《四维数据的图形表示毕业论文192328687.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四维数据的图形表示毕业论文192328687.doc（41页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、数学与应用数学本科生毕业论文四维数据的图形表示所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称四维数据的图形表示学 院 数理学院专业班级数学与应用数学系092班姓 名学 号毕业设计(论文)的主要容与要求：（1） 掌握四维散乱数据的概念，即什么是四维散乱数据。（2）了解四维散乱数据在各方面的应用背景。（3）查阅资料怎样给出散乱数据求出等值点，并且知道多种插值方法，学会编程实现等值面。（4）通过比较这些插值方法，了解这些插值方法的优点并发现每种方法的不足，最后改进使自己的方法得以优化，获取更好的效果。（5）最后得出研究结论，并且对该论文加以深化，进行引申，了解实
2、际应用的方法与实现。（6）整理相关资料，完成毕业论文的写作。（7）对论文进行全面修改、完善，准备论文答辩。 指导教师签字：装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文摘 要本论文从工程实际中引出, 由四变量离散数据图示等值曲面的问题, 提出了构造等值曲面的四维离散数据图形表示的几何生成方法, 在用计算机实现此生成方法的过程中, 从理论上延续了Lorenson 和Cline 于1987 年提出的Marching Cubes( MC) 算法的思想，该算法适用于数据场密度较高的体数据，下面利用MC算法的一些思想，再利用散乱数据拟合的模型，方法和理论得到所需的等值面。该方法可以有效地应用干计算机
3、绘图和医学，地理学，气象学，热学等实际应用。本文先对给定区域进行六面体剖分，构造四维散乱数据节点，然后利用线性插值求出四维离散数据的等值点,如果等值点比较稀疏，则必须进行等值点加密处理。否则，再通过Kriging插值，Shepherd插值，Multi-Quadric等方法实现等值曲面的插值拟合，其中Kriging插值关键是选择较为合适的变差函数模型，例如球面，指数，高斯模型。最后通过评价方法比较各方法的优越性，得出所给问题的最佳求解模型，特别对于较密集的散乱数据效果最好。对于先任意给出散乱数据的情况，则必须进行预处理，最后按照如上方法即可。关键词：四维数据；等值点；等值面；Kriging插值；
4、Shepherd插值；Multi-Quadric插值装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文AbstractThis paper was extracted from engineering fact, according to the four variables Scattered Data graphic isosurface and some other questions, point out the way to construct isosurfaces four-dimentional scattered data graphic which express the
5、geometry generation method, in the process to use computer to achieve the way of generation, followed on the idea which was mentioned by Lorenson and Cline in 1987 the MC algorithm in theory, this algorithm apply to the volume data with high data field density. The following are using the idea of MC
6、 algorithm and the models, methods and theories which fitting with scattered data to get the isosurface which is needed. This method can effectively applied to the computer graphics, medicine, geography, meteorology ,thermal and some other practical application. This paper firstly give the Hexahedra
7、l Split of the given area, construct the four-dimentional scattered data node, then using the Linear interpolation to find the equivalent point of the scattered data.If the equivalent point are quite sparse,we must deal with Encryption processing for them.Otherwise, then though the Kriging interpola
8、tion，Shepherd interpolation and Multi-Quadric and some other ways to achieve the fitting of isosurface, the key of Kriging interpolationis to choose the suitable Variogram model, such as Spherical, exponential, Gaussian model. In the end, though judging the superiority of all the methods to find out
9、 the best solving model, the effect is best especially for the intensive scattered data.For the case of giving random scattered data in advance,we should be take preprocessing and adapt the above methods. Keywords: Four-dimensional data;equivalent points; isosurface; Kriging interpolation; Shepherd
10、interpolation装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文目 录摘 要iAbstractii目 录iii1 绪论12 六面体网格划分32.1 “四维数据的图形表示”涵32.2 “六面体网格划分”的原理与意义32.2.1 MC算法的思想与引出32.3“六面体网格划分”的方法32.3.1 构造四维散乱数据32.4 对于任意给定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法32.4.1 “六面体网格划分”之后的节点预处理43 搜索和遍历算法54 散乱等值点的获取64.1等值点的判定64.2 等值点的求解65 空间散乱数据的曲面拟合的模型、方法和实现85.1Kringing方法的背景(全体方法
11、）85.1.1.Kringing方法的理论基础85.1.2.从实验变差函数中找出理论变异函数与其参数105.1.3.Kringing方法115.2 Shepard方法(局部方法)125.3 Multi-Quadric插值方法(属于径向基函数)135.4参数双三次样条曲面135.4.1曲面模型135.4.2曲面造型的要求145.4.3曲面造型方法与显示145.4.4双三次样条曲线函数145.4.5参数双三次样条曲面156 四维散乱数据图形表示的算例197 方法的比较与评价248 引申26结 论34致 37附件1装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文1 绪论 在科学研究和工程应用中,
12、通过测试或其它方法获得的离散数据, 经常是四个变量的数据。例如医学数据、地震数据、气象数据、热流场等大部分都都是四维与以上的数据、由科学计算或实验得到的某一零、部件表面与部的四维数据, 要求分析其应力场分布情况、人体部组织的各种性能状态分析、零件表面与部温度场分析等等, 都可以归纳为四维离散变量的处理问题。为了揭示这些离散数据所蕴含的规律性,有必要进行离散数据处理，通过图形表示是获取有用信息的最好方法。通常使用的概率统计方法直观性较差, 而通过三维空问图示四维离散数据的关系可以克服这个缺点, 它能十分方便地考察出所研究问题的变化规律。对给定的四维数据，前三维是空间坐标，第四维是有用的信息，比如
13、为压力，温度，密度等，要求在空间绘制出等值曲面，如等温曲面，等压曲面等，从其很有实用价值，如医学上肿瘤边界的数据灰度是一样的，这样就可以构造出肿瘤的形状了，前提是要有计算机图形学和曲面造型的相关知识。为了获取区域性的相对完整的四维散乱数据，需要应用空间数据差值、拟合方法。例如，在石油勘探周中，经常把地层的地质渗透率作为研究对象，从而可以判别诸如某地层是否可能蕴含石油等问题。也希望不仅采集油井附近的石油，在三级采油中，人们利用一些井灌水另一些井抽油的方法把石油赶出来。要分析地层中石油与水的流动过程就必须研究底层的地质渗透率，从而决定如何灌水与抽油的方案，渗透率这个对象可以用三元变量的函数表示，实
14、际问题过打井取芯获取一些井位在某些深度的数据，要用数学方法描述这个函数，井位一般来说不是网格型的，有的由于岩芯的损坏，某些深度的测量值也有缺损，所以这是一散乱数据的差值问题。此外，在临摹、仿制与考古的古生物复原问题中，人们通常利用仿制对象的一些离散测量值来绘制对象的表面形状，从而制模。由于仿制对象的形状的复杂性，所以这也是一个散乱数据的插值问题。当前有多种实际应用与散乱数据的插值问题，主要有普通克里格方法、反距离移动平均法和反距离移动表面法。要注意到使用不同的方法，得到不同的表面数据和完全不同的结果，所以选择恰当的空间差值方法是空间散乱数据插值的关键。本论文获取等值面大致步骤如下： 装订线装订
15、线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文任意给定区域的四维网格散乱数据若给出的网格点都有数据而且平均密集某些网格点有数据利用Kringing插值进行网格数据加密利用下面算法求出等值点利用下面算法求出等值点若等值点较为稀疏则利用Multi-quadric方法进行等值点加密若等值点较为稀疏则利用Multi-quadric方法进行等值点加密对其等值点利用多种插值方法求解等值面对其等值点利用多种插值方法求解等值面装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文2 六面体网格划分2.1 “四维数据的图形表示”涵四维数据通俗上讲，就是数据是由一系列四元数组成，每一个四元数代表的是空间某一点的数据特征，或
16、者物体区域中某一点所研究的数据特征，前三维代表的是空间坐标，第四维代表的是有特征的数据，比如对于气象学应该是气压，气温等特征数据，对于研究物体则是密度，温度等参数。现在我们所讨论的是怎样把给定足够密集各个位置的散乱数据中找出给定区域所有的等值点即它们具有一样的，然后通过某种方法把这些等值点用曲面给表示出来，而且离实际的等值面具有极高的准确性。我们称所表示的曲面叫超曲面即等值面，固定形成的面叫做等值面，下面讨论其实现的方式。2.2 “六面体网格划分”的原理与意义为了解决问题的方便，我们必须对原始数据进行处理，使其运算方面，我们可以认为：空间中任意密集的四维散乱数据都在某一六面体A的顶点位置上，所
17、以可以对原始散乱数据进行网格划分，是所有的数据都分布在A的顶点上。这样做有助于对原始离散数据进行处理，便于运算求解。2.2.1MC算法的思想与引出MC算法即Marching Cubes（MC)算法于Lorensong和Cline于1987年提出的，是一个被广泛使用的体数据等值面抽取算法，它使用三角面片表示抽取得到的等值面。MC算法假设体数据是局部线性连续的, 它认为, 如果两个相邻采样点一个为正点, 一个为负点, 则它们连成的边上一定存在一个等值点. 如果得到了A 的各条边上的等值点, 就可以以这些点为顶点, 用一系列的三角形拟合出该A 中的等值面。本论文最终并不是延续MC算法所提到的用三角面
18、片表示的等值面。而是利用MC算法中使用的A是体数据中包含8个相邻样品的最小立方体的思想。2.3“六面体网格划分”的方法为了简便运算，先把给定的区域进行空间网格划分，并且充分小，以为小正方体三边的边长构造空间网格，这一步骤可用Mathematica软件简单实现。2.3.1构造四维散乱数据通过以上对空间区域的网格划分，认为在实际情况下，每个网格顶点都有其四维数据的测量值，现已知每个网格顶点的前三维坐标，第一种方法可以通过给定，可以求出每个网格顶点的四维散乱数据。另一种方法是在专业上特别是医学，气象学上下载四维数据，构造四维离散数据矩阵M。下面主要讨论第一种方法，便于对数据的处理。2.4 对于任意给
19、定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法如果先给定任意离散数据，那么怎样实现对给定区域的“六面体网格划分”呢？。这种算法适用于数据分布较均匀的情况, 逼近程度一般, 优点是计算简单, 速度较快。装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文求出对应轴上的坐标数据的步长数组求出散乱数据的原始空间三维坐标(xi,yi,zi)分别抽出原始数据中x,y,z轴上的数据坐标，进行排序分别以dx,dy,dz为三边边长构造空间正六面体网格通过以下流程可以求得：其中，此方法适用于给出的散乱数据比较密集，对于叫疏远的数据点则影响后面的结果。2.4.1“六面体网格划分”之后的节点预处理划分之后，给定散乱节点必然在
20、某个网格节点上，那么其他节点的四维数据可以利用Kriging插值或Multi-Quadric插值方法(5.1和5.3详细介绍)计算出其它网格节点的第四维数据，最后进行以下步骤即可。装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文3 搜索和遍历算法什么叫做搜索和遍历算法呢？它的意义何在呢？搜索和遍历算法是按照某种算法思想对网格划分后的给定区域进行搜索遍历，目的是快速的求出等值点W。第一种方法是通过已知网格节点构造八叉树，然后通过深度或者广度遍历进行搜索。第二种方法较为简单且快捷，所有的网格节点可分别在x,y,z轴方向上进行扫描遍历找到，通过递归
21、的方法进行等值点判断可以达到目的。该步骤可以通过C+,Mathematica软件求解，验证。装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文4 散乱等值点的获取散乱等值点W的获取是整个环节中最重要的一环，实现散乱等值点的算法则是关键所在，主要思想是利用上面所描述的搜索遍历算法进行等值点W的判定，最后通过相应的表达式求出逻辑等值点W坐标。4.1等值点的判定在建立了网格后的四维散乱数据模型之后，首先要确定等值点W的位置，以下简要介绍其方法：对在空间区域D的个网格数据点已经给定的情况下（上图为其中的一个子网格且，分别为4个网格点的值（工程上叫高程值），那么最下方的横边上是否有等值点要看W是否在，之
22、间。若判别式成立，则说明网格最下面的横边有等值点。同理成立，则最左纵边有等值点，反之，则没有等值点。4.2 等值点的求解在对x,y,z轴上的搜索国过程中，若用，和分别来表示位于网格的第i行，第j列，第k高度的x边，y边和z边的等值点与网格点的的距离与每个网格边长的比。如果上述第一个的判别式成立，并且设表示等值点W到的距离占每个网格点的y边长度的比例系数，则：若上述第二个判别式成立，并且设表示等值点W到的距离占每个网格点的y边长度的比例系数，则：以此类推,假设上述的y轴方向改为z轴方向(如上图)，那么：装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文相应的等值点的空间坐标可由下述三个公式求得：
23、等值点在x轴方向时，坐标值可由下式求得：；分别对y,z轴上进行扫描，可求得空间中所有的x轴方向上的等值点坐标。等值点在y轴方向时，坐标值可由下式求得：；分别对x,z轴上进行扫描，可求得空间中所有的y轴方向上的等值点坐标。等值点在z轴方向时，坐标值可由下式求得：；分别对x,y轴上进行扫描，可求得空间中所有的z轴方向上的等值点坐标。其中，为矩形顶点上x轴上的坐标；为矩形顶点上y轴上的坐标；为矩形顶点上z轴上的坐标；为网格点横向(x轴）间距;为网格点纵向(y轴）间距;为网格点高度(z轴）间距。通过以上方法可以求出散乱密集等值点矩阵N，下面用各种插值算法实现等值面的抽取。装订线装订线安徽工业大学 数学
24、与应用数学 毕业论文5 空间散乱数据的曲面拟合的模型、方法和实现5.1Kringing方法的背景(全体方法）Kringing插值方法来自于石油勘探在地质学的应用。这是Krige在1951年应用于南非的矿藏描述方法。某地某处区域是否有石油，以与有多少石油，这是许多许多年前这地方是否有海洋区域，在这个海洋区域是否生活着鱼藻类，曾经生活在那个区域的鱼藻类是否丰富，是否有适合的温度使得这些鱼藻类发酵，从而有机物转化为石油等众多因素有关的。1951年，Krige把矿藏的分布函数看成是一个随机函数的实现。也就是说，在许多许多年前就问，这里以后是否有石油以与石油的含量，那么这个函数在每个固定点都还是一个不确
25、定随机数，从而这是一个变量。而现在这个随即函数已经实现了，不过只看到了该函数在上的实现值。考虑到函数的连续性与随机因素的影响，这些随机变量是相互相关的。随着时间的推移，这个随机函数在每个点实现了它的值。问题就是在已知这个随机函数在一些点的实现值的情况下用估计的方法去估计这个随机函数在每一点上的实现。由概率论的知识知道，在已知这个随机函数在一些点上的实现值的情况下，还可以用条件数学期望求解：这个解是一个最小方差无偏估计。但是求条件数学期望需要在点与x上的联合分布，在实际应用中一般是难做到的，而且即使在联合分布已知的条件下要求求条件期望也是非常复杂的。所谓的Kriging方法就是在已知随机函数的一
26、阶矩和二阶矩的条件下在线性模型：中，求最小方差线性无偏估计。5.1.1.Kringing方法的理论基础定义一：随机变量与随机函数1. 随机变量为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为随机变量的一个实现，可分为离散变量和连续变量。(1) 数学期望：是随机变量的整体代表性特征数。设离散型随机变量的所有可能取值为x1，x2，其相应的概率为： 则当级数 绝对收敛时，称此级数的和为的数学期望，记为，或。=设连续型随机变量的可能取值区间为(-，+)，为其概率密度函数，若无穷积分绝对收敛，则称它为的数学期望，记为。=数学期望是随机变量的最基本的数字特征,相当于随
27、机变量以其取值概率w为权的加装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文权平均数。从矩的度说，数学期角望是的一阶原点矩。(2) 方差：为随机变量的离散性特征数。若数学期望存在，则称它为的方差，记为，或，或。 =方差的平方根为标准差，记为=从矩的角度说，方差是的二阶中心矩。(3) 协方差(Variance)：二个随机变量，的协方差为二维随机变量的二阶混合中心矩记为，或=其简算公式为=可见，如果知道了随机函数的协相关函数，那么我们可以写出关于这个随机函数在任意点的协方差矩阵，即如果，那么协方差矩阵的元素可以用协相关函数表示，写成矩阵得到。很多情形下协相关函数只于的距离有关的，满足这种性质的随
28、机函数分布称为是是各向同性。这时典型的协相关函数有。定义二： 随机向量函数如果对每个固定x都是随机变量，那么称它是一个随机函数。显然如果取一些点，那么构成随机向量。如果只对随机函数在某个点上的行为感兴趣，可以对这个随机向量利用联合分布进行研究。定义三：线性相关性随机向量的各分量称为线性相关的。如果存在不全为零的使得。我们讨论的随机函数对任何两两不同的的点，随机变量一般都是线性无关的。定义四：正定函数函数成为非负定的（正定），如果对于不全为零的数以与两两不同的点，满足由方差的非负性与得到，协方差矩阵与协相关函数是非负定的。如果某协相关函数是非负定的（但不是正定的），那么存在不全为零的数与两两不同
29、的点，使得，从而是一个一概率1取某值的变量。定义五：区域化变量与二阶平稳区域化变量：能用其空间分布来表征一个自然现象的变量（将空间位置作为随机函数的自变装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文量）。注意： 空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点处的一个随机实现。 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。二阶平稳：当区域化变量满足下列二个条件时，则称其为二阶平稳或弱平稳： 在整个研究区有的数学期望存在，且等于常数，即： 在整个区域，的协方差函数存在且平稳 (即只依赖于滞后，而与 无关),即 所以协方差不依赖于空间绝对位置，而依赖于相对位置 ，即具有空间的二阶平稳不变性。定义六：
30、本征假设 当区域化变量的增量满足下列二条件时，称其为满足本征假设或蕴假设。在整个研究区有 增量-的方差函数 (变差函数,Variogram) 存在且平稳 (即不依赖于u)，即：定义七：变异函数区域化变量在点和的值与差的方差的一半为区域化变量F(x)在x轴方向上的变异函数，记为。在满足本征假设条件下：变异函数与协方差函数之间的关系：随着相对距离的增加，观测点的变异程度趋近于定值，相关性也逐渐降低。理论上在时，但有时候在原点附近出现不连续的现象，这种现象称为块金效应（Nugget Effect）；当观测点间的距离大到一定程度的时候，呈现缓慢增加或不再增加，这时的就叫临界变异值（Sill）。总之，空
31、间相对距离小的，具有较高的相关性，变异性较小；空间相对距离大的，具有较小的相关性，变异性较大。其中满足5.1.2.从实验变差函数中找出理论变异函数与其参数注意到变异函数模型中的参数会直接影响到等值面的效果程度，可以考虑将所有观测点的相对距离划分为若干个级别，计算每个级别的观测点的个数，然后将每个级别所有点数取距离的平均值即的平均值。最后将所有级别的这些点连接后就可以得到实验变异函数。建立实验变异函数后，再以最小二乘法计算出理论变异函数与其参数。 理论的变异函数有：高斯模型、指数模型、球面模型装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文球面模型 指数模型 高斯模型其中：在工程上为块金值，为
32、部分基台值，+为基台值，为分离距离，为变差距离，与曲线达到基台值时所对应的分离距离。一般认为块金值代表随机变异的量，基台值代表变量空间变异的结构性方差，块金系数是块金值与基台值的比值，用于反映变量的空间自相关程度。5.1.3.Kringing方法 设为区域上的一系列观测点，为相应的观测值。区域化变量在处的值可采用一个线性组合来估计： 处的估计值的表达式为：那么应该寻找怎样的逼近呢？运用最小方差无偏估计的原则，首先希望是无偏估计，即对的可能实现值从概率上讲要与我们估计的有一样的期望值。当时，由求均值是线性运算得到，从而在讨论所有的随机函数中的随机函数都能满足要求。其次是希望估计的方差能达到最小，
33、即希望对每个固定的寻找，使得下式取最小计算得这是一个关于系数函数的二次型，固定对求导并令为0得到这个线性方程的解就是上述二次型的唯一最小值。那么：=装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文其中；注：为点之间的变异量，变异量只与两点间的距离有关，A为对阵矩阵。5.2 Shepard方法(局部方法)在插值问题的实际背景中，被插函数经常有这样的性质：函数在一点上的值对距它不同远近的点有不同大小的影响；距离越近影响越大。Shepard在1968年注意到了这个现象，并由此提出他的方法。假设数据点两两不同，是其上的数据值。希望寻找插值函数与某种连续条件，而函数能体现这种依距离的远近而产生的不同大
34、小的影响。一个直接的想法是按照距离的倒数或距离的平方的倒数进行加权然后取其平均这里并不是Lagrange多项式，而是体现了函数在的值对在x点的函数值的影响。比如可以假设影响的是与距离的次方的倒数成正比，那么定义权函数：。就有其中得到如下定理：是一个连续的函数，并且满足插值条件。装订线装订线安徽工业大学 数学与应用数学 毕业论文其中，会影响插值的效果。5.3 Multi-Quadric插值方法(属于径向基函数)Hardy在研究解决航天器的外形设计中碰到散乱数据差值问题时，采用了与Kriging与样条插值相似的公式，只是采用了Multi-Quadric（MQ函数，是径向基函数的一种）作为核函数。即采用函数的平移作为一组基函数，再由这组基函数成的函数空间中寻求插值使得可见如果系数矩阵是非奇异的，那么只要解一个线性方程组，就可以得到差值问题的解。其结果与用Multi-Quadric函数代替Kriging中的自相关函数或样条函数中的核函数，利用Kriging公式或样条插值公式求解的结果是一样的，Hardy在很多实际问题计算中发现，如果数据点两两不同，用Multi-Quadric函数构造插值的插值问题都是有唯一解的，而且在很多情况下可以获得甚至比在Kriging方法中运用通常的自相关函数与样条函数通常的核函数更好的解。Multi-Quadric函数还有表示简单的优点。不过他当
