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1、有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-结构静力分析 杆系结构 二维实体分析 工程应用,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-结构静力分析 连续体的离散过程及特征,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元单元节点边界条件,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元位移模式与形函数,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角
2、形三节点单元位移模式与形函数,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-三角形三节点单元插值函数矩阵或形函数矩阵,，,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 利用几何方程写出单元应变与结点位移的关系矩阵，称应变方程，即,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析单元应变方程，即,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析单元应变矩阵B,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 由材料的本构关系（即物理方程），得到单元弹性矩阵D，从而推出用结点位移表示单元应力表达式。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析单元弹性矩阵D,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分
3、析 考虑结点平衡求得单元结点力与结点位移的关系，由矩阵ke表示，称单元刚度矩阵。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 经逐个单元（逐个结点）叠加其贡献予以集合（整体分析）后，生成结构刚度矩阵K（也称总刚）、荷载列阵F和结构结点位移列阵，并利用平衡条件建立表达结构的力-位移的关系式，即所谓结构刚度方程。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 考虑几何边界条件作适当修改后，求解高阶线性代数方程组，得到结构所有的未知结点位移（矩阵位移法）。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析如何考虑节点等效载荷,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 利用已求出的结点位移计算各个单
4、元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析-双线性矩形单元 取矩形单元的四个角点1234作为结点，其边长分别为2a、2b，每个结点位移有两个分量，整个单元有八个自由度。,，,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析 单元的分类:1 单元形状分类(杆、梁、板、壳）2 单元节点分类（三角形、四边形）3 新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元等）,有限元法分析的基本理论与方法,有限元案例分析有限元单元划分的基本原则:划分单元是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的单元
5、形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:1 单元数量 单元数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。在确定单元数量时应权衡两个因数综合考虑。,位移精度(1)和计算时间(2)随单元数量的变化,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:1 单元数量 在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，单元数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:1 单元数量 在响应计算中，计算应力响应所取的单元数应比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时
6、，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的单元，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:1 单元数量 在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:2 单元疏密 单元疏密是指在结构不同部位采用大小不同的单元。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的单元。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的单元。这样，整个结构便表现出疏密不同的单元划分形式。,有限元法分析的基本理
7、论与方法,有限元单元划分的基本原则:2 单元疏密 图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其单元反映了疏密不同的划分原则。小圆孔附近存在应力集中，采用了比较密的单元。板的四周应力梯度较小，单元分得较稀。其中图b中单元疏密相差更大，它比图a中的单元少48个，但计算出的孔缘最大应力相差1%，而计算时间却减小了36%。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:2 单元疏密 由此可见，采用疏密不同的单元划分，既可以保持相当的计算精度，又可使单元数量减小。因此，单元数量应增加到结构的关键部位，在次要部位增加单元是不必要的，也是不经济的。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则
8、:2 单元疏密 划分疏密不同的单元主要用于应力分析(包括静应力和动应力)，而计算固有特性时则趋于采用较均匀的单元形式。这是因为固有频率和振型主要取决于结构质量分布和刚度分布，不存在类似应力集中的现象，采用均匀单元可使结构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值计算误差。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:3 单元阶次 单元具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分
9、的基本原则:3 单元阶次 当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。但在使用时应权衡考虑计算精度和时间。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:3 单元阶次 不同阶次单元的收敛情况。一悬臂梁分别用线性和二次三角形单元离散时，其顶端位移随单元数量的收敛情况。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:3 单元阶次 当单元数量较少时，两种单元的计算精度相差很大，这时采用低阶单元是不合适的。当单元数量较多时，两种单元的精度相差并不很大，这时采用高阶单元并不经济。例如在离散细节时，由于细节尺寸限制，要求细节附近的单元划分很密，更宜采用线性单元。,有限元法
10、分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:3 单元阶次 为了兼顾计算精度和计算量，同一结构可以采用不同阶次的单元，即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:4 单元质量 单元质量是指单元几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度。质量太差的单元甚至会中止计算。直观上看，单元各边或各个内角相差不大、单元面不过分扭曲、边节点位于边界等份点附近的单元质量较好。单元质量可用细长比、锥度比、内角、翘曲量、拉伸值、边节点位置偏差等指标度量。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:4 单元质量 在重点研究
11、的结构关键部位，应保证划分高质量单元，即使是个别质量很差的单元也会引起很大的局部误差。而在结构次要部位，单元质量可适当降低。当模型中存在质量很差的单元(称为畸形单元)时，计算过程将无法进行。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:4 单元质量 图示三种常见的畸形单元，其中a单元的节点交叉编号，b单元的内角大于180，c单元的两对节点重合，单元面积为零。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:5 单元分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为单元边界或节点以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移约束条件。即应使单元形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来
12、适应单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:5 单元分界面和分界点 常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中载荷作用点和位移约束作用点等。图示具有上述几种界面的结构及其单元划分形式。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:6 单元位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:6 单元位移协调性图示两种位移不协调的单元划分
13、。图a中的节点1仅属于一个单元，变形后会产生材料裂缝或重叠。图b中的平面单元和梁单元节点的自由度性质不同，粱单元的力矩无法传递到平面单元。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:7 单元布局 当结构形状对称时，其单元也应划分对称单元，以使模型表现出相应的对称特性(如集中质矩阵对称)。对称结构的不对称布局会引起一定误差。,有限元法分析的基本理论与方法,有限元单元划分的基本原则:8 单元节点和单元编号 节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数，因而影响计算时间和存储容量的大小，因此合理的编号有利于提高计算速度。目前许多有限元分析软件自带有优化器，单元划分后可进行带宽和波前优化，从而减轻人的劳动强度。,有限元法分析的基本理论与方法,问题一:如何提高有限元分析的效率?-两种“重复”几何空间的重复-单元种类计算时间的重复-迭代法 子结构方法 超级单元方法,有限元法分析的基本理论与方法,问题二:同一结构采取不同单元有何影响?,有限元法分析的基本理论与方法,建立模型:梁单元 三角单元,有限元法分析的基本理论与方法,单元网格划分:梁单元 三角单元,有限元法分析的基本理论与方法,梁的变形与位移:梁单元 三角单元,有限元法分析的基本理论与方法,作业:四边形四节点单元,
