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1、第9 章 相关分析与回归分析,刘廷兰,相关和回归分析是研究事物的相互关系、测定它们联系的紧密程度、揭示其变化的具体形式和规律性的统计方法，是构造各种经济模型、进行结构分析、政策评价、预测和控制的重要工具。,本章学习目的,通过本章的学习要求理解相关分析和回归分析的有关概念，掌握计算相关系数和配合回归方程的方法，并能结合实际资料对变量进行相关和回归分析。,本章教学内容,第一节 相关分析 第二节 简单线性回归分析 第三节 多元线性回归模型,出租汽车费用与行驶里程：总费用=行驶里程 每公里单价,家庭收入与恩格尔系数：家庭收入高，则恩格尔系数低。,函数关系（确定性关系）,相关关系（非确定性关系）,比较下
2、面两种现象间的依存关系,在自然界和社会现象中，客观现象之间的数量关系通常有两种类型，即：,函数关系,相关关系,客观存在、确定性、严格的数量对应关系,（相关分析的对象）,现象（变量）之间客观存在的、非确定性的数量对应关系。,例如：消费支出与收入的关系；学习成绩与学习时间的关系等。,相关关系的种类（四种）,单相关复相关,线性相关（直线相关）非线性相关（曲线相关）,正相关负相关,完全相关（函数关系）不完全相关不相关,按涉及变量多少,按相关的表现形式,按相关的方向（直线相关）,按相关的程度,定性分析,是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断,定量分析,在定
3、性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数与判定系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度,相关关系的测定,对相关关系的分析是统计学的重要研究内容。主要研究方法：相关分析和与回归分析。,相关分析与回归分析,相关分析（Correlation Analysis）研究变量之间相关的方向和相关的程度，但无法给出变量间相互关系的具体形式，因而无法从一个变量推测另一个变量。,回归分析（Regression)可以确定变量之间相互关系的具体形式（回归方程），确定一个变量对另一个变量的影响程度，并根据回归方程进行预测。,自变量和因变量,如果两个变量中一个变量是另一个变量变化的结果，那么代
4、表原因的变量称为自变量 Independent(Explanatory)Variable，代表结果的变量称为因变量 Dependent(Response)Variable。在散点图中习惯上把因变量绘制在纵轴上。,简单相关表,适用于所观察的样本单位数较少，不需要分组的情况,分组相关表,适用于所观察的样本单位数较多标志变异又较复杂，需要分组的情况,将现象之间的相互关系，用表格的形式来反映。,相关表,正 相 关,负 相 关,曲线相关,不 相 关,用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。,用散点图观察变量之间的相关关
5、系,在直线相关的条件下，用以反映两变量间线性相关密切程度的统计指标，用r表示,相关系数,1 r 1,两个变量完全相关,两个变量不存在线性相关关系,两个变量存在一定程度线性相关关系,两个变量正相关,两个变量负相关,|r|,0.30.30.50.50.80.81,弱相关低度相关显著相关高度相关,调查50个房地产公司，房屋销售面积与广告费用之间的相关系数为0.76，这说明（）A.二者之间有较强的正相关关系 B.平均看来，销售面积的76归因于其广告费用C.如要多销售1万平方米的房屋，则要增加广告费用7600元D.如果广告费用增加1万元，可以多销售7600平方米的房屋,样本能代表总体吗？,如果红色的点碰
6、巧为你的样本，则样本相关系数为0.907，总体相关系数为0.00005,相关系数的显著性检验,1、提出假设：H0：；H1：0,2、计算检验的统计量：,3、确定显著性水平，并作出决策 若 t t，拒绝H0 或者：若p值a，拒绝H0,检验的步骤是：,计算结果：t检验值为临界值t（21）2.08，故拒绝H0，认为相关系数显著。,消费支出和可支配收入的相关系数23个家庭调查,注意：相关关系因果关系！,典型的错误推断：统计分析表明，庆祝生日次数越多的人越长寿。因此，庆祝生日有利于健康。调查表明，世界各国人均电视机拥有量与预期寿命存在很强的正相关性。因此，电视机拥有量越高，预期寿命越长。对小学各年级学生的
7、抽样调查表明，学生的识字水平与他们鞋子的尺寸高度正相关。因此，学生穿的鞋越大，他的识字水平就越高。,92 一元线性回归分析,总体回归函数、样本回归函数 一元线性回归模型的估计 一元线性回归模型的检验,趋向中间高度的回归,回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个数
8、值变量的方法称为回归分析。,Regression 的原始释义,回归分析与相关分析,理论和方法具有一致性；无相关就无回归，相关程度越高，回归越好；相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。,联系：,相关分析中x与y对等，回归分析中x与y要确定自变量和因变量；相关分析中x、y均为随机变量，回归分析中只有y为随机变量；相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。,回归分析与相关分析,区别：,注意,我们不能把回归分析看作是在变量间建立一个因果关系的过程。回归分析只能表明，变量是如何或者是以怎样的程度彼此联系在一起的。有关因果关系的任何结论，必须建立在理论分析的基础之上。,回归分析的种
9、类,Simple Linear regression,总结：一元线性回归模型,对于经判断具有线性关系的两个变量y与x，构造一元线性回归模型为：,假定E()=0，有总体一元线性回归方程：,一元线性回归方程的几何意义,总体一元线性回归方程:,样本一元线性回归方程：,以样本统计量估计总体参数,截距表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素对因变量y的平均影响；回归系数表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变动多少个单位。,总体回归直线与样本回归直线,Y,X,在满足一系列假设条件的情况下，最小二乘估计量是方差最小线性无偏估计量。需要的基本假设条件包括：1、2、对于所有的x，的方差 相等3、与X之间不相
10、关4、之间不相关5、服从正态分布,一元线性回归模型的统计假设,一元线性回归模型的估计,总体回归直线是未知的，它只有一条；而样本回归直线则是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归直线。在总体参数未知的情况下，如何保证样本回归系数尽可能接近总体参数的真实值？在回归分析中最常用的估计方法是最小二乘法。,的意义,为残差：点到直线的纵向距离。,最小二乘估计,通过使残差平方和达到最小来求得,最小二乘估计,将Q对和求偏导数并令其等于零，可以得到正规方程组（Normal Equations）。,解这个方程组可得：,注意的符号与相关系数r是一致的。,直线的起点值（不变费用）当产量每增加100
11、0件时，单位成本平均降低1.82元件。,一元线性回归方程的评价和检验,拟合优度 1、决定系数 2、估计标准误差显著性检验 3、t检验 4、F检验,决定系数为：,决定系数的取值,R2的取值范围是0，1。R2越接近于1，表明回归平方和占总离差平方和的比例越大，回归直线与各观测点越接近，回归直线的拟合程度就越好。在一元线性回归中，相关系数r的平方等于判定系数，符号与自变量x的系数一致。因此可以根据回归结果求出相关系数。所有的回归程序都会给出R2的值.,本学期课程结束,本学期内容,第2章+搜集数据,第3章+用图表展示数据,第4章+用统计量描述数据,第6章+参数估计,第7章+假设检验,第8章+一元线性回归,第9章+时间序列,第5章+概率分布,描述统计,抽样推断,下次课带上做好的第4、8、5与6、9章题库来上课,统计学期末考试,一、单选（每小题2分，共30分，15题）二、名词（第小题3分，共15分，5题）三、简答（每小题5分，共15分，3题）五、计算题（每题10分，共40分，4题，要求写出公式、算式）,
