第四章傅里叶变换和系统的频域分析ppt课件.ppt

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1、Chapter 4,傅里叶变换和系统的频域分析,Fourier Transform and Frequency-Domain Analysis of Systems,page2,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,第二、三章中分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析法。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。,page3,本章主要讨论连续信号的傅里叶变换和连续系统的频域分析法。,所谓傅里叶变换（含正变换和逆变换），其目的是以正弦函数或虚指数函数 为基本信号，将任意连续时间信号表示为一

2、系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。,page4,接下来我们可证明，连续LTI系统对虚指数函数 的响应仍是同频率的虚指数函数，只是乘上了一个与 有关的复常数。,输出,输入,page5,时域分析法,频域分析法,卷积 乘积,page6,频域分析法的优点：,1.将卷积运算转换为乘积运算，使运算简化。,2.物理意义更明确。【不存在，正余弦函数常见】,3.将反卷积运算转换为除法运算。,page7,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,$4.1 信号分解为正交函数（正交函数集的定义 信号分解公式）,$4.2 傅里叶级数（三角函数形式 奇/偶函数的级数特点 指数形式

3、）,page8,4.1 信号分解为正交函数,4.1 信号分解为正交函数,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,为 轴和 轴的单位矢量,组成一个二维正交矢量集。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,page9,4.1 信号分解为正交函数,一.正交函数集,1.正交函数,在 区间上定义的非零实函数 和,若满足条件，则称函数 和 为在区间 的正交函数。,page10,4.1 信号分解为正交函数,3.完备正交函数集,如果在正交函数集 之外不存在函数 满足等式，则称该函数集为完备正交函

4、数集。,page11,4.1 信号分解为正交函数,*,*,对任意的 和,注意：正弦函数集 是正交函数集，但不是完备正交函数集。,page12,4.1 信号分解为正交函数,例：复函数集 在区间 组成完备正交函数集。其中，。,原因：,*,式(a),（自己下去验证）,page13,4.1 信号分解为正交函数,显然，应选取各系数 使实际函数与近似函数在区间 内的误差为最小。为防止正负误差相互抵消的情况，通常采用最小均方误差准则。其中的均方误差定义为：,在 中，为求得，必须使。即：,式(b),page14,4.1 信号分解为正交函数,page15,4.1 信号分解为正交函数,可推得：,交换微分与积分次序

5、，可得：,page16,【】,4.1 信号分解为正交函数,展开前面的式(b)，可得：,由于,得：,page17,4.1 信号分解为正交函数,由于，显然当所取的项数 越大时，均方误差 越小。（越大，越接近于）,page18,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,本节的任务是将周期信号 在区间 展开成在完备正交函数集中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。,page19,4.2 傅里叶级数,一.周期信号的分解（结果为三角函数的形式）,设有一个周期信号,它的周期是,角频率,它可

6、分解为:（前提：满足狄里赫利条件）,其中 称为傅里叶系数。,教材P120,page20,4.2 傅里叶级数,傅里叶系数 可按$4.1中的相关公式计算：,page21,4.2 傅里叶级数,因此，在最终展开式中的常数项为。,page22,4.2 傅里叶级数,由于 和 是同频率项，可进行合并。,式中：,page23,4.2 傅里叶级数,总结：任何满足狄里赫利条件 的周期函数可分解为直流和许多余弦（正弦）分量。其中第一项 是常数项，它是周期信号所包含的直流分量；式中第二项 称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三项 称为二次谐波；以此类推，还有三次、四次、谐波。

7、一般而言，其中的 称为 次谐波。总之，周期信号可分解为各次谐波分量。,page24,4.2 傅里叶级数,例4.2-1 将如图所示的方波信号 展开为傅里叶级数。,解：,page25,4.2 傅里叶级数,page26,4.2 傅里叶级数,page27,4.2 傅里叶级数,下面考察当用有限项级数逼近 时引起的误差：,当取一、三次谐波时：,当取一、三、五次谐波时：,当取一、三、五、七次谐波时：,当只取基波时：,【】,page28,4.2 傅里叶级数,T,T/2,0,t,(a)基波,0,T/2,T,t,(b)基波+三次谐波,0,T/2,T,t,(c)基波+三次谐波+五次谐波,0,T/2,T,t,(d)基

8、波+三次+五次+七次谐波,page29,4.2 傅里叶级数,(2)级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有约 的偏差。但在均方（整体）的意义上，合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）,page30,4.2 傅里叶级数,二.奇、偶函数的傅里叶级数,若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使得计算较为简便。,page31,4.2 傅里叶级数,2.为奇函数,即有：,波形对称于原点。,page32,4.2 傅里叶级数,注意：任意信号都可以分为奇函数和偶函数两部分。,其中：,式(a),式(b),page33,任意周期信号可以分

9、为奇函数和偶函数两部分，是否会简化傅里叶级数系数的计算？,思 考：,4.2 傅里叶级数,page34,4.2 傅里叶级数,3.为奇谐函数,如果函数 的前半周期波形移动 后，与后半周期波形相对于横轴对称，即：，则称该函数为奇谐函数。,此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即：,例：,page35,4.2 傅里叶级数,证：,【】,令，可得：,page36,4.2 傅里叶级数,【令】,page37,4.2 傅里叶级数,例4.2-2 正弦交流信号 经全波或半波整流后的波形如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。,(a)全波整流信号,(b)半波整流信号,解：(1)全波整流信号,

10、page38,4.2 傅里叶级数,为偶函数，。,令，可得：,方法一,page39,4.2 傅里叶级数,page40,4.2 傅里叶级数,注意：同样可看成是周期为 的周期函数。,此时，对应的基波角频率为。,方法二,仍为偶函数，。,page41,4.2 傅里叶级数,令，可得：,【】,【】,page42,4.2 傅里叶级数,令，可得：,【】,【】,page43,4.2 傅里叶级数,(2)半波整流信号,方法一,page44,4.2 傅里叶级数,page45,4.2 傅里叶级数,令,【】,page46,4.2 傅里叶级数,对于半波整流信号，也可分解为奇函数与偶函数两部分进行求解。,方法二,page47,

11、4.2 傅里叶级数,page48,4.2 傅里叶级数,三.傅里叶级数的指数形式,设，对上式中第三项进行变量替换：,【三角形式】,page49,4.2 傅里叶级数,利用，可得：,page50,4.2 傅里叶级数,令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。可得指数形式的傅里叶级数为：,*,*,其中的傅里叶系数为：,【教材P127式（4.2-18）中多 了一个1/2】,page51,4.2 傅里叶级数,讨论：与 的关系。,page52,4.2 傅里叶级数,例4.2-3 周期锯齿波的信号如图所示，求其指数形式的傅里叶级数展开式。,解：,page53,4.2 傅里叶级数,当 时，有：,【】,分部积分

12、法：,page54,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱,一.周期信号的频谱,单边谱：,page55,4.3 周期信号的频谱,(a)单边幅度谱,(b)单边相位谱,page56,4.3 周期信号的频谱,双边谱：,page57,4.3 周期信号的频谱,(a)双边幅度谱,(b)双边相位谱,page58,4.3 周期信号的频谱,周期信号频谱的共同点：,第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。,第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有 的各次谐波分量，而决不含有非 整数倍的谐波分量。,第三为收敛性，各次

13、谐波分量的振幅虽然随 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着 的增大而逐渐减小。当 时，。,page59,4.3 周期信号的频谱,二.周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期性矩形脉冲，其周期为，求其复傅里叶级数。,解：,page60,4.3 周期信号的频谱,定义：,取样函数,(2)是偶函数。,(3)总体呈衰减趋势。,(4)是 的零点。,page61,4.3 周期信号的频谱,周期性矩形脉冲指数形式的傅里叶级数展开式为：,page62,4.3 周期信号的频谱,几个重要指标：,1.相邻谱线的间隔：,3.第一个零点的位置：,2.谱线零点的位置：,page63,4.3 周期信号的频谱,周期性

14、矩形脉冲频谱的特点：,1.离散性。,2.谐波性。且当 时，谱线越稠密。,4.谱线的幅度按包络线 的规律变化。当 时，相应的频谱分量等于零。,3.收敛性。能量主要集中在低频频率处。,page64,4.3 周期信号的频谱,，谱线越稠密（间隔：）；非周期信号演变为连续谱。,page65,4.3 周期信号的频谱,，零点位置越远，带宽越宽（）。,page66,4.3 周期信号的频谱,三.周期信号的功率（从频域计算）,周期信号是功率信号，归一化平均功率为：,以上为时域表达式，其频域表达式为：,page67,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱,page68,4.3 周期信号的频谱,*,page6

15、9,4.3 周期信号的频谱,例4.3-1 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。,解：,根据第二部分的计算结果，有：,page70,4.3 周期信号的频谱,第一个零点对应的频率为：,【】,【】,page71,4.4 非周期信号的频谱,4.4 非周期信号的频谱,前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而频谱密集成为连续谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，但这些无穷小量仍保持一定比例关系。（例：与）,一.傅里叶变换,page72,4.4 非周期信号的频谱,page73,4.4 非周期信号的频谱,术语：,式(b)为非周期函数 的傅里叶变换。

16、,式(a)为频谱密度函数 的傅里叶逆变换。,为 的频谱密度函数(频谱函数)。,为 的原函数。,记号：,*,page74,4.4 非周期信号的频谱,奇偶性：（前提：为实函数）,的偶函数,的奇函数,的偶函数,的奇函数,page75,4.4 非周期信号的频谱,傅里叶逆变换式的物理意义：,page76,4.4 非周期信号的频谱,上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。,page77,4.4 非周期信号的频谱,傅里叶变换的存在条件：,需要说明，前面在推导傅里叶变换式的过程中并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数 的傅里叶变换存在的充分

17、条件是在无限区间内绝对可积，即：。但注意该条件并非必要条件。当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积分条件的函数（例：）也能进行傅里叶变换。这给信号与系统的分析带来了很大的方便。,page78,4.4 非周期信号的频谱,例4.4-1 如图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为，高度为1。求其频谱函数。,page79,4.4 非周期信号的频谱,*,2.门函数的带宽定义为。,page80,4.4 非周期信号的频谱,例4.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数()。,解：,page81,4.4 非周期信号的频谱,例4.4-3 求下图所示的双边指数函数的频谱函数()。,解：,pag

18、e82,4.4 非周期信号的频谱,例4.4-4 求下图所示信号的频谱函数()。,解：,page83,4.4 非周期信号的频谱,二.某些特殊函数的傅里叶变换（等）,1.冲激函数的频谱,page84,4.4 非周期信号的频谱,2.冲激函数导数的频谱,page85,4.4 非周期信号的频谱,3.单位直流信号的频谱,幅度等于1的直流信号可表示为：,显然，该信号并不满足绝对可积条件。,page86,4.4 非周期信号的频谱,当 时，有：,*,【分子分母 同除以】,【】,思考：,与哪个函数的特点相同？,page87,4.4 非周期信号的频谱,4.符号函数的频谱,符号函数定义为：,显然，该信号并不满足绝对可

19、积条件。,page88,4.4 非周期信号的频谱,当 时，有：,page89,4.4 非周期信号的频谱,5.阶跃函数的频谱,阶跃函数定义为：不满足绝对可积。,page90,4.4 非周期信号的频谱,总结：,附录四列出常用函数的傅里叶变换。（教材P414）,page91,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,本节将研究在某一域中对函数进行某种运算（如：尺度变换、平移等），在另一域中所引起的效应。,page92,4.5 傅里叶变换的性质,一.线性性质,若，则：,证明过程略。,page93,4.5 傅里叶变换的性质,二.奇偶性【部分内容前面已讨论】,本性质研究实时间函数与其频谱的奇、偶

20、、虚、实关系。,page94,4.5 傅里叶变换的性质,若 是实时间函数，则频谱函数 的实部 是 的偶函数，是 的奇函数，是 的偶函数，是 的奇函数。,page95,4.5 傅里叶变换的性质,4.的傅里叶变换,令 得，,*,若 是实函数，则 是 的偶函数，是 的奇函数。,page96,4.5 傅里叶变换的性质,总结一,若 是实函数，且设,则有：(1),(2),page97,4.5 傅里叶变换的性质,(1),(2),总结二,若 是虚函数，则有：（自己下去证明）,如,则,虚奇 实奇,(3)如，则,偶函数,奇函数,page98,4.5 傅里叶变换的性质,三.对称性,若，则有：。,*,将 换为，得：,

21、将 和 互换，得：,证：,即：,page99,4.5 傅里叶变换的性质,例如：,令，得：,解：已知。,例4.5-1 求取样函数 的频谱函数。,page100,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-2 求函数 和 的频谱函数。,解：已知,已知,【为 奇函数】,page101,4.5 傅里叶变换的性质,四.尺度变换,例：,page102,4.5 傅里叶变换的性质,时域压缩频域扩展,时域扩展频域压缩,例：,page103,4.5 傅里叶变换的性质,令，则。,当 时，有：,当 时，有：,特例：,证：,page104,4.5 傅里叶变换的性质,五.时移特性,思考：,证：,*,page105,4.5 傅里叶

22、变换的性质,例4.5-3 已知图(a)的函数是宽度为2的门函数，即：，其傅里叶变换。求图(b)和(c)中函数 和 的傅里叶变换。,(a),(b),(c),page106,4.5 傅里叶变换的性质,解：(1),(2),page107,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-4 如图所示，有5个相同的脉冲，其相邻间隔 为，求其频谱函数。,解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为，其 频谱为，则图中的信号可表示为：,显然有：,page108,4.5 傅里叶变换的性质,根据等比数列求和公式（教材P100），有：,对上式进行化简，可得：,page109,4.5 傅里叶变换的性质,显然，当 时，有：,另外，当(为

23、整数，但不为5的倍数)时，有：,【】,即：在 处，是 的5倍。这是由于在这些频率点处，5个单个脉冲的各频率分量同向。,【令】,page110,4.5 傅里叶变换的性质,(为整数，但不为5的倍数),信号的能量将向 处集中，其它频率处幅度减小，甚至为零（如：、等处）。,page111,4.5 傅里叶变换的性质,推广到一般情况（脉冲个数为，且为奇数），有：,(为整数，但不为N的倍数),page112,4.5 傅里叶变换的性质,六.频移特性（调制特性）,证：,page113,4.5 傅里叶变换的性质,例：求解正、余弦函数的傅里叶变换。,根据频移性质，可得：,根据欧拉公式，可得：,page114,(b)

24、正弦脉冲及其频谱,(a)余弦脉冲及其频谱,4.5 傅里叶变换的性质,page115,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-5 如已知信号 的傅里叶变换为，求信号 的傅里叶变换。,解：,频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅，同步解调等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：,page116,调幅波（补充）,电磁波的传播,导线,空气 例：无线电广播、电视塔、微波通信等。,例：语音信号频率,4.5 傅里叶变换的性质,page117,将要发射的低频信号搭载到高频信号（称为载波）上，然后通过天线发射出去的过程。所发射的信号称为已调信号。（类比：人乘坐交通工具）,调制：,4.5 傅里叶变换

25、的性质,调幅：,已调信号的幅度随着调制信号幅度的变化而成正比例地变化。,page118,4.5 傅里叶变换的性质,调制信号：,载波信号：,已调信号：,从时域上看，已调信号的幅度随着调制信号幅度的变化而变化。,若，则：,调制过程,page119,4.5 傅里叶变换的性质,调制过程,page120,4.5 傅里叶变换的性质,载波信号：,解调后输出：,已调信号：,滤波后输出：,解调过程,page121,4.5 傅里叶变换的性质,解调过程,page122,4.5 傅里叶变换的性质,七.卷积定理,page123,4.5 傅里叶变换的性质,证：根据卷积积分的定义，有：,【交换积分次序】,【时移特性】,频域

26、卷积定理的证明过程类似，略。,page124,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-6 求三角形脉冲,的频谱函数。,page125,4.5 傅里叶变换的性质,page126,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-7 求斜升函数 和函数 的频谱函数。,解：已知,且有,【是 奇函数】,【卷积的 微积分 性质】,page127,4.5 傅里叶变换的性质,八.时域微分和积分,设,page128,4.5 傅里叶变换的性质,证：时域微分定理可证明如下：,时域积分定理可证明如下：,这两个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导(或积分)，求出其导数(或积分)的傅里叶变换,再利用积分(或导数)

27、性质求出所求信号的频谱。,page129,4.5 傅里叶变换的性质,什么时候应用时域微积分性质？,page130,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-8 求三角形脉冲,的频谱函数。,解：,page131,4.5 傅里叶变换的性质,设，则有：,【】,page132,4.5 傅里叶变换的性质,利用积分性质，可得：,【】,page133,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-9 求门函数 的积分,的频谱函数。,解：,page134,4.5 傅里叶变换的性质,利用时域积分性质时应注意的条件：,当欲求某函数 的傅里叶变换时，常可根据其导数 的傅里叶变换，利用积分特性求得。,page135,4.5 傅里叶变

28、换的性质,例4.5-10 求图(a)、(b)所示信号的傅里叶变换。,解：图(a)所示的函数可写为：,(a),(b),【】,page136,4.5 傅里叶变换的性质,图(b)所示的函数可写为：,(a),(b),【】,page137,4.5 傅里叶变换的性质,九.频域微分和积分,设,频域微分定理：,频域积分定理：,page138,4.5 傅里叶变换的性质,证：频域微分定理可证明如下：,即：。,page139,4.5 傅里叶变换的性质,频域积分定理可证明如下：,page140,4.5 傅里叶变换的性质,什么时候应用频域微积分性质？（第一种情况）,微分性质：,当直接计算 的傅里叶逆变换繁琐，而其积分

29、的傅里叶逆变换易计算时，可应用微分性质。,page141,4.5 傅里叶变换的性质,利用频域积分性质时应注意的条件：,当欲求 的逆傅里叶变换时，常可根据其导数 的逆变换，利用积分特性求得。,page142,4.5 傅里叶变换的性质,什么时候应用频域微积分性质？(第二种情况，更常用),微分性质：,当已知，可计算出：,page143,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-11 求斜升函数 的傅里叶变换。,解：单位阶跃信号及其频谱函数为,page144,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-12 求函数 的傅里叶变换。,解：令,page145,4.5 傅里叶变换的性质,利用傅里叶（逆）变换求解类似 或,

30、或：,page146,4.5 傅里叶变换的性质,例4.5-13 求。,解：解题思路是将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已 知的函数在某点处的函数值。即：,page147,4.5 傅里叶变换的性质,page148,4.5 傅里叶变换的性质,十.相关定理,相关定理研究的是两个实信号相关函数的傅里叶变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。,若：,则：,证：根据第二章中的结论，有：,同理，可证明。,page149,4.5 傅里叶变换的性质,以上两个式子表明，两个信号互相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一个信号傅里叶变换的共轭之乘积。,page150,4.6 能量谱和功率谱,4.6 能量谱和功

31、率谱,前面研究的频谱是在频域中描述信号特征的方法之一。它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。此外，还可以用能量谱或功率谱来描述信号。特别是对于随机信号，由于无法用确定的时间函数来表示，也就不能用频谱表示。这时，往往用功率谱来描述它的频域特性。,page151,4.6 能量谱和功率谱,接下来研究实信号能量 和频谱函数 间的关系。,【交换积分次序】,帕斯瓦尔方程,page152,4.6 能量谱和功率谱,也可以从频域的角度来研究信号能量。为表征能量在频域中的分布情况，可借助密度的概念，定义能量密度函数，简称为能量谱。,能量谱：单位频率的信号能量（能量密度）。,*,page153,4.6

32、能量谱和功率谱,二.功率谱,信号（平均）功率：,若，则称信号为功率有限信号。,功率有限信号的能量。,为计算傅里叶变换，截取 中 的一段。设：,【实信号】,page154,4.6 能量谱和功率谱,的能量 可表示为：,功率谱：单位频率的平均功率。,【】,page155,(1)功率谱是 的偶函数，且只取决于幅度谱。,(2)功率谱反映了信号平均功率在频域的分布情况。,(3)。,【注意能量/功率信号之分】,4.6 能量谱和功率谱,特点：,page156,例4.6-1 如图所示RC低通电路，已知输入端电压,输出为电容两端电压。求：,(1)的自相关函数 和功率谱。,(2)输出 的功率谱，自相关函数 和 平均

33、功率。,4.6 能量谱和功率谱,page157,4.6 能量谱和功率谱,思路：【注意 是功率信号】,(1),page158,解：(1),4.6 能量谱和功率谱,【为奇函数】,page159,(2),4.6 能量谱和功率谱,page160,4.6 能量谱和功率谱,page161,4.7 周期信号的傅里叶变换,4.7 周期信号的傅里叶变换,在前面讨论周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换基础上，本节将讨论周期信号的傅里叶变换，以及傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。这样，就能把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换的应用范围更加广泛。,一.周期函数傅里叶变换的求解方法,二.傅里叶

34、级数与傅里叶变换的关系,主要内容：,page162,4.7 周期信号的傅里叶变换,一.周期函数傅里叶变换的求解方法,方法一：,设有周期为 的周期函数,*,page163,4.7 周期信号的傅里叶变换,*,含义：,上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率 处，其强度为各相应幅度 的 倍。,例4.7-1 求周期性矩形脉冲信号 的频谱函数。,解：,page164,4.7 周期信号的傅里叶变换,傅里叶级数,傅里叶变换,page165,4.7 周期信号的傅里叶变换,例4.7-2 求周期性单位冲激函数序列 的频谱函数。,*,page166,

35、4.7 周期信号的傅里叶变换,方法二：,从周期信号 中任意截取其中一个周期的信号，令其为。则有：,*,根据时域卷积定理，有：,page167,4.7 周期信号的傅里叶变换,例4.7-3 求例4.7-1中周期脉冲 的频谱函数。,当 取 的不同周期时，对 的计算结果有无影响？,思考：,没有影响。,解：,page168,4.7 周期信号的傅里叶变换,二.傅里叶系数与傅里叶变换的关系,方法1：,方法2：,page169,4.7 周期信号的傅里叶变换,例4.7-4 求如图所示的周期信号指数型傅里叶级数的系数。,page170,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,前面讨论了信号的傅

36、里叶分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系。,在此基础上，再讨论任意信号作用于系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法，并引出频域中反映系统特性的函数 频率响应。,page171,4.8 LTI系统的频域分析,1.虚指数函数作用于系统所引起的响应,设，系统的冲激响应为。,page172,4.8 LTI系统的频域分析,2.当输入为任意信号时的响应,当激励为任意信号 时，由傅里叶逆变换式可得：,根据线性性质，可得：,page173,4.8 LTI系统的频域分析,3.频率响应的定义,频率响应（频率响应函数，系数函数）定义为系统零状态响应的傅里叶变换 与激励的傅里叶变换 之比，即：,page1

37、74,4.8 LTI系统的频域分析,系统特性的表征,系 统,微分方程,框图,冲激响应,频率响应,page175,例4.8-1 某LTI系统的幅频响应 和相频响应 如下图所示。若系统的激励，求系统的响应。,4.8 LTI系统的频域分析,4.频域分析法,时域分析法：,频域分析法：,page176,4.8 LTI系统的频域分析,傅里叶系数,page177,4.8 LTI系统的频域分析,取 的傅里叶变换，可得：,方法二,page178,4.8 LTI系统的频域分析,结果分析：,page179,4.8 LTI系统的频域分析,例4.8-2 描述某系统的微分方程为,求输入 时系统的零状态响应。,解：对方程取

38、傅里叶变换，得：,page180,4.8 LTI系统的频域分析,例4.8-3 如图所示的 电路，若激励电压源 为 单位阶跃函数，求电容电压 的零状态响应。,解：,【令】,【分子、分母 同乘】,page181,4.8 LTI系统的频域分析,page182,例4.8-4 如图所示的系统，已知乘法器的输入信号分别,为，乘积通过频率响应为,4.8 LTI系统的频域分析,的滤波器，求输出。,解：,page183,4.8 LTI系统的频域分析,利用傅里叶变换的对称性，可得：,又有：,page184,4.8 LTI系统的频域分析,可转换为：,page185,4.8 LTI系统的频域分析,二.无失真传输,所谓

39、无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度上以及出现时间上的先后不同，而没有波形上的变化。,page186,4.8 LTI系统的频域分析,结论：,幅频响应为常数（理想情况）,相频响应为一条过原点的直线,实际：多为低通/高通/带通/带阻等；幅频响应有波纹。,page187,4.8 LTI系统的频域分析,三.理想低通滤波器,page188,4.8 LTI系统的频域分析,1.冲激响应,令 并同除以，可得：,【对称性】,page189,4.8 LTI系统的频域分析,2.阶跃响应,page190,4.8 LTI系统的频域分析,以下讨论：,(1)信号上升时间,(2)吉布斯现象,(3)最大值,(4)因果性,pa

40、ge191,4.8 LTI系统的频域分析,由上图可见，在 处阶跃响应上升最快【此时的导数值最大】，若定义上升时间 为 在 处斜率的倒数，则上升时间 为：,【设 表示滤波器带宽】,当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近（如：用 的不同频率成分逼近）原信号时，若原信号有间断点，则在各间断点处，恢复信号将出现过冲，称为吉布斯现象。,page192,4.8 LTI系统的频域分析,(3),【此时有：】,page193,要求：幅频特性不能在有限频带内为零。,4.8 LTI系统的频域分析,判断系统是否物理可实现的依据：,时域:,频域:,佩利-维纳准则,且,【否则有：】,反例,page194,4.9 取样定理,4.

41、9 取样定理,取样定理论述了在一定的条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。这就给连续信号的数字化传输和处理提供了理论依据。,下面我们就从信号的取样出发，讨论信号取样后时域和频域的变化，从而分析出为了能从取样后的信号恢复原来的信号所应满足的条件；在恢复原信号的过程中，时域和频域又分别发生了什么变化，分析恢复原信号的实质，从而引出取样定理的内容。,page195,4.9 取样定理,一.信号的取样,所谓“取样”就是利用周期性脉冲序列 从连续信号 中“抽取”一系列离散样本值的过程。由此得到的

42、离散信号称为取样信号。,page196,4.9 取样定理,1.冲激取样(限定：是带限信号),(1)理论分析,由此可见，连续信号在时域进行抽样，在频域频谱会以 为周期在频率轴上周期延拓，只是幅度缩小为。,page197,4.9 取样定理,(2)图示,要求：或,page198,4.9 取样定理,2.矩形脉冲取样(限定：是带限信号),(1)理论分析,page199,4.9 取样定理,(2)图示,要求：或,page200,4.9 取样定理,二.时域取样定理,以冲激取样为例，介绍如何从取样信号恢复出原信号。,1.图示,page201,4.9 取样定理,2.理论分析,令，可得：,利用傅里叶变换的对称性，可

43、得：,为简化起见，令，可得：,【】,page202,4.9 取样定理,再由，可得：,page203,4.9 取样定理,上式表明，连续信号 可以展开成正交取样函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值。当取样周期/频率确定后，即确定下来。若各抽样时刻的取样值 已知，则 可恢复出来。因此，只要已知各取样值，就可唯一地恢复出原信号。,page204,4.9 取样定理,3.时域取样定理,一个频谱在区间 以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 上的样点值 确定。,page205,2倍的最高信号频率只是理论上的采样频率下限值。在实际工程应用中需要设为5-6倍甚至更高。,4.9 取样定理,注意：,原因：

44、,无论是冲激取样还是矩形脉冲取样在实际 应用中都是无法完全实现的。（冲激函数 无法实现；矩形脉冲必须全时域有效；无 法实现完全陡直的矩形脉冲）,(2)很多实际信号只是近似的带宽有限信号。,(3)理想的低通滤波器物理不可实现。,page206,一个频谱在区间 以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 上的样点值 确定。,4.9 取样定理,三.频域取样定理,根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。,时域取样定理,:时间受限,时域采样值,频域采样值,page207,4.9 取样定理,1.理论分析,频域取样“角频率”,频域取样“频率”,频域取样“周期”,信号在频域进行抽样，在时域会以 为周期

45、在时间轴上周期延拓。,page208,4.9 取样定理,2.图示,要求：或,page209,4.9 取样定理,page210,本章要求,掌握周期信号两种形式（三角形式和指数形式）傅 里叶级数的计算方法及其物理含义；,本章要求,2.掌握计算奇、偶函数傅里叶级数时的简化技巧；,3.掌握利用定义计算傅里叶变换的方法；,4.熟练掌握利用各种性质（线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移、频移、卷积定理、时域微积分、频域微积分等）简化傅里叶变换的计算；,page211,本章要求,5.掌握周期信号傅里叶变换的两种计算方法（利用傅里叶级数或利用单个周期信号的傅里叶变换）；,6.掌握利用傅里叶（逆）变换求解类似 或；,7.熟练掌握系统频率响应函数的求解（通过微分方程转化、直接根据电路关系求解等）及系统的频域分析；,8.理解无失真传输的频率响应条件；,9.理解时域取样定理的实质，熟练掌握奈奎斯特采样频率的计算。,