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1、第二章 统计,我们生活在一个数字化时代，时刻都在和数据打交道，例如，产品的合格率，农作物的产量，商品的销售量，电视台的收视率等.你知道这些数据是怎么来的吗？实际上他们是通过调查获得的。怎样调查呢？是对考察对象进行全面调查吗？例如，为了了解一批计算器的使用寿命，我们能将它们逐一测试吗？很明显，这既不可能，也没必要，实践中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且许多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一个样本，通过样本来了解总体的情况，于是，如何设计抽样方法，使从总体中抽取的样本能够真正代表总体，是我们需要研究的课题.否则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会出现错误。,那么，（1
2、）怎样从总体中抽取样本呢？（2）如何表示样本数据呢？（3）如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征等），来 推断总体的情况呢？这些正是本章要研究解决的问题。,思考：,要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗？应该怎样判断？,将锅里的汤“搅拌均匀”，品尝一小勺就知道汤的味道，这是一个简单随机抽样问题，对这种抽样方法，我们从理论上作些分析.,高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体.否则调查结果就会出现较大偏差。,在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿 和罗斯福中谁将当选下一届总统。为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人
3、发了调查表（在1936年电话和汽车只有少数富人拥有），通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎。于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜。实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜。其数据如下：,思 考,问题：如何科学地抽取样本？使得样本能比较准确地反映总体,搅拌均匀使得每个个体被抽取的机会均等合理、公平,简单随机抽样,回顾(初中知识):总体、个体、样本、样本容量的概念:,总体：所要考察对象的全体。,个体：总体中的每一个考察对象。,样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。,样本容量：样本中个体的数目。,简单随机抽样的概念,设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n
4、N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，这种抽样方法叫做简单随机抽样。,注意以下四点：,（1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限；（总体有限）,（2）它是从总体中逐个进行抽取；（逐个抽取）,（3）它是一种不放回抽样；（不放回）,（4）它是一种等概率抽样。(机会均等),C,及时检测一：下列抽取样本的方式是属于简单随机抽样的是（）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；盒子有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验 后，再把它放回盒子里；从8台电脑中不放回的随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）A.B.C.
5、D.以上都不对,最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数法,现从我们班64名同学中选取10名参加一项趣味活动,为保证选取的公平性，你打算如何操作?,抽签决定,实 例 一,开始,抽签法,64名同学从0到63编号,制作编号为0到63的号签（共64个）,将64个号签搅拌均匀,随机从中逐一抽出10个号签,与所抽取号码一致的学生即被选中,结束,抽签法的一般步骤：,（1）将总体中的N个个体编号；,（2）将这N个号码写在形状、大小相 同的号签上；,（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；,（4）从箱中每次抽出1个号签，连续抽出n次；,（5）将总体中与抽到的号签编号一致的n个个体取出。,（总体个数N，样本容
6、量n）,思考：,你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？,用抽签法抽取样本时，编号的过程有时可以省略(如果已有编号)，但制签的过程就难以省去了，而且制签也比较麻烦，有简化制签的方法吗？,简化制签过程的一个有效方法就是制作一个表，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表，于是，我们只需要按一定的规则到随机数表中选取号码就可以了，这种抽样方法叫做随机数表法,例：要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验。,随机数表法,随机数表：,制作一个表(由数字0，1，2，.，9组成),表中各个位置上的数都是随机产生的（随机
7、数）即每个数字在表中各个位置上出现的机会都是一样。,随机数表,教材103页,范例：要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,用随机数表法抽取的过程如下,第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,799,第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第8行第7 列的数7.(为了便于说明,下面摘取了附表1的第6行至第10行）,第三步,从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等）,得到一个 三位数 785,由于785799,说明号码785在总体内,将它取出;继续向右读,得到916,由于916799,将它去掉,按照这种方法继续向右读
8、,又取出567,199,507,依次下去,直到样本的60个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为60的样本.,随机数表法,随机数表：,表由数字0，1，2，.，9组成,表中各个位置上的数都是随机产生的（随机数）即每个数字在表中各个位置上出现的机会都是一样。,第一步、先将总体中的所有个体(共有N个)编号，第二步、然后在随机数表内任选一个数作为开始,第三步、再从选定的起始数，沿任意方向取数(不在 号码范围内的数、重复出现的数必须去掉)，第四步、最后根据所得号码抽取总体中相应的个体，得到总体的一个样本.,步 骤：,编号、选数(起始数)、取数、抽取.,巩固练习,2.欲从本校100位教师中随机抽取20位参
9、加党的基本知识竞赛，试用随机表法确定这20位教师,1.中央电视台要从春节联欢晚会的60名热心观众中随机抽出4名幸运观众，试用抽签法为其设计产生这4名幸运观众的过程.,点评：随机数表法编号、选数、取数、抽取，其中取号位置与方向具有任意性.,点评：抽签法编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；,系统抽样,简单随机抽样的概念,适用范围：总体中个体数较少的情况，抽取的样本容量也较小时。,复习回顾：,一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。,用抽签法抽取样本的步骤：,简记为：编号；制签；
10、搅匀；抽签；取个体。,用随机数表法抽取样本的步骤：,简记为：编号；选数；读数；取个体。,知识回顾,1、简单随机抽样包括_和_.,抽签法,随机数表法,2、在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是（）。A.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大B.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小C.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本无关,C,思考1：某中学高一年级有12个班，每班50人，为了了解高一年级学生对老师教学的意见，教务处打算从年级600名学生中抽取60名进行问卷调查，那么年级每个同学被抽到的概率是多少？,思考2：你能用简单随机抽样对上述问题进行抽样吗？具
11、体如何操作？,思考3：联想到学校每学期选派学生评教评学时的做法，你还有什么方法对上述问题进行抽样？你的抽样方法有何优点？体现了代表性和公平性吗？,思考4：如果从600件产品中抽取60件进行质量检查，按照上述思路抽样应如何操作？,第二步，将总体平均分成60部分，每一部分含10个个体.,第四步，从该号码起，每隔10个号码取一个号码，就得到一个容量为60的样本.（如8，18，28，598）,第三步，在第1部分中用简单随机抽样抽取一个号码（如8号）.,第一步，将这600件产品编号为1，2，3，600.,思考5：上述抽样方法称为系统抽样，一般地，怎样理解系统抽样的含义？,系统抽样：当总体的个体数较多时，
12、采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体平均分成几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法称为系统抽样（等距抽样）。,系统抽样的特点：,（1）用系统抽样抽取样本时，每个个体被抽到的可能性是相等的，,（2）系统抽样适用于总体中个体数较多，抽取样本容量也较大时；,（3）系统抽样是不放回抽样。,个体被抽取的概率等于,思考1：用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？,将总体中的所有个体编号.,思考2：如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不能均衡分成60部分，对此应如何处理？,先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成6
13、0部分.,思考3：用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成多少段，每段各有多少个号码？,思考4：如果N不能被n整除怎么办？,从总体中随机剔除N除以n的余数个个体后再分段.,思考5：将含有N个个体的总体平均分成n段，每段的号码个数称为分段间隔，那么分段间隔k的值如何确定？,总体中的个体数N除以样本容量n所得的商.,用简单随机抽样抽取第1段的个体编号.在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k.,思考6：用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以后各段的个体编号怎样抽取？,思考7：一般地，
14、用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？,系统抽样的步骤：,（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号按一定的间隔(设为K)分段,当(N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数时，;当不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数 能被n整除,这时,，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）将编号为的个体抽出。,简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加间隔获取样本。,思考8：系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点？(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施,可节约抽样成本;(2)系统抽样的效果会受
15、个体编号的影响，而简单随机抽样的效果不受个体编号的影响；系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关,而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关.如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性,可能会使系统抽样的代表性很差.例如学号按照男生单号女生双号的方法编排,那么,用系统抽样的方法抽取的样本就可能会是全部男生或全部女生.(3)系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广.,例 某中学有高一学生322名，为了了解学生的身体状况，要抽取一个容量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？,第一步，随机剔除2名学生，把余下的320名学生编号为1，2，3，320.,第四步，从该号码起，每间隔8个号码抽取1个号码，
16、就可得到一个容量为40的样本.,第三步，在第1部分用抽签法确定起始编号.,第二步，把总体分成40个部分，每个部分有8个个体.,2、采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量50的样本，则在抽样过程中，被剔除的个体数为（），抽样间隔为（）。,3,20,练习：1、某工厂生产产品，用传送带将产品送放下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是（）。A.抽签法 B.随机数表法C.系统抽样 D.其他,C,3、为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A、40B、30C、20D、1
17、24、为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目（）A、2B、4C、5D、6,A,A,5、用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为（）A、1/1000 B、1/1003C、50/1003D、50/10006、从N个编号中抽取n个号码入样，用系统的方法抽样，则抽样的间隔为（）A、N/nB、nC、N/n D、N/n+1说明：N/n表示N/n的整数部分。7、从已编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取
18、的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能为（）A、5，10，15，20，25B、3，13，23，33，43C、1，2，3，4，5D、2，4，6，16，32,C,C,B,8、(2004年福建省高考卷)一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，99，依编号顺序平分成10个小组，组号依次为1，2，3，10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同。若m6，则在第7组中抽取的号码为,63,解析:依编号顺序平均分成的10个小组分别为09,1019,2029,3039,4049,5059,606
19、9,7079,8089,9099.因第7组抽取的号码个位数字应是3,所以抽取的号码是63.这个样本的号码依次是6,18,29,30,41,52,63,74,85,96这10个号.,分层抽样,某市有大型、中型与小型的商店共1500家，它们的数目之比为2：11：17，要了解商店的每日零售额情况，要求抽取其中的30家进行调查，应当采用怎样的抽样方法？由于各类商店的零售额有较大的差别，因此考虑采用分层抽样的方法。,一、分层抽样,当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比
20、例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽样能使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的抽样方法。,例如，某中学高中学生有900名，为了考察他们的体重状况，打算抽取容量为45的一个样本。已知高一有400人，高二有300人。高三有200人，采用分层抽样。样本容量与总体容量的比是45：900=1：20，所以在高一、高二、高三3个层面上取的学生数分别为20，15，10人。当有些层面上抽取的学生数用除法算出的结果不是整数时，可作细微调整。,例如上例中高一、高二、高三的学生数分别为402，296，202，则三个层面上用上面方法求得的数目分别为20.1，14.8，10.1.每
21、层还是分别按20，15，10名学生抽取。在每个层面上抽样时，可以采用简单随机抽样的方法。,分层抽样的特点：,（1）适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况；（2）抽取的样本更好地反映了总体的情况;,（3）是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是,分层抽样的步骤:,（1）根据已经掌握的信息，将总体分成若干个互不相交的层；,（2）根据总体中的个体数N和样本容量n，计算抽样比k=；,（3）确定第i层应该抽取的个体数目ni=Nik（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；,（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本。,例1.某政府机关有在编人
22、员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人。上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作。,解：因为抽样比k=1：5，应从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，工人中抽取4人。因副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按110编号和120编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，69编号，然后用随机数表法抽取14人。,二、三种抽样方法的比较,（1）简单随机抽样：简单随机抽样是最基本的抽样方法，其他的各种随机抽样方法中，大都会以某种形式引用它。,（2）系统抽样：系统抽样比其他
23、随机抽样方法更容易施行，可节约抽样成本；系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关，如果编号的个体特征随编号变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差；,系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广，它可以应用到个体有自然编号，但是总体中个体的数目却在抽样时无法确定的情况（如生产线上产品的质量检验）。,（3）分层抽样：充分利用了已知的总体信息，得到的样本比前两种方法有更好的代表性，并且可得到各层的子样本以估计各层的信息。,上述三种抽样方法的比较如下表所示：,例2 选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程。（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样。（2）有甲厂生产的
24、30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个。抽取3个入样。（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样。（4）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样。,（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样。,解：（1）总体由有差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法。,（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个。抽取3个入样。,解：（2）总体容量较小，用抽签法。,（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样。,解：（3）总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法。,解：（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法。,（4）有甲厂生产的300个篮球，抽
25、取30个入样。,练习题：,1.一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为431，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为_.,20、15、5,2.从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的机率为0.25，则N等于（）A.150B.200C.120D.100,C,3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n=。,80,4.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=.,192,
