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1、张利华,信号与系统,第五章 离散时间信号与系统的频域分析,5.2 信号的抽样,5.1引言,5.3 离散非周期信号的频谱离散时间傅里叶变换,5.4 离散周期信号的频谱离散傅里叶级数,5.5 离散时间LTI系统的频域分析,5.2 信号的抽样,连续时间信号的抽样,信号的抽样包括时域抽样和频域抽样，本节仅讨论信号的时域抽样。,将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值，从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过程称为抽样,完成抽样功能的器件称为抽样器。下图所示的是抽样器的示意图，,5.1 引 言,在时间域对信号和系统进行分析和研究比较直观，概念清楚，但有很多问题在时间域分析和研究起来困难,例如有两个序列，从波
2、形上看，一个变化快，另一个变化慢，但都混有噪声，希望分别用滤波器滤除噪声，又不能损伤信号。为了设计合适的滤波器，需要分析信号的频谱结构。,因此，有必要将时域信号转换到频率域，分析它的频域特性，然后进行处理。,图中 表示模拟信号，表示抽样信号，为周期性冲激函数序列，其中T为抽样周期，为抽样频率。,当t0的极限情况，此时抽样脉冲序列 变成冲激函数序列，就是理想抽样情况，下图为理想抽样和实际抽样。,理想抽样,当上图所示的抽样器开关S的闭合时间t0时，抽样脉冲序列 变成冲激函数序列，即：,理想抽样输出 为：,化简上式可得：,将 展开成傅里叶级数，得：,理想抽样图,频谱延拓,利用时域卷积性质可求其理想抽
3、样信号 的频谱,下图5.1为理想抽样后信号的频谱分析,在理想抽样中，为了使平移后的频谱不产生“混叠”失真，应要求抽样频率足够高。在信号 的频带受限的情况下，抽样频率 应等于或大于信号最高频率 的两倍，即：,这就是时域抽样定理，又称Nyquist（奈奎斯特）抽样定理。其中抽样频率 又称为奈奎斯特频率，抽样频率的一半称为折叠频率，是使抽样信号频谱不混叠时的最大的抽样间隔，称为奈奎斯特间隔。,（b）抽样信号 的频谱（）,（a）连续信号 的频谱,因此,的傅里叶变换为：,其中,(5.1),则理想信号 的抽样频谱 为：,在信号抽样过程中，随着抽样角频率 的降低，周期化过程中相邻频谱间隔将会减小，当 或 时
4、，平移后的频谱必互相重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同，使得抽样后信号的频谱产生失真，如下图5.1（d）所示，这种现象称为“混叠”。如果原信号不是带限信号，则“混叠”现象必然存在。,（c）抽样信号 的频谱,（d）理想抽样后信号 的频谱（）,由于 是 对 归一化的结果，故可以认为离散时间序列的频谱是抽样信号的频谱经频率归一化后的结果，如图5.1（c）所示。,所以有,将式（5.1）代入上式得,或,频率归一化,则抽样信号 的频谱 为：,另一方面，离散时间序列 的傅里叶变换为,设离散时间序列 是模拟信号 通过周期抽样得到，即,理想低通滤波器的频率特性,同样从图5.1中可知，为了从抽样信号 中恢
5、复出原来的模拟信号，让抽样信号通过一个截止频率为 的理想低通滤波器，就可将抽样信号中的基带频谱取出来。,这个理想低通滤波器的频率特性见下式，对应的频率特性如下图所示。,信号重建,其方法是：在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止频率为 用来滤除高于此频率分量的信号，以保证进入抽样器的信号是一带限信号。,从图5.1可以看出，如果抽样信号的频谱不存在混叠，那么,在工程实际中，许多信号的频谱很宽或无限宽，如果不满足抽样定理约束条件的情况下直接对这类信号进行抽样，将产生无法接受的频谱混叠（称为混叠误差）。为了改善这种情况，故要加入一个抗混叠措施。,对应理想低通滤波器的冲激响应
6、 为：,则理想低通滤波器的输出为：,上式就是从抽样信号恢复原信号的抽样内插公式，说明输出等于原信号抽样点的值与内插函数乘积和。内插函数是,内插函数在 的抽样点上的值为1，在其余抽样点上的值都为零，在抽样点之间的值不为零，如下图所示,被恢复的信号 在抽样点上的值恰好等于原来连续信号 在 抽样时刻 的值，而抽样点之间的部分由各内插函数的波形延伸叠加而成，如下图所示,（1）的周期、抽样样频率和抽样样间隔为多少？,（2）若选用抽样 频率，则抽样间隔是多少？写出抽样信号 的表达式,（3）求 的周期,已知模拟信号，其中 求,解：,周期为,抽样频率为,抽样间隔为,（1）由，得,（3）因为，N=4为最小正整数
7、，所以 的周期为4,（2）选，则抽样间隔为,故,离散时间信号的抽样,离散时间信号抽样后得到的序列称为离散时间抽样序列，它在抽样周期N的整数倍点上的抽样值等于原来的序列值，而在这些点之间的抽样值都为零，即,离散时间信号抽样过程如下图所示：,离散时间信号抽样的频谱如下图所示。由下图的（c）和（d）可以得出：在离散时间信号抽样中，为了不发生混叠失真，抽样频率应满足条件：,上式表明，离散时间抽样序列 的傅里叶变换 是原序列 的傅里叶变换 的周期延拓，周期为抽样频率。,将 代入上面两式可得：,这可看作是一个信号的调制过程，即：,与上一节冲激序列 的傅里叶变换的推导类似，有：,则对应的频域形式为：,离散时
8、间信号抽样频谱,在离散时间抽样序列信号 的频谱没有混叠失真的情况下，用一个理想低通滤波器就可恢复出原信号，如下图所示。其中理想低通滤波器的频率特性为：,对应的冲激响应为：,则低通滤波器的输出为：,利用理想低通滤波器从离散时间信号抽样序列中恢复原离散时间序列,5.3 离散非周期信号的频谱离散时间傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,的离散时里间傅叶反变换定义为：,离散非周期序列 的离散时间傅里叶变换定义为：,为复数，可用它的实部和虚部表示为:,或用幅度和相位表示为:,对于上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足：,绝对可和只是一个充分条件，例如 及一些周期信号等，都不是绝对可和的，因
9、此认为它们的离散时间傅里叶变换不存在。但是，如果引入奇异序列的概念，那么这类不绝对可和的序列也存在离散时间傅里叶变换。,解：由离散时间傅里叶变换的定义，有,则,求信号(a为实数，且0a1)的离散时间傅里叶变换。,其对应的幅度谱和相位谱如下图所示。,例5.2中傅里叶变换的幅度谱和相位谱,离散时间傅里叶变换的性质,设,则,1线性特性,2时移特性和频移特性,设,则,离散序列的离散时间傅里叶变换具有以下两个特点：,（1）是以2为周期的的连续函数。,当 为实序列时，的幅值 在02区间内是偶对称函数，相位 是奇对称函数。,设，若,5频域卷积特性,6对称特性,上式表明，两信号在时域的乘积，其对应的频谱在频域
10、将为周期卷积。,在讨论对称特性之前，先来定义共轭对称序列和共轭反对称序列。,3频域微分特性,4时域卷积特性,则,则,设,设，若,上式表明，两信号在时域的卷积，其对应的频谱在频域将为乘积。,则称序列 为共轭反对称序列，用 来表示。共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数，有,若序列满足：,则称序列 为共轭对称序列，用 来表示。共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。,若序列满足：,（1）对于复数序列，其实部和虚部的傅里叶变换，有,（2）对于复数序列，其共轭对称序列和共轭反对称序列的离散时间傅里叶变换，有,上两式表明，复数序列共轭对称分量的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换的实数部分，
11、复数序列共轭反对称分量的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换的虚数部分。,若 为实序列，则有,即实序列离散时间傅里叶变换的实部是的偶函数，虚部是的奇函数。,7帕塞瓦尔（Parseval）定理,若,则,上式表明，序列能量具有时域和频域的一致性。,可以证明，在频域下，任一序列都可以表示成一个共轭对称部分与共轭反对称部分的和，即,其中,下面讨论序列离散时间傅里叶变换的对称性，从两个方面进行分析。,5.4 离散周期信号的频谱离散傅里叶级数,离散傅里叶级数,设 是以N周期的周期序列，因为序列具有周期性，可以展开成离散傅里叶级数，即,是离散傅里叶级数的系数，计算式为,上面两式通常看作周期序列的离散傅
12、里叶级数变换对。通常用符号 代入离散傅里叶级数对，则得到周期序列的离散傅里叶级数变换对的常用表示法：,n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。,设，将 以N=8为周期进行周期延拓，得到周期序列,试求傅里叶变换，并画出它的幅频特性。,解:,故幅频特性为：,离散傅里叶级数的性质,1线性特性,若,则,设周期序列 和 都是周期为N的周期序列，它们的DFS的系数分别为,周期序列 的波形及幅频特性 如下图所示,周期序列 的波形图,幅频特性,2时移特性和频域特性,上面两式表明，周期序列
13、在时域中的位移，其对应的频谱将会产生附加相移。周期序列在时域的相移，其对应的频谱将会产生频移。,设,则,3周期卷积特性,设周期序列 和 都是周期为N的周期序列，它们的DFS的系数分别为,设,则,上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。显然，周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。周期卷积满足交换律，故又可表示为。,4频域卷积特性,若,则,上式表明，两个周期序列在时域的乘积，对应其频谱在频域的周期卷积。,5.5 离散时间LTI系统的频域分析,与连续时间LTI系统类似，离散时间LTI系统的频率响应就是系统单位样值响应的傅里叶变换，即DTFT。,对于单位样
14、值响应为 的系统，其系统频率响应为,离散时间LTI系统的频率响应,与连续时间LTI系统的频率响应类似，离散时间LTI系统的频率响应也可以通过差分方程来定义。,离散时间LTI系统在时域可以用n阶常系数线性差分方程来描述，即：,则系统的零状态响应为,在零状态条件下，对上式两边进行离散时间傅里叶变换，并利用离散时间傅里叶变换的时域位移特性，可得,其中 为输入信号 的离散时间傅里叶变换，为零状态响应 的离散时间傅里叶变换，它们分别反映输入信号与输出信号的频率特性。,令:,上式表明，为离散时间LTI系统在零状态下输出响应与输入激励的频谱函数之比，称为离散系统的频率响应。,与连续时间情况相同，在离散时间L
15、TI系统分析中，频率响应 所起的作用与其原信号单位脉冲响应 的起的作用是等价的。,对于稳定的离散时间LTI系统，设输入序列是一数字域频率为的复指数序列，即,已知描述某离散时间LTI系统的差分方程为,试求该系统的频率响应 和单位抽样响应。,由DTFT的时域位移特性，对差分方程两边时行DTFT，可得：,只有当离散系统是LTI系统时，系统的 和 之间是离散时间傅里叶变换对的关系。对于因果不稳定的离散时间LTI系统，尽管其脉冲响应存在，但其频率响应不存在。,因此有：,对上式进行IDTFT，即得：,解：,离散非周期序列通过系统的频域分析,(5.2),设连续时间系统情况相同，求解离散非周期序列通过系统的零
16、状态响应的一般思路是：通过卷积性质求得输出序列 的频谱，然后对该频谱作反变换求得时域解。,由DTFT的时域卷积定理，若离散非周期序列 为激励信号，存在IDTFT，系统的频率响应为，则 作用 于离散时间LTI系统的零状态响应 的频谱为：,已知描述某稳定的离散时间LTI系统的差分方程为,若系统的输入序列，求系统的零状态响应。,由DTFT的时移特性，对差分方程两边时行DFTF，可得,则,解：,对上式进行IDTFT，即得,只有离散时间LTI系统频率响应 以及输入序列的DTFT都存在，才可以通过频域求解离散时间LTI系统的零状态响应。,注意,离散周期序列通过系统响应的频域分析,由于余弦函数（可能是周期函
17、数，也可能是非周期函数）可以表示为复指数函数的线性组合，因此系统的频率响应也可以表示成系统对余弦输入的响应.,设离散时间LTI系统的输入序列 是一个周期为N周期序列，则根据DFS可以将周期序列 表示为：,由式（5.2）及离散时间LTI系统的线性特性，可得离散时间LTI系统的零状态响应：,由于 为实数，则系统对 零状态响应为：,设,根据式（5.2），系统对 的零状态响应为：,由上式可知，余弦信号通过频率响应为 的离散时间LTI系统时，其输出的零状态响应仍为同频率的余弦信号.,(5.3),其中，是系统在频率0处的相位响应。,因此，系统对 零状态响应为,设一个因果的线性时不变系统的单位样值响应为：,（3）求系统对输入为 的零状态响应。,（1）求输入为 时系统的零状态响应；,（2）求系统的频率响应；,解：（1）由题有：,（2）由 有：,（3）当 时,由式（5.3），可得,
