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1、第6章 递归,6.3 递归算法到非递归算法的转换,6.1 什么是递归,6.2 递归算法的设计,本章小结,6.1 什么是递归6.1.1 递归的定义 在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分,称之为递归。若调用自身,称之为直接递归。若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调用p,称之为间接递归。如果一个递归过程或递归函数中递归调用语句是最后一条执行语句,则称这种递归调用为尾递归。,例6.1 以下是求n!(n为正整数)的递归函数。int fun(int n)if(n=1)/*语句1*/return 1;/*语句2*/else/*语句3*/return fun(n-1)*n;/*语句4*/在该
2、函数fun(n)求解过程中,直接调用fun(n-1)(语句4)自身,所以它是一个直接递归函数。又由于递归调用是最后一条语句,所以它又属于尾递归。,6.1.2 何时使用递归 在以下三种情况下,常常要用到递归的方法。1.定义是递归的 有许多数学公式、数列等的定义是递归的。例如,求n!和Fibonacci数列等。这些问题的求解过程可以将其递归定义直接转化为对应的递归算法。,2.数据结构是递归的 有些数据结构是递归的。例如,第2章中介绍过的单链表就是一种递归数据结构,其结点类型定义如下：typedef struct LNode ElemType data;struct LNode*next;LinkL
3、ist;该定义中,结构体LNode的定义中用到了它自身,即指针域next是一种指向自身类型的指针,所以它是一种递归数据结构。,对于递归数据结构,采用递归的方法编写算法既方便又有效。例如,求一个不带头结点的单链表head的所有data域(假设为int型)之和的递归算法如下：int Sum(LinkList*head)if(head=NULL)return 0;else return(head-data+Sum(head-next);,3.问题的求解方法是递归的 有些问题的解法是递归的,典型的有Hanoi问题求解,该问题描述是：设有3个分别命名为X,Y和Z的塔座,在塔座X上有n个直径各不相同,从小
4、到大依次编号为1,2,n的盘片,现要求将X塔座上的n个盘片移到塔座Z上并仍按同样顺序叠放,盘片移动时必须遵守以下规则：每次只能移动一个盘片；盘片可以插在X,Y和Z中任一塔座；任何时候都不能将一个较大的盘片放在较小的盘片上。设计递归求解算法,并将其转换为非递归算法。设Hanoi(n,x,y,z)表示将n个盘片从x通过y移动到z上,递归分解的过程是：,Hanoi(n,x,y,z),Hanoi(n-1,x,z,y)；move(n,x,z):将第n个圆盘从x移到z；Hanoi(n-1,y,x,z),6.1.3 递归模型 递归模型是递归算法的抽象,它反映一个递归问题的递归结构,例如,前面的递归算法对应的
5、递归模型如下：fun(1)=1(1)fun(n)=n*fun(n-1)n1(2)其中,第一个式子给出了递归的终止条件,第二个式子给出了fun(n)的值与fun(n-1)的值之间的关系,我们把第一个式子称为递归出口,把第二个式子称为递归体。,一般地,一个递归模型是由递归出口和递归体两部分组成,前者确定递归到何时结束,后者确定递归求解时的递推关系。递归出口的一般格式如下：f(s1)=m1(6.1)这里的s1与m1均为常量,有些递归问题可能有几个递归出口。递归体的一般格式如下：f(sn+1)=g(f(si),f(si+1),f(sn),cj,cj+1,cm)(6.2)其中,n,i,j,m均为正整数。
6、这里的sn+1是一个递归“大问题”,si,si+1,sn为递归“小问题”,cj,cj+1,cm是若干个可以直接(用非递归方法)解决的问题,g是一个非递归函数,可以直接求值。,实际上,递归思路是把一个不能或不好直接求解的“大问题”转化成一个或几个“小问题”来解决,再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来解决,如此分解,直至每个“小问题”都可以直接解决(此时分解到递归出口)。但递归分解不是随意的分解,递归分解要保证“大问题”与“小问题”相似,即求解过程与环境都相似。,为了讨论方便,简化上述递归模型为：f(s1)=m1(6.3)f(sn)=g(f(sn-1),c)(6.4)求f(sn)的分解
7、过程如下：f(sn)f(sn-1)f(s2)f(s1),一旦遇到递归出口,分解过程结束,开始求值过程,所以分解过程是“量变”过程,即原来的“大问题”在慢慢变小,但尚未解决,遇到递归出口后,便发生了“质变”,即原递归问题便转化成直接问题。上面的求值过程如下：f(s1)=m1 f(s2)=g(f(s1),c1)f(s3)=g(f(s2),c2)f(sn)=g(f(sn-1),cn-1),这样f(sn)便计算出来了,因此,递归的执行过程由分解和求值两部分构成。,求解fun(5)的过程如下：,6.2 递归算法的设计 递归的求解的过程均有这样的特征：先将整个问题划分为若干个子问题,通过分别求解子问题,最
8、后获得整个问题的解。而这些子问题具有与原问题相同的求解方法,于是可以再将它们划分成若干个子问题,分别求解,如此反复进行,直到不能再划分成子问题,或已经可以求解为止。这种自上而下将问题分解、求解,再自上而下引用、合并,求出最后解答的过程称为递归求解过程。这是一种分而治之的算法设计方法。递归算法设计先要给出递归模型,再转换成对应的C/C+语言函数。,递归设计的步骤如下：(1)对原问题f(s)进行分析,假设出合理的“较小问题”f(s)(与数学归纳法中假设n=k-1时等式成立相似)；(2)假设f(s)是可解的,在此基础上确定f(s)的解,即给出f(s)与f(s)之间的关系(与数学归纳法中求证n=k时等
9、式成立的过程相似)；(3)确定一个特定情况(如f(1)或f(0)的解,由此作为递归出口(与数学归纳法中求证n=1时等式成立相似)。,例如,采用递归算法求实数数组A0.n-1中的最小值。假设f(A,i)函数求数组元素A0Ai中的最小值。当i=0时,有f(A,i)=A0；假设f(A,i-1)已求出,则f(A,i)=MIN(f(A,i-1),Ai),其中MIN()为求两个值较小值函数。因此得到如下递归模型：A0 当i=0时 f(A,i)=MIN(f(A,i-1),Ai)其他情况,由此得到如下递归求解算法：float f(float A,int i)float m;if(i=0)return A0;e
10、lse m=f(A,i-1);if(mAi)return Ai;else return m;,例求1，2，n的全排列。解：设a是含n个不同字符的字符串，f(a,k-1,n)为a0.k-1的所有字符的全排序，f(a,k,n)为a0.k的所有字符的全排序。假设f(a,k-1,n)可求，对于ak位置，可以取a0.k任何之值，再组合f(a,k-1,n)，则得到f(a,k,n)递归模型为：f(a,k,n)：输出a 当k=0时 f(a,k,n)：ak位置取a0.k任何之值,其他情况 并组合f(a,k-1,n)的结果;,void f(char a,int k,int n)int i,j;char tmp;i
11、f(k=0)for(j=0;jai;f(a,k-1,n);akai,例采用递归算法求解皇后问题：在nn的方格棋盘上，放置n个皇后，要求每个皇后不同行、不同列、不同左右对角线。解：设place(k,n)表示在前面1，k-1个皇后放置好后，用于放置k，n的皇后。求解皇后问题的递归模型如下：place(i,n)：n个皇后放置完毕，输出解若i=n place(k,n)：对于第k列的每个合适的位置i,在其上放置一个皇后;place(k+1,n);其他情况,6.3 递归算法到非递归算法的转换 递归算法有两个基本特性：一是递归算法是一种分而治之的、把复杂问题分解为简单问题的求解问题方法,对求解某些复杂问题,
12、递归算法分析问题的方法是十分有效的；二是递归算法的时间效率通常比较差。因此,对求解某些问题时,我们希望用递归算法分析问题,用非递归算法具体求解问题。这就需要把递归算法转换为非递归算法。,把递归算法转化为非递归算法有如下三种基本方法：(1)对于尾递归和单向递归的算法,可用循环结构的算法替代。(2)自己用栈模拟系统的运行时栈,通过分析只保存必须保存的信息,从而用非递归算法替代递归算法。(3)利用栈保存参数,由于栈的后进先出特性吻合递归算法的执行过程,因而可以用非递归算法替代递归算法。本节讨论第(1)种和第(2)种情况的递归算法转化为非递归算法的问题,前者是一种是直接转化法,不需要使用栈,后者是间接
13、转化法,需要使用栈。第(3)种情况也需要使用栈,但因具体情况而异,例如,在第7章的例7.6就是这种情况的一个例子。,6.3.1 尾递归和单向递归的消除 采用循环结构消除尾递归和单向递归。求解Fibonacci数列的算法如下：int Fib(int n)int i,f1,f2,f3;if(n=1|n=2)return(n);f1=1;f2=2;for(i=3;i=n;i+)f3=f1+f2;f1=f2;f2=f3;return(f3);,采用循环结构消除递归没有通用的转换算法,对于具体问题要深入分析对应的递归结构,设计有效的循环语句进行递归到非递归的转换。,6.3.2 模拟系统的运行时栈消除递归
14、 对于不属于尾递归和单向递归的递归算法,很难转化为与之等价的循环算法。但所有的递归程序都可以转化为与之等价的非递归程序(例如,C/C+语言就是先将递归程序转化为非递归程序,然后求解的),有一个通用的算法可以将递归程序转化为非递归程序(详见参考文献28.4节),由于这个算法过于通用,比较复杂,不易理解,而且通常需要使用goto转移语句,违反结构化程序设计规定,因此,在这里不作介绍。下面讨论直接使用栈保存中间结果,从而将递归算法转化为非递归算法的过程。,仍以例6.1的递归算法进行讨论,其递归模型有一个递归出口和一个递归体两个式子,分别称为(1)式和(2)式。设计一个栈,其结构如下：struct i
15、nt vn;/*保存n值*/int vf;/*保存fun1(n)值*/int tag;/*标识是否求出fun1(n)值,1:未求出,0:已求出*/StMaxSize;/*定义栈*/,计算fun1(5)之值的过程如下：将(5,*,1)进栈;while(栈不空)if(栈顶元素未计算出栈顶元素的vf值即Sttop.tag=1)if(栈顶元素满足(1)式)求出对应的Sttop.vf值,并置Sttop.tag=0;表示已求出对应的函数值;else/*栈顶元素满足(2)式*/将(Sttop.vn-1,*,1)进栈;else if(栈顶元素已计算出栈顶元素的vf值即Sttop.tag=0)显然栈顶元素由次栈
16、顶元素通过(2)式分解得到的,回过来 由栈顶元素的vf值计算出次栈顶元素的vf值并退栈;if(栈中只有一个已求出vf值的元素)退出循环;St0.vf即为所求的fun1(n)值;,求fun1(5)时栈St中元素的变化见教材p125图6.2所示。对应的非递归fun1算法如下：int fun1(int n)top+;/*初值进栈*/Sttop.vn=n;Sttop.tag=1;while(top-1)/*栈不空时循环*/if(Sttop.tag=1)/*未计算出栈顶元素的vf值*/if(Sttop.vn=1)/*(1)式*/Sttop.vf=1;Sttop.tag=0;else/*(2)式*/top
17、+;Sttop.vn=Sttop-1.vn-1;Sttop.tag=1;,else if(Sttop.tag=0)/*已计算出vf值*/Sttop-1.vf=Sttop-1.vn*Sttop.vf;/*(2)式*/Sttop-1.tag=0;top-;if(top=0,Ackerman函数的定义如下：,akm(m,n)=,n+1 m=0akm(m-1,1)m0,n=0akm(m-1,akm(m,n-1)m0,n 0,设计对应的非递归算法。,计算akm(2,1)的递归调用过程树,int akm1(int m,int n)struct int vm,vn;/*分别保存m和n值*/int vf;/*
18、保存akm(m,n)值*/int tag;/*标识是否求出akm(m,n)值,*/*1:未求出,0:已求出*/StMaxSize;/*定义顺序栈*/int top=-1;/*栈指针*/top+;/*初值进栈*/Sttop.vm=m;Sttop.vn=n;Sttop.tag=1;,while(top-1)/*栈不空时循环*/if(Sttop.tag=1)/*未计算出栈顶元素的vf值*/if(Sttop.vm=0)/*(1)式*/Sttop.vf=Sttop.vn+1;Sttop.tag=0;else if(Sttop.vn=0)/*(2)式*/top+;Sttop.vm=Sttop-1.vm-1
19、;Sttop.vn=1;Sttop.tag=1;,else/*(3)式*/top+;Sttop.vm=Sttop-1.vm;Sttop.vn=Sttop-1.vn-1;Sttop.tag=1;/*end of if(Sttop=1*/,else if(Sttop.tag=0)/*已计算出vf值*/if(Sttop-1.vn=0)/*(2)式*/Sttop-1.vf=Sttop.vf;Sttop-1.tag=0;top-;else/*(3)式*/Sttop-1.vm=Sttop-1.vm-1;Sttop-1.vn=Sttop.vf;Sttop-1.tag=1;top-;,if(top=0,本章小结 本章基本学习要点如下：(1)理解递归的定义和递归模型。(2)重点掌握递归的执行过程。(3)掌握递归设计的一般方法。(4)掌握消除递归的基本方法。(5)灵活运用递归算法解决一些较复杂应用问题。,练习 教材中p129的习题1和2。,
