再探反比例函数课例.doc

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1、 再探反比例函数教学课例 钱青松 一、背景与主题复习课效率的高低，直接影响学生知识结构的形成和思维能力的培养。它既不是简单地“旧事重提”，也不是繁重地题海策略。教学实践往往会看到有的老师简单地以“考什么讲什么”作为自己讲授内容的标准，较少考虑教学内容的合宜、有效。习惯于从教法来考虑教学：“开始怎么教？教学环节怎么衔接？问题怎么解决？”等等。而最后，却往往是受困于教学内容。也就是说，这样的一招一式，在教什么呢？学生能不能学呢？这里面存在很大的疑惑。这次“说题”到“一题一课”的备课，第一次经历了持续数周时间围绕同一课题（反比例函数）寻题、改题、编题、整合的过程，真切感受到有效选择教学内容在复习课中

2、的重要性，下面我就课题再探反比例函数的磨课过程予以呈现。二、实录与研讨 【第一次教学设计实录】课堂导入师：观察图象，你能得出哪些信息？ 生：（学生从比例系数、增减性、中心对称性等方面获取信息，教师及时评价。）【研讨】 引导学习自主回顾反比例函数的性质，让不同基础的学生都有“话”可说。原题再现问题一: A（-3,a）,B（-2,b）是该图象上的两点请比较a与b的大小。出示问题后，先请一位学生说说自己的想法；师：同学们都同意，探讨一下还有其它方法可以解决这个问题吗？生：（预设较多学生会用性质法和图象法）变式：已知三点J(x1,y1),K(x2,y2),L(x3,y3)都在反比例函数 （K0）的图象

3、上,且x30x2x1,则y1、y2与y3的大小关系 . 问题二: A（-3，a），B（-2，b）是该图象上的两点若a，b 两数中较大的数比较小的大2，求这个反 比例函数的解析式师：已知条件是什么？ 生：（估计学生能直接得出a=b+2）师：A（-3，a），B（-2，b）在函数图象，能用a，b的代数式表示K吗？（由学生口答，教师板书解题过程）【研讨】 问题一基础，目的是为了结合图象应用性质。但上课教师过于强调“一题多解”，学生非常被动才说出“用代入求值比较”，导致学生学习状态明显减弱。问题一后的变式虽一定程度上巩固了知识，但却打断了问题的连续性，建议删除。自主探究如图，过点A作AF垂直X轴，连结O

4、A，AOF的面积有多大？如图，BOG的面积有多大？点P是第一象限内的动点，POH的面积呢？如果点P运动到点C呢？ 师：这样的三角形面积都相等吗？能用数学式子表示出来吗？生：面积保持不变。师：能用数学式子表示你所发现的规律吗？生：S等于.【研讨】 反比例函数的此类三角形面积问题常见，选择些内容会下面的拓展二做好铺垫比较恰当。拓展应用拓展一：若E是线段CD上的一动点，如图，EM平行y轴，且交反比例函数图像于点M，ERy轴于点R，MQy轴于点Q，那么四边形ERQM面积是否可以取得最大值？并说明理由。师：四边形ERQM面积如何表示？生：EM乘以QM师：设M的横坐标为m，能用数学式子表示出面积吗？生：【

5、研讨】 本题型属于常见的一次函数与反比例函数的综合问题，学生比较容易找寻解决办法，但在讲解和求解过程中用去了8分钟时间，且与下面的拓展二联系性不够，所以从教学内容的连续性考虑，本题需重新考虑。拓展二：当点P的坐标是（6，y），点C的坐标是（x，4）时， 求COP的面积。 师：先看已知，可直接得出什么结论？ 生：点P的坐标是（6，2），点C的坐标是（3，4） 师：再看所求，COP的面积能直接计算吗？怎么办？ 生：（学生发表意见，预设可能会出现多种解法） 方法：（如图） 过点C，P分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E 生：COP的面积四边形COEP的面积 - EOP的面积梯形CDEP的面积（学生会用

6、这种方法计算出面积，有可能不会分析出COP的面积梯形CDEP的面积，此时教师可以通过“COD的面积和POE的面积有什么关系”引导学生分析）方法：（如图）过点C作y轴垂线，过点P过x轴垂线，垂足分别为D,E，分别延长DC,EP交于点F.生：COP的面积矩形DFEO的面积 - EOP的面积 -COD的面积 - CFP的面积法：（如图）把CP向两边延长交x,y轴分别为E,D两点。生：COP的面积EOD的面积 -COD的面积 - POE的面积【研讨】 解决COP的面积问题，方法较多，能有效启发学生思维，提高学习兴趣。而且本拓展的内容与自主探究环节的三角形面积问题联系性较强，可以考虑两个环节直接过渡。y

7、oxy=CA拓展三：点P在第一象限图象上运动，作直线PO，与双曲线的另一个交点记为Q若由点A，P，C，Q为顶点组成的四边形的面积为64，请写出符合条件的点P的坐标。 师：根据题意，画出图形（学生作图后，利用实物投影展示，通过比较发现需分类讨论）师：观察所作图形，所作四边形有什么性质？生四边形是平行四边形？师：为什么？生：中心对称性 先选择右图这种情况分析。师：设P（m,）,能直接通过四边形的面积是64列出方程吗？能否转化出其它图形来列？生: （教师引导学生发现COP是四边形面积的四分之一，在拓展一的基础上可以列出方程，求出m。另一种情况（如右图）同理求出。）【研讨】 教师听课过程中能够领会此拓

8、展设计的意图，是利用拓展二中COP的面积的求解办法，再利用转化的思想，把四边形的面积是64转化成COP的面积来解决。但在实际操作中出现两个明显问题：一是由于过快变得图形复杂，加上教师引导仓促，仅靠拓展二迁移学生的思维并不容易。二是本拓展内容上从三角形过渡到平行四边形，从结果上出现了分类讨论思想，学生难以适应。课堂小结引导学生从本节知识与思想方法两方面进行小结。【试教后研讨】同事研讨、执教者反思：教学内容的选择上主题貌似为了突出与反比例函数有关的动点问题，但各拓展间的联系性不够，有些脱节。整堂课显得平淡，能基本达到复习了反比例函数有关知识，但从复习课促进学生能力发展要求目的来看并不理想。最后拓展

9、题教师怎么分析学生会更透彻？如果分析不透彻，学生觉得效果不好，为什么不重新考虑拓展内容呢？在各位同事的建议的基础上，我也进行了进一步的反思，删除了拓展一，并把拓展三的问题进行了改编，有如下的教学设计。【第二次教学设计】【教学目标】知识与技能：复习反比例函数及其图象性质并学会应用有关性质解决问题。过程与方法：通过探索原题及拓展，让学生体会数形结合、转化思想、分类讨论等数学思想。情感态度与价值观：通过复习体会图形间的相互联系，培养学生敢于探究的数学品质。【教学重难点】重点：反比例函数及其图象性质。难点：拓展三。【教学过程】 课堂导入师：观察图象，你能得出哪些信息？ 生： （预设学生会从比例系数、增

10、减性、中心对称性等 方面获取信息，教师及时评价。）【设计意图】 通过图象引导学生能自主复习反比例函数及其图象性质，让不同基础的学生都有“话”可说，能够调动所有学生的注意力，遵循了教师为主导，学生为主体的课堂教学原则。原题再现问题一: A（-3,a）,B（-2,b）是该图象上的两点请比较a与b的大小。采取学生口答，教师引导不同的解决方法。 问题二: A（-3，a），B（-2，b）是该图象上的两点若a，b 两数中较大的数比较小的大2，求这个反比例函数的解析式分析：1、本题增加了怎样的已知条件？ 2、能利用这个已知条件写出a,b的关系式吗？（估计学生能直接得出a=b+2） 3、A（-3，a），B（-

11、2，b）在函数图象上，能用a，b的代数式表示K吗？【设计意图】 问题一难度不大，只是简单的探究结果将无法体现问题价值，教学中，我仍采取让学生自主解决的方式，引导学生探索数形结合，力求提升学生数学思维。问题二复习了用待定系数法求反比例函数解析式。自主探究如图，过点A作AF垂直X轴，连结OA，AOF的面积有多大？如图，BOG的面积有多大？第一象限内的点P(n,y1)，POH的面积呢？C(m,y2)呢？ 从特殊到一般，引导学生归纳出S=。【设计意图】 本题一是为了复习反比例函数的常见三角形面积计算，二是为下面的拓展做好知识储备。拓展应用拓展一：若m=3,n=6时，求COP的面积。 分析：根据m,n的

12、可以知道P,C的坐标；COP的面积直接利用面积公式计算比较困难，预设学生会采取割补法解决，方法多样，课堂以学生生成为主。（列举3种） 方法：（如图） 过点C，P分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E 生：COP的面积四边形COEP的面积 - EOP的面积梯形CDEP的面积方法：（如图2）过点C作y轴垂线，过点P过x轴垂线，垂足分别为D,E，分别延长DC,EP交于点F.生：COP的面积矩形DFEO的面积 - EOP的面积 -COD的面积 - CFP的面积 图2 图3法：（如图3）把CP向两边延长交x,y轴分别为E,D两点。生：COP的面积EOD的面积 -COD的面积 - POE的面积【设计意图】 通

13、过分析解决COP的面积，让学生解决体会反比例函数问题有关的面积时常用的割补法和转化的思想。拓展二： 当点P在第一象限上的图象运动时，已知 m=3,SCOP=9。 求 n 的值。分析：1、教师利用几何画板，引导学生观察点P运动时COP面积变化情况，通过观察发现答案的不唯一性。2、点P坐标(n,d)，怎么表示出COP的面积？（预设由拓展一的铺垫，学生会较顺利的使用割补法表示。）【设计意图】 通过拓展一的条件和结论，让学生体会函数图象上的点固定时，答案是唯一的。若图象上有动点，就有可能出现多个答案，需要利用数形结合的思想去分析问题。 拓展三：1、分别做直线CO，PO，交第三象限的图象分别为A，Q两点

14、，则四边形APCQ是什么四边形？（口头提问，课件演示）估计学生能回答，由反比例函数的中心对称性说明四边形APCQ是平行四边形。 2、当点C,点P在图象上运动时（C与P不重合），若有可能，请直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由 分析：教师引导学生从矩形的对角线相等且互相平分入手，分别利用C,P两点的坐标表示OC、OP，列出方程。 3、四边形APCQ可能是正方形吗？ 分析：引导从学生利用反比例图象无限趋近于坐标轴，但不与坐标轴相交这一性质，说明四边形APCQ不可能是正方形。 注：时间可能比较紧，教师需随时调整，灵活应对。【设计意图】 本拓展增加了图形间的互相联系，试图学生学会利用反比例函数的中心对称性和无限接近性，解决问题。并且融入了四边形与反比例函数图象的综合运用。 课堂小结引导学生从本节知识与思想方法两方面进行小结。三、我的认识与反思通过上述课例实践，我对复习课中如何选择有效教学内容有了新的认识。1、把握好复习课的切入点、理清知识点、数学思想方法，确定教学内容主方向。2、确定教学内容的结构。明确教学内容呈现的目的性，结构清晰，有效整合知识与思想方法。， 3、寻求拓展问题的深度与变化。在拓展变化中既要注意问题间的紧密联系，又要考虑学生学习的有效性。