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1、,信号检测理论,信号估计理论,第三章信号检测的基本理论,3.1 前言3.2 假设检测的基本概念 3.2.1 基本检测模型 3.2.2 统计检测的结果和判决概率3.3 贝叶斯准则（Bayes Criterion)3.4 派生贝叶斯准则3.5 假设检验的性能接收机的工作特性3.6 M择一假设检验3.7 序列检验瓦尔德检验,在许多场合，人们需要在几种可能发生的情况下做出选择。信号检测理论主要用于在某种最佳理论基础上进行选择，对信号进行有效的检测。,例1：雷达信号检测。,例2：数字通信接收机的信号检测。,例3：语音信号的识别。,例4：图象信号的识别等。,第三章信号检测的基本理论,3.1 前言,3

2、.2 假设检测的基本概念,3.2.1 基本检测模型,以简单的二元检测理论入手，然后再推广。,1.二元信号检测理论模型,基本检测理论模型,二元信号检测应用：（1）二元数字通信，信源符号0和1；（2）雷达系统中，检测有或无目标；,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,下面以二元数字通信为例来说明信号检测过程。,信源说明：考虑二元信号的检测问题时，信源仅发出二元信号。当假设H0为真时，信源输出信号为-A，当假设H1为真时，信源输出信号为+A。,+A、-A均为确定信号，n为随机信号，因此x也为随机信号，仅仅是均值发生偏移，即有：

3、,转移概率机构说明：如果信道噪声n服从N（0，n2）,概率转移结构使观测空间中的随机观测信号为（x|Hj)(j=0,1)。这样在两种假设情况下，观测信号的数学模型为,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,x,显然，图中检测模型的观测空间由一维随机观测信号组成。,一维随机观测信号特征：x是一维变量。,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,说明：二元信号检测模型的观测空间也可以由多维随机观测信号组成。,二元信号检测模型中多维随机观测信号的观测空间形成:,主讲:刘颖2006年秋,对于信源的任何一个输出，让概率转移机构依次转移N次，则相当于观测信号的模型为：,即进

4、行了N次观测，构成N维随机观测矢量,其对应的观测空间就是N维的，N为有限值。,基本检测理论模型,观测空间R：在信源不同输出下，观测空间R是由概率转移机构所形成的可能观测的集合。观测量可以是一维的，也可以是N维矢量。,两种信号状态下N维观测信号矢量的N维联合概率密度为。,如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观测空间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映射到整个观测空间，观测空间某点的概率为。,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,基本检测理论模型,判决准则：观测信号落入观测空间后，就可以用来推断哪一个假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此

5、需要建立一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假设Hi（i=0,1),例如：在二元信号检测中，把整个观测空间R划分为R0和R1两个子空间，称为判决域。,2.M元信号检测理论模型,M元信号检测中，信源有M种可能的输出信号状态，分别记为Hj,(j=0,1,2,M-1)。,在噪声的干扰背景中，信源的每种输出信号经过概率转移机构生成随机观测量。,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,3.2.2 统计检测的结果和判决概率,信号统计检测就是统计学中的假设检验。,给信号的每种可能状态一个假设Hj(j=0,1,2,M)，检

6、验就是信号检测系统对信号属于哪个状态的统计判决。,一维观测信号是N维观测矢量信号的特例，因此下面按N维观测矢量信号来讨论信号的统计检测问题，也就是假设检验结果和判决概率问题。,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,1.二元信号的情况,二元信号的判决结果。,对于二元假设检验，判决结果必然是下面四中情况之一：(1)假设H0为真，判决假设H0成立，记为（H0|H0）；正确判断(2)假设H0为真，判决假设H1成立，记为（H1|H0）；错误判断(3)假设H1为真，判决假设H0成立，记为（H0|H1）；错误判断(4)假设H1为真，判决假设H1成立，记为（H1|H1）；正确判断,第三章信

8、P(Hi|Hj)含义：在假设Hj为真的条件下，判决假设Hi成立的概率。,假设观测量落在Ri域判决Hi成立，则有,显然将有M2种判决结果，其中只有M种判决是正确的。,小结：为了获得某种意义上的最佳检测结果，需正确划分观测空间R中各个判决域Ri(i=0,1,2,M-1）。,问题：需要寻求最佳检测准则，获得最佳检测结果。,第三章信号检测的基本理论 3.2 假设检测的基本概念,常用的信号检测准则,贝叶斯准则（Bayes)极小化极大准则（minimax)奈曼-皮尔逊准则（Neymann-Pearson),3.3 贝叶斯准则（Bayes Criterion),贝叶斯准则：就是在假设Hj的先验概率P(Hj

9、)已知，各种判决代价因子Cij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。,1.概念代价因子Cij：表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价。约束条件C10C00，C01C11。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,2.平均代价C的表达式,假设Hj为真时判决所付出的条件平均代价为,若Hj为真的概率P(Hj)已知，则判决所付出的总平均代价（也称为平均风险）为,整理得：,固定平均代价,q(x),第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,根据Bayes准则，应使C最小。,判决域划分:在R0域内，q(x)0.,Bayes判决准则：,即LRT,其中：(x)称为似然比函数，称为似然比检

10、测门限。,说明：似然比检验（LRT：likelihood Ratio Test)是似然比函数(x）于与检测门限进行比较，(x）是一个依赖于观测量x的函数，因此是一个检验统计量。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,简化形式：如果似然函数含有指数形式，可以简化判决准则，即简化的贝叶斯准则为,似然判决器,(x）计算器,判决器,xk,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,对数似然判决器,ln(x）计算器,判决器,xk,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,例题：在二元数字通信系统中，假设为H1时，信源输出为正电压A，假设

11、为H0时，信源输出为零电平。信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信源的持续时间为T，在接收端对接收到的信号 x(t)在T时间内进行N次独立采样，样本为xk（k=1,2,N)。已知噪声样本nk是均值为零、方差为 n2的高斯噪声。（1)试建立信号检测系统的信号模型；（2）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；（3）计算判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,解：（1）接收信号模型为：,解：（1）接收信号模型为：,在（0，T）内进行N次独立采样后，接收信号模型为：,其中 xk 之间相互独立。,第三章信号检测的基本理论

12、3.3 贝叶斯准则,（2）已知,在两种假设情况下，似然函数为：,由于N次采样的样本 xk 之间是独立同分布（iid)的，所以,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,这样，似然比函数为,似然比函数检验（LRT）为,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,取对数,进一步整理得,（3）检验统计量是N个信号的平均值，它是xk（k=1,2,N)的函数，是个随机变量。,说明：由于N次采样的样本xk之间是独立同分布（iid)的，因此 l(x)在两种假设情况下均服从高斯分布，均值和方差计算过程如下。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,假设H0情况下，均值和方差分别为：,假设H

13、1情况下，同样的方法计算均值和方差为：,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,用l表示l(x)，有,根据判决准则，,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,解毕。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,例题：设二元假设检验的观测信号模型为,其中 n 为均值为零，方差为0.5的高斯观测噪声。若两种假设是等先验概率的，代价因子分别为,试求最佳（贝叶斯）判决表示式和平均代价C。,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,解：,似然比检测门限为,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,Bayes判决表示式为,两边取对数，得,显然似然比函数服从高斯分布，令l(

14、x)=x在两种假设下，有,第三章信号检测的基本理论 3.3 贝叶斯准则,说明：如果调整检测门限偏离了-0.1733，则计算出的C均大于1.8269，这从侧面验证了贝叶斯准则的却能使平均代价最小。,第三章信号检测的基本理论,3.4 派生贝叶斯准则,概念：在对各假设的先验概率P(Hj)和各种判决的代价因子Cij进行约束的条件下，将会得到它的派生准则。本节主要讨论二元信号情况下，贝叶斯派生的几种准则。,1.最小平均错误概率准则,派生过程：当C00=C11=0，C10=C01=1时，平均代价为,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,最小平均错误概率准则：使平均错误概率最小的准则。（m

15、inimum mean probability of error criterion),类似于贝叶斯准则的分析方法，Pe表示为,为了使Pe最小，将所有满足q(x)0的x划归R0域，判决假设H0成立。,q(x),这样，所有满足q(x)0的划归R1域，判决假设H1成立。,此时，LRT（似然比判决）式为,LRT式的简化形式为,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,2.最大似然准则(maximum likelihood criterion),派生过程：当C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5,LRT为,说明：最小平均错误概率准则和最大似然准则都是贝叶斯准则

16、特例。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,例题3.4-1：在OOK通信系统中，两个假设下的观测信号模型为,其中，观测噪声nN(0,n2)；信号A是常数，且A0。若两个假设的先验概率P(Hj)相等，代价因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用最小平均错误概率准则，确定判决表示式，并求平均错误概率。,解：在两个假设下，观测量x的概率密度函数分别为,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,因为C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5,经过化简整理得,此时检验统计量l(x)=x。有,

17、第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,根据检测准则，判决门限为A/2，所以两种错误检测概率为：,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,这样平均错误概率为,说明：显然信噪比越高，平均错误概率就越小，检测性能就越好。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,3.最大后验概率准则(maximum a posterior probability criterion),派生过程：当C10-C00=C01-C11时，判决准则表达式为,贝叶斯准则,等价表示为,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,说明：在已知观测量x条件下,假设H1和H2为真的概率称为后

18、验概率。,4.极小化极大准则,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,贝叶斯准则应用条件：给定代价因子和先验概率。,贝叶斯准则,问题：当给定代价因子，而先验概率未知，此时判决门限=P(H0)是P(H0）的函数，如何检测？,解决方法：当给定代价因子，而先验概率未知时，采用极小化极大准则。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,为了描述方便，现将有关符号改记如下：,平均代价为：,当代价因子确定，而先验概率未知，此时判决门限是P1的函数，即=(P1)，则PF和PM也是P1的函数，整理C得：,虚警概率：漏报概率：,说明：可以证明，当似然比(x)是严格单调的概率分布随机变量时，

19、贝叶斯平均代价C是P1的上凸函数。如图中曲线a所示。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,平均代价C与P1的关系曲线,分析：P1未知，为了仍能采用贝叶斯准则，只能假设一个先验概率P1g，得到贝叶斯准则的似然判决门限=（P1g），由此可以计算获得PM(P1g)和PF(P1g)。,0 P1g P1g*1 P1,C(P1),a,Cmin,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,平均代价C与P1的关系曲线,C(P1),a,0 P1g P1g*P11 1 P1,b,分析：此时的平均代价与实际的先验概率之间的关系是一条直线，如图中曲线b所示。从图中可以观察到，除了P1g点外，其

20、他的P1处b曲线的值均大于a曲线的值。如P1=P11时，实际的平均代价远大于最小平均代价Cmin。,Cmin,此时的平均代价有如关系：,问题：既然无法预测P1g与实际的P1之间偏差的大小，如何避免产生过分大的代价？,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,问题：既然无法预测P1g与实际的P1之间偏差的大小，如何避免产生过分大的代价？,解决办法：使猜测先验概率为P1g*，获得的平均代价曲线如c所示。虽然此处贝叶斯准则的平均代价最大，但此时无论实际的先验概率P1与P1g*有多大的偏差，平均代价都等于Cmin max，不会产生更大的代价。,平均代价C与P1的关系曲线,C(P1),a,0

21、P1g P1g*P11 1 P1,b,Cmin,Cmin max,c,P1g*的求解方法如下。,令,整理得,这就是极小化极大准则的极小化极大方程。,解方程就可求得P1g*，从而得到似然比门限*。,此时的平均代价：,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,近一步分析。,此时极小化极大代价就是平均错误概率。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,（极小化极大方程）,（极小化极大方程）,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,例题3.4-2：在OOK通信系统中，两个假设下的观测信号模型为,其中，观测噪声nN（0，n2）;信号A是常数，且A0。若两个假设的先验概率

22、P(Hj)未知，代价因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用极小化极大准则，试确定检测门限和平均错误概率。,解：在两个假设下，观测量x的概率密度函数分别为,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,似然比函数为,假设判决门限为，则,化简得,显然，检验统计量l(x)=x.,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,因为C00=C11=0，C10=C01=1，,X在两种假设情况均服从高斯分布，根据判决准则，有,此时极小化极大方程为：PF=PM，,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,即极小化极大方程为,解得,此时平均错误概率,式中,第三章信号检测的基本

25、虚警概率PF=P(H1|H0)相同的情况下，不同的判决准则将得到不同大小的检测概率PD。如何获得最大的PD？,P(x|H0),R1,R0,R0,(3)奈曼-皮尔逊准则的判决表达式,目标：P(H1|H0)=，P(H1|H1)=最大，即J=P(H0|H1)最小。,利用拉格朗日（Largrange)乘子（0），构造目标函数,固定、非负 q(x),分析：要使J最小，将x满足q(x)0的部分划给R0域，其余给R1。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,似然比检验的形式为,为了满足P(H1|H0)=约束条件，选择的需要满足,即,解上面方程，可以求出判决门限。,第三章信号检测的基本理论 3

26、.4 派生贝叶斯准则,说明：实现过程中需要分析检测统计量的分布特征。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,奈曼-皮尔逊（N-P）准则与Bayes准则之间的关系：,贝叶斯准则,显然，当,N-P准则,Bayes准则就变成了N-P准则。,小结：奈曼-皮尔逊（N-P）准则是贝叶斯准则的特例。,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,例题3.4-3：在二元数字通信系统中，假设为H1时信源输出为1，假设为H0时信源输出为0，信号在通信信道上传输时叠加了均值为零、方差为1的高斯噪声。试构造一个P（H1|H0）=0.1的N-P接收机。,解：已知0.1,因为噪声n服从N（0，1）,

27、用x表示接收信号，n表示噪声，则两种假设情况下接收信号,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,似然比为,化简为,检验统计量为x。当约束条件满足时，有,解得,第三章信号检测的基本理论 3.4 派生贝叶斯准则,检验概率为,P(x|Hj),P(l|H1),P(l|H0),1 1.29,P(H1|H1),二元信号检测判决准则小结,（1）Cij和P(Hi)均已知,采用Bayes准则；,（3）P(Hi)=0.5，C00=C11=0，C10=C01=1，最大似然概率准则；（4）P(Hi)未知，C00-C11=C10-C01，最大后验概率准则；（5）Cij已知，P(Hi)未知,采用极小化极大准

28、则；,（2）P(Hi)已知，C00=C11=0，C10=C01=1，采用的最小平均错误概率准则。,（6）Cij未知，P(Hi)未知,采用N-P准则，但需有其他条件。,第三章信号检测的基本理论 3.5 假设检验的性能,3.5 假设检验的性能接收机的工作特性,小结：不论那种准则，其检验性能的优劣都体现在虚警概率PF和检测概率PD上。,P(l|H1),P(l|H0),PD,P(l|H1),P(l|H0),PF,第三章信号检测的基本理论 3.5 假设检验的性能,说明：经过计算我们发现，虽然观测空间R中的随机变量x的类型有所不同，但是接收机的工作特性（ROC：Receiver Operating C

29、haracteristic）总是具有相似的形状，如图所示。,1,1,PF,PD,SNR增加,门限增加,0,=0,=,SNR=0,小结：接收机工作特性（ROC）是似然检验性能的完整描述。,接收机工作特性（ROC）,如：对于N-P准则，给定了PF=，则其解就是PF=的直线与SNR=d1工作特性曲线的交点c,该点对应的PD就是PF=约束条件下，SNR=d1时的检测概率。,d1,c,第三章信号检测的基本理论,3.6 M择一假设检验,信源有M个可能的输出时，每个可能对应一个假设。,显然，对于M种假设，收端共有M2种可能的情况，其中有M种是正确检测，其余M2-M=M(M-1)是错误判决。,H0H1H2H

30、M-1,H0H1H2HM-1,P(HM|H0),P(H1|H0),P(H2|H0),P(H0|H0),信源(发),信宿(接收),第三章信号检测的基本理论 3.6 M择一假设检验,1.M元信号检测的贝叶斯准则,条件：M个假设，每种可能的输出信号经过概率转移机构映射到观测空间R，观测空间按照“最佳”检测准则划分为M个子空间Ri，i=0,1,2,3,M-1,并满足,根据观测矢量x=x1,x2,xMT 落在哪个空间Ri，i=1,2,M，就可以作出响应的判决。,H0H1H2HM-1,R0,R0,R1,R2,R3,观测空间,概率转移结构,假设：先验概率P(Hi)已知，各种判决的代价因子Cij确定。则Ba

31、yes平均代价为如下形式。,则判决规则应选择使其最小的假设为判决成立的假设。,令,判决准则：当满足,C中的第一项是固定代价，与判决域的划分无关；C中的第二项与判决域的划分有关，按bayes使其达到最小。,重写,的x划归Ri域，判决Hi成立。,第三章信号检测的基本理论 3.6 M择一假设检验,例如：H1成立的判决域R1由解,联立方程得到。,第三章信号检测的基本理论 3.6 M择一假设检验,类似，可以得到其他判决域。,重写平均代价公式,当Cii=0,Cij=1时，,第三章信号检测的基本理论 3.6 M择一假设检验,2.M元信号检测的最小平均错误概率准则,条件：如果M个假设的先验概率已知，判决

32、的代价因子Cii=0，Cij=1，则Bayes准则就成为最小平均错误概率准则。,3.7 序列检测-瓦尔德检验,第三章信号检测的基本理论,Bayes检测特点：观测次数是固定的。,序列检测的特点：不预先规定观测样本的数目N。,1.序列检测的一般叙述,如二元假设检验情况，如图所示。,观测空间,R0,R1,R2,判H1成立,判H0成立,继续观测,2.序列检测在修正的N-P准则下的应用瓦尔德序列检验,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,定义观测矢量Xk=(x1,x2,xk)T判决方法：Xk落在R0判决域，则判决假设H0成立；Xk落在R1判决域，则判决假设H1成立；Xk落在R2判决

33、域，则不作出判决，继续进行第k+1次观测。,如果用似然比的概念来分析，则相当于似然比门限有两个，0和1，10。,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,似然比检验为：,认为尚不足以作出满足指标的判决。,需要再进行下一次的观测，获得新的观测量xk+1后，再进行能够作出判断的处理，此过程原则上要进行到能够作出判断为止。,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,瓦尔德序列检验方法：在给定性能指标P(H1|H0)=和P(H0|H1)=的条件下，从获得第一个观测量x1开始进行似然比检验，检验的两个门限1、0由错误判决概率P(H1|H0)和P(H0|H1)的值计算获得。

34、,似然比函数,假设各次观测是相互统计独立的，则似然比函数表示如下：,假设P(H1|H0)和P(H0|H1)的约束值（或称为判决性能指标）分别为：,信号的序列检测如下:,则进行下一次观测后，根据(XN+1)再进行检验。,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,现推导以P(H1|H0)和P(H0|H1)约束值表示的两个门限。,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,似然比函数,所以,小结：判决指标与门限的关系：,第三章信号检测的基本理论 3.7 序列检测-瓦尔德检验,说明：可以证明，这种序列似然比检验是有终止的。当N一定时，似然比落在R2区域的概率为零。,第0章前言第一章基础知识第二章随机信号分析第三章信号检测的基本理论第四章确知信号的检测第五章随机参量信号的检测第六章估计的基本理论参数估计第七章信号波形估计第八章功率谱估计,教学内容,信号检测理论,信号估计理论,

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