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1、第九章 非线性控制系统,第一节 非线性系统述第二节 描述函数法第三节 相平面法,第一节 非线性系统概述,1.何谓线性系统？静态特性：输入和输出成比例动态特性：可应用叠加原理y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)y=f(kx)=kf(x)2.何谓非线性系统？静态特性：输入和输出不成比例动态特性：不可应用叠加原理,x,y,x,y,3.线性系统与非线性系统的关系,实际系统总含非线性环节，所以是非线性系统。但在小信号范围内可线性化为线性系统来分析。,4.非线性系统的特征,(1)输出响应与输入信号大小和系统初态有关,4.非线性系统的特征,(2)系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关,(3)会产生自
2、激振荡,4.非线性系统的特征,(4)可能产生跳跃谐振,(5)会产生波形畸变,振幅,非线性系统,频率,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(1)饱和特性 Kx|x|a y=Ka xa-Ka x-a 在饱和区，增益减小，振荡减弱，稳态误差增大。在线性区发散振荡的系统，到饱和区将转为等幅振荡。,(2)死区特性 数学表达式 0|x|a y=K(x-a sign x)|x|a sign x=1 x0-1 x0,x,y,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,特性曲线,对系统性能的影响 直接造成稳态误差 会使振荡减弱，因处于死区时，相当于信号断开。滤去小幅干扰，提高系统抗干扰能力。跟踪斜坡信号时有时间滞后
3、。,x,y,a,K,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(3)滞环特性 K(x-a sign x)|x|0 y=不变 x=0,x,y,对系统性能的影响 增大稳态误差 使波形失真 稳定裕量减小，振荡加剧,动态特性变坏,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(4)继电特性 ym x0+y=-ym x0-,x,y,对系统性能的影响 增大稳态误差 造成自振荡 稳定性减弱,ym,-ym,6.非线性控制系统的分析方法,以上为粗略定性分析.由于非线性系统建模困难,解方程更难,所以至今没有精确和统一的分析方法.下面介绍的三种常用方法也不完善的.(1)描述函数法 用一次谐波代替非正弦波,只是近似分析 适用于周
4、期信号,不适用非周期信号(2)相平面法 用相平面图研究非线性系统的动态特性,只适 用于二阶系统.(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)用李雅普诺夫函数V(x)来研究,但V(x)难确定.,第二节 描述函数法,本节内容1。描述函数定义2。典型非线性元件的描述函数3。用描述函数法研究非线性系统描述函数法是线性系统理论中频率法在非线性系统中的应用。主要用来分析非线性系统的稳定性及正弦输入下的输出特性。适用于任意阶非线性系统。,1.非线性系统的描述函数定义,系统框图 假设条件(1)正弦输入 x1(t)=Asint(2)非储能元件 无动态特性,无惯性,不是时间的函数(3)特性斜对称 f(-x1)=-f(x1)
5、(4)其线性部分具有较好的低通滤波性能,N,x1,x2,x2,x1,1.非线性系统的描述函数定义,描述函数推导 输入：x1(t)=Asint 稳态输出（付立叶级数表示）：分析：因斜对称性 A0=0 据付立叶分析,1.非线性系统的描述函数定义,分析：因低通滤斜波特性，k1,Ak=Bk=0 于是有,用正弦量的矢量表示法有 X1(A,)=A X2(A,)=C1e j1,1.非线性系统的描述函数定义,描述函数定义式：,由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑A,不顾,于是 N(A,)=N(A),描述函数定义陈述：非线性系统的描述函数为输出基波分量与输入信号之比,2.典型非线性元件的描述函数,(1)
6、饱和特性的描述函数法,x1,x2,x2,x1,-a,a,K,-,-,t,t,2.典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数法 当Aa,KA sin t 0 t x2(t)=Ka t-KA sin t-t A sin=a=sin-1(a/A),2.典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数法,2.典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数,K,N(A)=,Aa,Aa,(2)死区特性的描述函数,0,N(A)=,Aa,Aa,2.典型非线性元件的描述函数,(3)滞环特性的描述函数,0,N(A)=,Aa,Aa,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(1)非线性控制系统(2)闭环频率
7、特性(3)闭环特征方程,N(A),G0(s),R,Y,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4)稳定性分析 当G(j)=-1/N(A)时,产生临界振荡.线性系统的临界点为(-1,j0),而在非线性系统中有一条临界曲线为-1/N(A).)稳定系统相角裕量 幅值裕量 20lg(oN/oG),-1N(A),A0,G0(j),o,N,G,Im,Re,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4)稳定性分析)不稳定系统,-1N(A),G0(j),o,Im,Re,)自激振荡,-1N(A),G0(j),o,Im,Re,(A0,0),注：并非所有的交点都产生自振荡,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4)稳定性
8、分析)稳定自振荡的确定,-1N(A),G0(j),o,Im,Re,Im,A,1,3,2,6,5,4,取点1，2，3，4，5，6，分析：13 不稳A 6 4 12 稳 A 7 46 不稳A 4 45 稳 A 4结论：4点为稳定的自振荡点 1点为不稳定的自振荡点推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点,7,3.用描述函数法研究非线性控制系统,例 9.1 设非线性元件具有滞环继电特性(a/x2m=0.5),试分析系统稳定性,并判断是否存在稳定的自振荡.,R(s),Y(s),-,a,-a,x2m,320,s(s+4)(s+8),3.用描述函数法研究非线性控制系统,解:查非线性元件描述函数表知
9、具有滞环继电特性(a/x2m=0.5)的描述函数为,3.用描述函数法研究非线性控制系统,解:(续),可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线而G0(j)为,3.用描述函数法研究非线性控制系统,解:(续),G0(j)与-1/N(A)相交于P点,经分析P点为稳定的自振点.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率p=4.2 rad/s.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m,3.用描述函数法研究非线性控制系统,-1N(A),G0(j),o,Im,Re,-1.0,3,5,4,P,第三节 相平面法,本节内容1。基本概念2。相平面
10、图的绘制3。由相平面图求系统的过渡过程4。奇点和极限环,1.基本概念,非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间下的应用，它是一种用图解法求解二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清晰图象。,二阶系统的微分方程表达,a1，a0为常数时表达线性定常系统。a1，a0不为常数时表达非线性系统。,1.基本概念,二阶系统的状态方程表达 令x1=x，x2=x1,有,.,相平面(状态平面,x-x平面),.,相平面图(相轨迹构成的图),相平面法:相平面图的绘制和分析 特点:只限于二阶线性或非线性系统 可用于严重非线性场合(描述函数不够用)可用于非周
11、期信号输入,x1,x2,2.相平面图的绘制,.,常用三种方法:解析法,等倾线法,法.1)解析法 当系统微分方程较简单时,可推导出相轨迹方程,据相轨迹方程可绘制相平面图.例如:,经积分推导可得相轨迹方程,为一圆方程,据此可绘制相轨迹.,yn,.,y,2.相平面图的绘制,2)等倾线法 不用求解微分方程，适用于非线性特性可用数学式表达的系统.设,2.相平面图的绘制,对于除平衡点的任一点，和 为确定值。在平衡点，=0 为不定值。速度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点。所以可设,表示相轨迹的斜率。表示斜率相等。,被称为等倾线方程,2.相平面图的绘制,等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾线方
12、程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从初始状态|t=0 出发的相轨迹曲线。例9。2 试用等倾线法绘制二阶线性系统的相平面图。解：,2.相平面图的绘制,根据等倾线方程令为若干具体数值，可得等倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD，。,=-1,=-1.4,=-2.5,=2,=-(1.4+1)/2=-1.2,=-0.4,=-1,x,x,.,A,B,C,2.相平面图的绘制,例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统的相平面图。解：,x,x,.,2.相平面图的绘制,3)法 当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这时用法更
13、好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴滑动的一系列圆弧的连续线。设，要求单值并连续。变形为令 选使值在选定小x，x范围内，不大不小，可看作常量。当在P1(x1,x1)点附近,.,.,2.相平面图的绘制,C为积分常数,可求得,2.相平面图的绘制,这是一个圆方程,圆心在(1,0),半径为,进而可推得,2.相平面图的绘制,以x为横轴,以x/为纵轴,P1点附近的相轨迹可用小段圆弧表示.为得到1可用逐次逼近法.,.,x,x/,.,P1,(1,0),例9.4 已知,求起始于A1(1,0)点的相轨迹.,2.相平面图的绘制,解:取=1,按 有,设 步距为0.2.先取1=0,以圆心(0,0),半径1,过A1点画圆弧,交
14、=-0.2于A2.A2的坐标为(-0.2,(1-0.22).取A2和A1的坐标平均值(xm,xm)代入求1,.,2.相平面图的绘制,以圆心(0.12,0),半径1-0.12,过A1点再画圆弧,交=-0.2于A2.以同样方法可得A3,A4,1,0.12,0,A1,A2,A2,A3,A4,x,X,.,3.由相平面图求系统的过渡过程,常用三种方法：增量法、积分法、圆弧法1）增量法,3.由相平面图求系统的过渡过程,x,t,x,x,x01,x12,x23,x34,x01,t01,t12,t23,t34,3.由相平面图求系统的过渡过程,2）积分法,x,t,x,t01,t12,t23,t34,1/x,x0,
15、3.由相平面图求系统的过渡过程,3）圆弧法,x,t,x,t01,t12,t23,t34,x,x0,01,P,1,0,2,4.奇点和极限环,1）奇点的定义 速度x和加速度x都为零的点。奇点是系统的平衡点。在奇点处相轨迹的斜率为不定值。可以有无穷多条相轨迹趋近或离开奇点。2）奇点的类型 见表9-1，有稳定焦点、稳定节点、中心点、不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。,.,.,4.奇点和极限环,表9-1（1）,奇点类型,闭环根分布,相平面图,动态响应,稳定焦点,稳定节点,4.奇点和极限环,表9-1（2）,奇点类型,闭环根分布,相平面图,动态响应,中心点,不稳定焦点,4.奇点和极限环,表9-1（3）,奇点类型
16、,闭环根分布,相平面图,动态响应,不稳定节点,鞍点,4.奇点和极限环,3）奇点坐标的确定 设在奇点有 由上两方程确定的两条曲线的交点即为奇点。系统在奇点附近的运动状态可由泰勒级数展开分析得到。设有奇点（x10，x20），则,4.奇点和极限环,略去高次项，并令,4.奇点和极限环,则有,为简便分析，设x10=x20=0（若初值不为零，可通过坐标变换达到零初值），则有状态方程,4.奇点和极限环,于是可知系统在奇点附近的运动特性取决于上方程的特征根。,例9-6,已知求系统相平面图,4.奇点和极限环,解：,在系统平衡时,在点（0，0）附近，有线性化方程：,4.奇点和极限环,所以,可知点（0，0）为稳定焦点。,4.奇点和极限环,在系统平衡时,对于点（-2，0），先要做坐标变换：,4.奇点和极限环,所以,可知点（-2，0）为鞍点。,4.奇点和极限环,用等倾线法可绘制出相轨迹图。,x,x,.,4.奇点和极限环,4）极限环 当相轨迹形成一个封闭的曲线时，被称为极限环，极圈。极限环把相平面分为内部平面和外部平面两部分。相轨迹不能从内部直接穿出，也不能从外部直接穿入。极限环有稳定的、不稳定的和半稳定的三种。,稳定的极限环,x,x,x,t,.,4.奇点和极限环,不稳定的极限环,x,x,x,t,.,半稳定的极限环,x,x,x,x,.,.,
