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1、偏微分方程数值解法 7抛物型方程差分法2,差分格式稳定性概念显、隐格式稳定性分析稳定性分析的矩阵方法,抛物型方程,简单显式差分格式,在实际应用时,取逐层计算形式.当初始层数据有误差时,误差会逐层传播,影响以后各层的解.,记 的误差为,设 无误差,则有,取,设初始层上,仅有,其它点处无误差,在各计算层上,误差传播得到控制,取,设初始层上,仅有,其它点处无误差,在各计算层上,误差传播没有得到控制,无穷大范数定义,双层差分格式,记矩阵,双层格式的矩阵形式,双层差分格式初值稳定概念:,任意解都满足,其中 M 与 无关.k k0,简单显式差分格式,稳定性分析,设,此时差分格式稳定,设齐次方程,系数矩阵可
2、逆,记 称之为过渡矩阵,常系数差分格式,H 的谱半径:,定理:双层差分格式稳定的必要条件是,存在与 无关的常数 M1,使得,定理 若 H=A-1B 为正规矩阵,即 HH*=H*H,则条件,是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件,注：欧氏范数(或离散L2范数),简单显式差分格式矩阵形式,过渡矩阵,特征值,过渡矩阵的谱半径,极值点满足,显式差分格式稳定充分条件.,简单隐式差分格式矩阵形式,特征值,过渡矩阵,过渡矩阵的谱半径,隐式差分格式无条件稳定.,C-N 格式矩阵形式,特征值,过渡矩阵的谱半径,C-N 格式是无条件稳定的.,数值实验题 用三种差分格式求初边值问题数值解,并与准确解比较,显格式,隐
3、格式,C-N格式,数值计算实验,显格式:input T:=1error=7.9443e-006k=200,CN格式input T:=1error=2.6227e-006k=50,T=input(input T:=);h=1/10;ta=1/200;r=ta/(h*h);s=1-2*r;x=0:h:1;N=length(x);t=0;uk=sin(pi*x);II=2:N-1;k=0;,%显格式计算程序,while tT t=t+ta;un=s*uk(II)+r*(uk(II-1)+uk(II+1);uk=0,un,0;k=k+1;endux=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x);error=max(abs(ux-uk)plot(x,ux,x,uk,:or),
