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1、第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换4.5 傅里叶变换的性质4.6 周期信号的傅里叶变换4.7 LTI系统的频域分析4.8 取样定理,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。,引言,时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分；变换域分析中，将任意信号分解成三角函数或虚指数 函数的加权积分；将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为 信号的频谱分析。,频域分析将时间变量变换成频率变量，揭
2、示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,意义,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合。,从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后的变化都可看得很清楚。,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进
3、行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,主要内容,（1）掌握周期信号的傅里叶级数展开；（2）掌握信号频谱的概念，了解实信号频谱的特点；（3）掌握傅里叶变化及其基本性质；（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法；（5）掌握系统的频域传输函数的概念；（6）掌握理想低通滤波器特性；（7）掌握线性系统的不失真传输条件；（8）掌握连续信号的理想取样模型及抽样定理。,本章教学基本要求,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,
4、vy3)正交的定义：其内积为0，即,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集,如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1 信号分解为正交函数,例如：对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用上面的三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz,二、信号正交与正交函数集,1.定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)
5、和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。,2.正交函数集：,若n个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：在(t0，t0+T)(T=2/)上三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型完备正交函数集。,(i=1，2，
6、n),4.1 信号分解为正交函数,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为,如何选择各系数Ci使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差定义为,4.1 信号分解为正交函数,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,4.1 信号分解为正交函数,代入，得最小均方误差,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方
7、误差为零。此时有,4.1 信号分解为正交函数,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式。表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:,4.1 信号分解为正交函数,三角函数的傅里叶级数函数的对称性与傅里叶级数的关系指数函数形式的傅里叶级数两种傅里叶级数的关系,4.2 傅里叶级数,是一个完备的正交函数集,由积分可知,1.三角函数集,一、傅里叶级数的三角形式,4.2 傅里叶级数,1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2.周期信号展开为傅里叶级数的条件,周期信号f(t)应满足狄里赫利(Dir
8、ichlet)条件，即,（1）在一个周期内绝对可积，即满足,注意：条件（1）是充分条件但不是必要条件；条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。,4.2 傅里叶级数,（2）在一个周期内只有有限个有限的不连续点；,（3）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,3.级数形式,周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数,系数an,bn称为傅里叶系数,可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。,4.2 傅里叶级数,式中，A0=a0,可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin
9、 n，n=1,2,4.余弦形式,4.2 傅里叶级数,物理意义：,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。,其中，A0/2为直流分量；n=1项，A1cos(t+1)称为基波分量或一次谐波分量，它的角频率与原周期信号相同；n=2项，A2cos(2t+2)称为二次谐波分量，它的频率是基波的2倍；Ancos(nt+n)称为n次谐波分量。,4.2 傅里叶级数,二、波形的对称性与谐波特性,1.f(t)为偶函数对称纵坐标,傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。,4.2 傅里叶级数,2.f(t)为奇函数对称于原点,只含正弦项，展开为正弦级数。,4.2 傅里叶级数,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶
10、函数两部分，即 由于,4.2 傅里叶级数,所以,3.f(t)为奇谐函数,偶次谐波分量为0，只含奇次谐波分量,4.2 傅里叶级数,时,时,4.f(t)为偶谐函数,奇次谐波分量为0，只含偶次谐波分量,4.2 傅里叶级数,时,时,4.2 傅里叶级数,例1：利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。,偶、奇谐函数包含奇次余弦分量,奇函数，包含正弦分量,4.2 傅里叶级数,偶、偶谐函数包含偶次余弦分量,奇谐函数，包含奇次的正弦、余弦分量,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(e
11、jx+ejx)/2,4.2 傅里叶级数,上式中第三项的n用n代换，A n=An，n=n，则上式写为,令A0=A0ej0ej0t，0=0,4.2 傅里叶级数,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,4.2 傅里叶级数,任意周期信号f(t)可分解为(-,+)区间上的虚指数信号 的线性组合。F0=A0/2为直流分量。,4.2 傅里叶级数,物理意义：,四两种傅里叶级数系数之间的关系,4.2 傅里叶级数,An 是实函数，Fn 一般是复函数,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,例2：用直接计算傳里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傳里叶系数（三角形式或和指数形式）。,解：首先计算周期函数的周期,
12、4.2 傅里叶级数,再根据公式计算傅里叶级数的系数（1）三角形式,（2）指数形式,4.3 周期信号的频谱,一、信号频谱的概念,周期信号 可以分解为不同频率的虚指数信号之和。,不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 不同，因此，通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的频域特性。,是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为频谱函数。,4.3 周期信号的频谱,|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。,An和n的关系，因为n0，称这种频谱为单边谱。,直接画出信号各次谐波对应的 线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。,幅度频谱,相位频谱,4.3 周期信号的
13、频谱,4.3 周期信号的频谱,例1：画出信号 的频谱图。,例2：已知连续周期信号的频谱如图，试写出傅里叶级数的信号表示式。,例3：周期信号试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，写出标准的 傅里叶级数形式，即,显然1是该信号的直流分量。,4.3 周期信号的频谱,的周期T1=8,的周期T2=6,所以f(t)的周期T=24，基波角频率=2/T=/12,4.3 周期信号的频谱,根据帕斯瓦尔等式，其功率为,是f(t)的/4/12=3次谐波分量；,是f(t)的/3/12=4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、
14、相位频谱图如图:,4.3 周期信号的频谱,二、周期矩形脉冲的频谱,例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,4.3 周期信号的频谱,n=0,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。,零点为,特点：(1)周期信号的频谱由间隔为的谱线组成。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,(c)如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小
15、。,4.3 周期信号的频谱,(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。,(b)一定，T越大，间隔越小，则谱线越密；反之，T越小，间隔越大，则谱线越疏。,周期信号的频带宽带（带宽）：在允许一定失真的条件下，信号可以用某段频率范围的信号表示，此频率范围称为信号带宽。一般把第一个零点作为信号带宽。,4.3 周期信号的频谱,信号的带宽与信号时域的持续时间 成反比，即 越大，B越小；越小，B越大。,物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号的绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成份，不会对信号产生明显影响。,4.3 周期信号的频谱,说明
16、：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。,三、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,4.3 周期信号的频谱,一、从傅里叶级数到傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 傅里叶变换,令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,根据傅里
17、叶级数,考虑到：T，无穷小，记为d；n（由离散量变为连续量），而,同时，,于是,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,4.4 傅里叶变换,也可简记为,如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率,则上述变换对可写为,4.4 傅里叶变换,F(j)的物理意义：（1）单位频率上信号所具有的频谱；（2）是连续谱；（3）F(jw)包含了从0到无限高频的所有频率分量，分量的频率不成谐波关系。,4.4 傅里叶变换,F(j)一般是复函数，可写为,f(t)的三角形式：,4.4 傅里叶变换,函数f(t)的傅里叶变换存
18、在的充分条件:,上式表明：（1）非周期信号可看作不同频率分量的余弦分量 组成；（2）频率从0到无穷大；（3）振幅为无穷小。,（绝对可积）,4.4 傅里叶变换,用下列关系还可方便计算一些积分,如果引入广义函数的概念，奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换。,4.4 傅里叶变换,例1：如图所示信号 的傅里叶变换记为，试求 和。,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t)=et(t)，0实数,2.偶对称双边指数函数f(t)=et,0,4.4 傅里叶变换,3.奇对称双边指数函数,4.4 傅里叶变换,4.门函数(矩形脉冲),5.冲激函数(t)、(t),
19、4.4 傅里叶变换,6.常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f(t)，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,4.4 傅里叶变换,构造 f(t)=e-t，0,所以,又,12(),4.4 傅里叶变换,时域无限宽，频域无限窄,另一种求法：(t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,4.4 傅里叶变换,7.符号函数,4.4 傅里叶变换,8.
20、阶跃函数(t),4.4 傅里叶变换,9.三角函数,归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),(t),e-t(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),4.4 傅里叶变换,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性性质,如果 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)那么,证明:F a f1(t)+b f2(t),a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j),例1：求右图所示信号的傅里叶变换。,解:f(t)=f1(t)g2(t),f1(t)=1 2(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),-,4.5 傅里叶变换
21、的性质,二、时移性质,如果 f(t)F(j)那么,证明:,4.5 傅里叶变换的性质,例2：F(j)=?,解:f1(t)=g6(t-5)f2(t)=g2(t-5),g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,4.5 傅里叶变换的性质,三、对称性质,若 f(t)F(j),证明:,（1）,把(1)式中 t，t 则,（2）,把(2)式中-则,F(j t)2f(),则 F(jt)2f(),4.5 傅里叶变换的性质,例3：求下列信号的傅里叶变换。,4.5 傅里叶变换的性质,例3：求下列信号的傅里叶变换。,(1),(2),(1),(3),(5),(3),(4),(6),四、频移性质,f(t)F(j),证
22、明:,解:,例4：（1）,4.5 傅里叶变换的性质,（2）,（3）,4.5 傅里叶变换的性质,应用：通信中调制与解调、频分复用等。,五、尺度变换性质,f(t)F(j),证明:,a 0时,a 0时,4.5 傅里叶变换的性质,所以,特殊情况：a=-1,f(-t)F(-j),4.5 傅里叶变换的性质,例5：已知 f(t)F(j),求 f(at b)?,思考：,例6：,解:,应用对称性,尺度变换性质 a=-1,所以,4.5 傅里叶变换的性质,六、卷积性质,时域卷积定理：,若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)则 f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),频域卷积定理：,若 f1(t)F1(j
23、)，f2(t)F2(j),则,4.5 傅里叶变换的性质,例7：求三角脉冲 的频谱函数。,4.5 傅里叶变换的性质,例8：,解:,利用对称性：,4.5 傅里叶变换的性质,例9：,解:,时域卷积：,4.5 傅里叶变换的性质,例10：求线性时不变系统的响应。,4.5 傅里叶变换的性质,将时域求响应转化为频域求响应。,例11：一个LTI系统的频率响应若输入信号，求该系统的输出。,4.8 LTI系统的频域分析,七、时域的微分和积分,若 f(t)F(j)则,4.5 傅里叶变换的性质,例12：,解:,4.5 傅里叶变换的性质,对称性：,时域微分：,例13：,已知 证明：,证明：,4.5 傅里叶变换的性质,所
24、以,4.5 傅里叶变换的性质,特殊情况:,且,若,例14：,求：,分析：,4.5 傅里叶变换的性质,解:,4.5 傅里叶变换的性质,八、频域的微分和积分,若 f(t)F(j)则,频域微分：,4.5 傅里叶变换的性质,频域积分：,例15：,解:,4.5 傅里叶变换的性质,注意:不能利用时域卷积性质计算。,例16：,求：,解:,4.5 傅里叶变换的性质,九、帕斯瓦尔关系,证明:,|F(j)|2 称为f(t)的能量谱密度，单位频率上的信号能量(能量密度谱）Js,4.5 傅里叶变换的性质,例17：,求信号 的能量。,解:,4.5 傅里叶变换的性质,例18：,十、奇偶性,1.是实函数,4.5 傅里叶变换
25、的性质,是的偶函数,是的奇函数,4.5 傅里叶变换的性质,结论：,（1）,（2）,2.是虚函数，,4.5 傅里叶变换的性质,是的奇函数,是的偶函数,傅里叶变换性质的补充例题,1.若，求,2.,3.,4.,5.,6.,傅里叶变换性质的补充例题,7.,8.,4.6 能量谱和功率谱,一、能量谱,称为f(t)的能量谱密度，单位频率上的信号能量(能量密度谱）Js,二、功率谱,称为f(t)的功率谱密度，单位频率上的信号功率 Ws,4.6 能量谱和功率谱,周期信号：,非周期信号：,周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？,4.7 周期信号傅里叶变换,一、正、余弦信号的傅里叶变换,4.7 周期信号傅里
26、叶变换,二、一般周期信号的傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,关键：计算,4.7 周期信号傅里叶变换,(1)的频谱由无穷多个冲激函数组成；,(2)只存在于 处；,(3)其强度正比于傅里叶级数系数，为 的 倍。,例1：求周期单位冲激函数 的傅里叶变换，并画出频谱图。,解：,4.7 周期信号傅里叶变换,例2：周期信号如图，求其傅里叶变换，并画出 其频谱图。,4.7 周期信号傅里叶变换,求解周期信号傅里叶级数的另一种方法。,4.7 周期信号傅里叶变换,三、傅里叶系数与傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,比较式(1)、(2)：,例3：将下图所示的周期的三角脉冲展开成
27、指数 型傅里叶级数，并求其频谱函数。,4.7 周期信号傅里叶变换,4.8 LTI系统的频域分析,连续时间系统的频率响应,连续信号通过系统的频域分析,无失真传输,理想低通滤波器,4.8 LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,周期信号：,非周期信号：,基本信号:,4.8 LTI系统的频域分析,LTI连续系统的时域模型：,一、基本信号 作用于LTI系统的响应,当激励是角频率的基本信号ejt时，其响应,4.8 LTI系统的频域分析,称为系统的频率响应，反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。,二、一般信号 作用于LTI系统的响应,齐次性,可加性,4.
28、8 LTI系统的频域分析,LTI连续系统的频域分析模型：,幅频特性偶函数,4.8 LTI系统的频域分析,相频特性奇函数,对周期信号还可用傅里叶级数法求响应：,周期信号,若,则可推导出,4.8 LTI系统的频域分析,例1：某LTI系统的 和 如图，若，求系统的响应。,解法一：用傅里叶变换,4.8 LTI系统的频域分析,解法二：用三角傅里叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)=2+4cos(t)+4cos(2t),H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0,y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t),4.8 LTI系统的频域分析,三、频率响应 的
29、求法,1.,2.,例2：某系统的微分方程为 求 时的响应。,4.8 LTI系统的频域分析,（1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。,（2）由电路直接求出。,例3：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。,解：画电路频域模型,4.8 LTI系统的频域分析,例4：一个LTI系统的频率响应 若输入信号，求该系统的输 出。,4.8 LTI系统的频域分析,如何保证信号经过系统不会失真？如何根据要求设计系统函数？什么系统函数是理想函数？如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的？,上面的处理提出几个问题,4.8 LTI系统的频域分析,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大
30、体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。,4.8 LTI系统的频域分析,即输入信号为，经过无失真传输后，输出信号 应为,4.8 LTI系统的频域分析,（2）无失真传输条件：,（a）对 的要求：,（b）对 的要求：,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,4.8 LTI系统的频域分析,例5：系统的幅频特性|
31、H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，分析下列信号通过该系统 时，是否会产生失真。,(a)f(t)=cos(t)+cos(8t)(b)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(c)f(t)=sin(2t)sin(4t)(d)f(t)=cos2(4t),4.8 LTI系统的频域分析,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。,4.8 LTI系统的频域分析,理想低通滤波器的频率响应可写为：,（1）冲激响应,可见，它实际上是不可实现的非因果系统。,4.8 LTI系统的频域分析,（1）冲激响应,（2）阶跃响应,推导，可得,称为正弦积分,特点：有明显失
32、真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。,4.8 LTI系统的频域分析,3、物理可实现系统的条件,时域条件：,并且,称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,4.8 LTI系统的频域分析,频域条件：佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现系统的幅频特性必须满足,4.9 取样定理,取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续
33、信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。,4.9 取样定理,取样模型,周期的矩形脉冲信号,曲顶取样,冲激取样（理想取样）,4.9 取样定理,周期的冲激信号,=,*,=,当,频谱不发生混叠，可以利用低通滤波器，从 中取出，即从 中恢复原信号，否则将发生混叠，而无法恢复原信号。,4.9 取样定理,二、时域取样定理,当 时，将取样信号通过低通滤波器,截止角频率 取 即可恢复原信号。,为方便，选,则,4.9 取样定理,只要已知各取样值，就能唯一地确定出原信号。,4.9 取样定理,一个频谱在区间 以外为0的带限信号，可唯一地由其在均匀间隔 上的样值点 确定。,注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）必须是带限信号；（2）取样频率不能太低，必须，或者说，取样间隔不能太大，必须，否则将发生混叠。,4.9 取样定理,时域取样定理：,把最低允许的取样频率 称为奈奎斯特（Nyquist)频率，最大允许的取样间隔 称为奈奎斯特间隔。,4.9 取样定理,例1：有限频带信号 的最高频率为100Hz，若对 下列信号进行时域取样，求最小取样频率。,例2：，求最大的取样间隔。,
