线垂直，得当且仅当n1sinZ1=n2sinZ3时，满足题意。同上该点不可尺规 作图得到。这一问题的数学背景即“加权古堡朝圣”
11、，即求AP+kBP型的最小值，是动点在曲线 上的“胡不归”。（3）：点P是凹面镜上方一光源点，试指出怎么的点Q，M使得从点P发出的光线 于Q,M两点发生反射后，能恰好经过点P （点P图中已标出）。将凹面镜视作一上凹曲线，过点Q作切线11，过点M作切线12,根据反射定律， 得当且仅当Z1=Z2，Z3=Z4时，满足题意。同样这两点无法尺规作图得到。实际上，设直线AB交上凸曲线于A，B两点，若此时点P的轨迹是任意“过点A，B 的上凸曲线”，只需满足Z5=Z6，即可使此时的光程最小，这等价于“内接三角形周长 最短的曲线推广”。由于上述三道题目里所要求的点的不可尺规作图性，我们如果仍然用反射面为平面 时
12、直接作像点的方法，便无法解决，故采取上述方法，其中精髓便是“切面等效替代曲 面思想”。经过此番探究，几何光学与欧式几何的紧密联系甚至说是理论等价性，可见一斑。拓展思考：凸面镜，凹面镜，他们的术语中均有“焦点”而圆锥曲线中也存在“焦 点”，凹凸面镜均属于球面镜，圆锥曲线可以定义为“平面截圆锥所得的曲线”，圆锥与 球又有莫大关系，又知圆锥曲线具有一些神奇的光学性质，这些神奇的光学性质与凹面 镜与凸面镜的性质十分相似，试问凹凸面镜与圆锥曲线是否存在一定的对应性？我们大胆猜想凹面镜对应上凹抛物面，凸面镜对应上凸抛物面。于此，先给出抛物线的光学性质：抛物线：焦点发出的光线经反射会成为与凹面镜对称轴平行的
13、光线，准线是焦点关 于抛物线上每一条切线所作像点的集合。再给出凹面镜与凸面镜的性质：凹面镜：实焦点发出的光线经反射会成为与凹面镜对称轴平行的光线。凸面镜：虚焦点发出的光线经反射会成为与凸面镜对称轴平行的光线。值得注意的是，光路可逆，将上述性质颠倒过来亦然成立。由于凹凸面镜性质与抛物线光学性质的相似性，满足抛物线光学性质基本等价于满 足凹凸面镜性质，故我们只需证“一曲线为抛物线”是“一曲线满足抛物线的光学性质” 的充分条件即可。由于该证明利用平面几何方法实属不易（必要条件用平面几何方法是 易证的），本处采用解析几何的方法。将三维问题等价看作二维问题处理，在平面直角坐标系XOY中，一上凹对称曲线与
14、 X轴相切，其顶点为原点O，曲线上方y轴上有一定点P,从点P发出一道光线至曲线上%y1f(xi) = -1xl(f(xl) x1 + f(xl) - f(x1)x1 = y1消元易消掉 f (x1)，解得 f (x1) =1/2 (y1-y2)x12+ (y1+y2) /2,由题意顶 点为原点O,得y1+y2=0, f (xl) =1/2 (y1-y2) x1*2，用x代替x1，实际上就是f (x) =1/2(y1-y2)x*2，易知这是抛物线的二次函数形式，由此得证该曲线必然是 一条抛物线。故可以论证凹面镜对应上凹抛物面，类似地可以证明凸面镜的情况。小结：本文严格遵从研究物理问题的顺序，在已有资料的基础上进行了改进与创新， 夹杂了本人的独道观点，对物理问题进行数学建模，通过数学方法论证物理定律，探究 物理现象，通过物理方法解决数学问题，由浅入深，体现了几何光学与数学几何的紧密 联系，是一种非常重要的物理探究思想。实际上，几何光学中仍然有许多让人拍案叫绝 的奇妙之处，本文限于篇幅，无法对其之奇妙进行充分的阐述，只能留与读者自己探索， 实乃一大遗憾。望各位读者能从本文汲取有用之处，亦或在此基础上继续深入，便是对 本人研究几何光学数月来的肯定，便无所谓一次次的失败与彷徨，足慰吾辈平生矣。
