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1、空,间,几,何,体,第,一,章,本章内容,1.1 空间几何体的结构,1.2 空间几何体的三视图和直观图,1.3 空间几何体的表面积与体积,第一章小结,本章小结,本章小结,知识要点,例题选讲,补充练习,复习参考题,自我检测题,1.多面体和旋转体,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.,由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.,棱柱,棱锥,棱台是多面体.,圆柱,圆锥,圆台是旋转体.,返回目录,2.棱柱的几何特征,(1)有两个面平行;,(2)其余各面都是四边形;,(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.,3.棱锥的几何特征,(1)有一个面是多边形.,(2)其余
2、各面都是三角形.,(3)这些三角形都有一个公共顶点.,4.棱台的几何特征,(2)侧棱交于一点.,(1)两底面平行.,(3)各侧面是梯形.,5.圆柱的结构特征,(1)两底面是圆且平行全等.,(2)母线互相平行且平行于轴.,(3)母线、轴、母线端点与底面圆心的连线,四线围成矩形.,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.,6.圆锥的结构特征,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.,(1)底面是圆.,(3)母线、底面圆半径、轴围成直角三角形.,(2)母线长相等.,7.圆台的结构特征,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆
3、锥,底面与截面间的部分叫做圆台.,(2)各母线与轴交于一点.,(1)两底面是相互平行的圆,(3)轴,母线,上、下底面圆半径,构成直角梯形.,8.球的结构特征,以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.,(1)过球心的截面是个圆(大圆),圆心即球心,圆半径即球半径;,(2)不过球心的截面也是圆(小圆).,9.三视图,正视图:,从前向后正面观看效果.,侧视图:,从左向右观看效果.,俯视图:,从上向下观看效果.,10.斜二测画平面图形的水平放置直观图,(1)在原图上恰当建立直角坐标系;,(2)在所画图位置建立45斜角坐标系;,(3)在斜角坐标系中取点连线:,保持与各坐标轴平行
4、,平行于 x 轴的长不变,平行于 y 轴 的长减半;,(4)擦去坐标系和辅助线.,圆的水平放置图为椭圆.,11.斜二测画立体图形的直观图,(1)画出底面的水平放置图;,(2)添加 z 轴;,(3)画竖直线段平行 z 轴,长不变;,(4)连接各线段;,(5)擦去坐标系和辅助线.,12.棱柱、棱锥、棱台的表面积,表面积为各个面多边形的面积之和.,13.圆柱、圆锥、圆台的表面积,底面积加侧面积.,底面积:S底=p r2.,圆柱侧面积:S柱侧=2p rh.,圆锥侧面积:S锥侧=p rl.,圆台侧面积:S台侧=p l(r+r).,柱体体积:V柱=Sh.,锥体体积:,台体体积:,14.柱体、锥体、台体体积
5、,15.球的体积,16.球的表面积,S表球面=4pR2.,例题选讲,返回目录,例 1.将正方体(如图 1)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为(),看投影效果:,D1D 投影.,B1B 投影.,D1,D,B,B1,D1B1 投影.,AD、BC 投影.,C,A,AD1 投影(可见).,B1C 投影(不可见).,B,分析:,由正视图可知:,排除 A,B 选项;,由俯视图可得,D 选项正确.,D,分析:,根据题设描述,可画出三棱柱的直观图.,D,D1,设棱长为 a,则底面三角形的高,CD=,体积,解得 a=2.,则左视图是,矩形CDD1C1,其面积 S=CDC1C.,B,则
6、左视图的矩形面积 S=,例4.已知一个几何体的三视图如图所视,则该几何体的体积为()(A)(B)3p(C)(D)6p,分析:,由三视图画出几,何体的直观图.,分为两部份求体积,下面是圆柱,上面是相,同圆柱的一半.,其体积为,V=12p 2,=3p.,B,例5.已知两个圆锥有公共的底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个圆面上,若两圆锥的体积之和为 6,且底面积是这个球面面积的 则这个球的体积为.,解:,根据题设画出直观图.,两圆锥的体积之和,联列解方程组得,则球的体积为,=16.,16,补充练习,返回目录,共10题,1.一个几何体的正视图和侧视图都是一个矩形,则这个几何体可能是下列几何体中的
7、.棱锥;棱柱;圆锥;圆柱;球.,分析:,A,B,C 选项都有可能是俯视图,只有 D 选项不可能.,D 选项对应的正视图应如图:,D,分析:,由正视图知,几何体的正背后不可能是,圆柱,排除 A,B 选项.,由俯视图知侧视图中间的一条棱可见,应是实线,排除 C 选项.,直观图效果如图:,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,C,D,A,B,C,D,分析:,在直观图上标出对应左视图的字母.,标出选项中左视图的字母.,观察直观图中,连线段都是连接各顶点的,所以应选 D 选项.,D,排除 A,B 选项.,直观图中没有AC的连线,只有BD的连线,分析:,由正视图排除 A,
8、C 选项.,由侧视图知应选,B,B 选项.,6.一个锐角为30的直角三角形,其斜边长为4,以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于.,30,A,B,C,D,解:,所得旋转体是两个同底,的圆锥的组合体(如图).,其体积为,在 RtABC中,AB=4,BAC=30,可求得 BC=2,则斜边上的高 CD=,几何体的体积为,=4p.,4p,解:,2,1,画出三棱柱的直观图,其侧面积是三个全等的矩形面积,之和:,S侧=321,=6.,D,解:,画出几何体的直观图.,几何体是由一个半球,和一个圆锥组成.,半球半径与圆锥,底面半径 r=3,圆锥母线 l=5.,表面积 S=2p r2+,=33p.,33p,解
9、:,画出四面体的直观图.,S,A,B,C,4,3,SSAB=,SABC=,SSAC=,SSBC=,C,4,法二:先画好一个正方体,把“上”放在上底面,法一:用一张演草纸写上图上的字和符号折一下.,然后按图中的折法放另外的字和符号.,上,符号在后面的平面内,按方位即可知道是北方,(这里用了一个小小的地理知识).,东,复习参考题,返回目录,复习参考题,A 组,1.填空题(1)伐木工人将树伐倒后,再将枝杈砍掉,根据需要将其截成不同长度的圆木,圆木可以近似地看成是 体.(2)用铁丝作一个三角形,在三个顶点上分别固定一个筷子,把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形,从而获得一个几何体模型,如果筷子的
10、长度相同,那么这个几何体可能是.,圆柱,三棱柱,(3)正方形边长扩大到原来的 n 倍,其面积扩大到原来的 倍;正方体棱长扩大到原来的 n 倍,其表面积扩大到原来的 倍;体积扩大到原来的 倍.,正方形:,原边长为 a,扩大后边长为 na.,原面积:a2,扩大后面积:(na)2,=n2a2.,面积扩大为原来的 n2 倍.,n2,正方体:,原棱长为 a,扩大后边长为 na.,原面积:6a2,扩大后面积:6(na)2,=n2(6a2).,表面积扩大为原来的 n2 倍.,n2,原体积:a3,扩大后面积:(na)3,=n3a3.,体积扩大为原来的 n3 倍.,n3,(4)圆半径扩大到原来的 n 倍,其面积
11、扩大到原来的 倍;球半径扩大到原来的 n 倍,其表面积扩大到原来的 倍;体积扩大到原来的 倍.,圆:,原半径为 r,扩大后半径为 nr.,原面积:pr2,扩大后面积:p(na)2,=n2(pa2).,面积扩大为原来的 n2 倍.,球:,原半径为 R,扩大后半径为 nR.,原面积:4pR2,扩大后面积:4p(nR)2,=n2(4pR2).,表面积扩大为原来的 n2 倍.,扩大后体积:,体积扩大为原来的 n3 倍.,n2,原体积:,n2,n3,(5)圆柱的底面不变,体积扩大到原来的 n 倍,则高扩大到原来的 倍;反之,高不变,底面半径扩大到原来的 倍.,原底面积为 S,高为 h,体积为 Sh.,扩
12、大后体积为 nSh,=S(nh).,则扩大后的高为 nh,扩大为原来的 n 倍.,n,原底面半径为 r,高为 h,体积为 pr2h.,扩大后体积为 n(pr2h),扩大后的底面半径为 扩大为原来的 倍.,2.仿照下图(1),画出(2)、(3)、(4)中 L 围绕 l 旋转一周形成的空间几何体:,3.已知几何体的三视图如下,画出它的直观图.,4.按第 3 题的三视图,用硬纸制作模型,并将它们设计成学习用品或装饰物.,(略),5.如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,并且底面是正三角形,如果圆柱的体积是 V,底面直径与母线长相等,那么三棱柱的体积是多少?,D,解:,设圆柱底面半径为
13、r,则,母线长为 2r,V=p r22r=2pr3,得,如图,CD为直径时,CAD=90,ACD=30,则,可算得ABC的高为,则 V三棱柱=,(答略),解:,一个漏斗所需的铁皮为圆台,=1225p(cm2),1 万个漏斗所用铁皮为,12250000p cm2,侧面积,3798 m2.,答:制作 1 万个这样的接头约需3798平方米的铁皮.,7.三个直角三角形如图放置,它们围绕固定直线旋转一周形成几何体,画出它的三视图,并求出它的表面积和体积.,正视图,侧视图,俯视图,解:,旋转后的几何体如图,7.三个直角三角形如图放置,它们围绕固定直线旋转一周形成几何体,画出它的三视图,并求出它的表面积和体
14、积.,解:,三角形斜边是圆锥母线长,三个圆锥的母线长分别是,则表面积 S=,388.,体积 V=,176.,8.用硬纸依据如图所示(单位:cm)的平面图形制作一个几何体,画出该几何体的三视图并求出其表面积.,解:,所制作的几何体,上面是个圆锥,下面是个圆,柱的组合体(如图).,正视图,则视图,俯视图,表面积 S=,=27p,85(cm2).,9.一个红色的棱长是 4 cm 的立方体,将其适当分割成棱长为 1 cm 的小正方体,问:(1)共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体?(2)三面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(3)二面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(4)一面涂色
15、的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(5)六个面均没有涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?它们占有多少立方厘米的空间?,解:,(1),小正方体共有,444=64(个).,如图,(2),八个顶点处的小正方体三面涂色,每个小正方体的表面积为 6 cm2,共有 8 个三面涂色的小正方体,其表面积之和为 68=48(cm2).,9.一个红色的棱长是 4 cm 的立方体,将其适当分割成棱长为 1 cm 的小正方体,问:(1)共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体?(2)三面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(3)二面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(4)一面涂色的小正方体有多
16、少个?表面积之和为多少?(5)六个面均没有涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?它们占有多少立方厘米的空间?,解:,(3),大正方体每条棱上除了顶点,外的小正方体都是两面涂色,共有,212=24(个).,表面积之和为 624=144(cm2).,9.一个红色的棱长是 4 cm 的立方体,将其适当分割成棱长为 1 cm 的小正方体,问:(1)共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体?(2)三面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(3)二面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(4)一面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(5)六个面均没有涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多
17、少?它们占有多少立方厘米的空间?,解:,(4),大正方体每个面的中间有,46=24(个),其表面积之和为 624=144(cm2).,4个小正方体是一面涂色的,共有,9.一个红色的棱长是 4 cm 的立方体,将其适当分割成棱长为 1 cm 的小正方体,问:(1)共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体?(2)三面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(3)二面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(4)一面涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?(5)六个面均没有涂色的小正方体有多少个?表面积之和为多少?它们占有多少立方厘米的空间?,解:,(5),去掉涂有色的就是没有涂色的,64-8
18、-24-24=8(个),其表面积之和为 68=48(cm2).,其体积之和为 18=8(cm3).,即没涂色的小正方体共占 8 立方厘米的空间.,10.直角三角形三边长分别是 3 cm,4 cm,5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积.,解:,旋转后的效果如图.,(1),(2),(3),(1)的三视图:,正视图,则视图,俯视图,表面积:,=36p(cm2).,体积:,=16p(cm3).,10.直角三角形三边长分别是 3 cm,4 cm,5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三
19、视图,求出它们的表面积和体积.,解:,旋转后的效果如图.,(1),(2),(3),(2)的三视图:,正视图,则视图,俯视图,表面积:,=24p(cm2).,体积:,=12p(cm3).,10.直角三角形三边长分别是 3 cm,4 cm,5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积.,解:,旋转后的效果如图.,(1),(2),(3),(3)的三视图:,正视图,则视图,俯视图,表面积:,=16.8p(cm2).,体积:,=9.6p(cm3).,r,斜边上的高,B 组,1.由 8 个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,并且有四个顶
20、点 A,B,C,D 在一个平面内,ABCD 是边长为 30 cm 的正方形.(1)想象几何体的结构,并画出它的三视图和直观图;(2)求出此几何体的表面积和体积;(3)用硬纸制作这个模型.,B 组,1.由 8 个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,并且有四个顶点 A,B,C,D 在一个平面内,ABCD 是边长为 30 cm 的正方形.(1)想象几何体的结构,并画出它的三视图和直观图;,解:,几何体如图:,直观图:,正视图,侧视图,俯视图,30,B 组,1.由 8 个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,并且有四个顶点 A,B,C,D 在一个平面内,ABCD 是边长为 30 cm 的正方形.,解
21、:,求得每个正三角形的高为 h斜高=,直观图:,(2)求出此几何体的表面积和体积;,30,则表面积为 S=,体积 V=,一个棱锥的高 h=,B 组,1.由 8 个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,并且有四个顶点 A,B,C,D 在一个平面内,ABCD 是边长为 30 cm 的正方形.,提示:,直观图:,30,(3)用硬纸制作这个模型.,将硬纸剪裁成如图形状,沿虚线折起.,解:,水槽容积为,806055,V水槽=,=264000(cm3),三分之二球的体积为,43633(cm3),=243633(cm3),V水槽,答:水不会流出水槽.,3.你见过如图所示的纸篓吗?仔细观察它的几何结构,可以发
22、现,它可以由多条直线围成,你知道它是怎么形成的吗?,解:,如图,取正方体上下底面,的中心连线OO为转轴,旋转某一,侧面的对角线段AB,得到的旋转面,即是所示纸篓.,效果如图.,5,x,解:,棱锥底面正,方形的边长为 x cm,棱锥的高为,则容积 V=,自我检测题,返回目录,【自我检测题】,一、选择题:1.下列命题中正确的是()(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱(D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,A 选
23、项错.,如图:,一、选择题:1.下列命题中正确的是()(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱(D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,B 选项错,如图:,前后两个面平行,其他各面是平行四边形,但这些四边形每相邻两个面的公共边不都互相平行.,一、选择题:1.下列命题中正确的是()(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有两个面平行,其余各面
24、都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱(D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,C 选项对,符合棱柱特征.,D 选项错,所截平面没确定平行于底面.,C,2.如下图所示,最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的截面图形可能是(),(A)(B)(C)(D),分析:,沿轴截下,平行于轴截下,D,截面为.,截面为.,3.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边的长为 1,那么这个几何体的体积为()(A)(B)(C)(
25、D)1,A,B,C,解:,画出直观图.,S,C,S,C,底面积 SABC=,棱锥高为 SC=1,则体积为,A,4.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()(A)(B)(C)(D)p,解:,如图,内接正方体的对角线,长就是球的直径 2R.,设正方体的棱为为 a,则 a2+a2+a2=(2R)2,解得,球的表面积为 S球表面=4pR2,正方体表面积为 S正表面=6a2,C,分析:,在上下底面投影为,A选项.,在左右侧面投影为,C 选项.,在前后正面投影为,B 选项.,D,解:,三部分是横放的三个棱柱,其高相等.,=6AE.,=12EB.,则 AE:EB=1:2,得 AE=2,于是得,则截面 A
26、1EFD1 的面积为,S=A1EAD,B,二、填空题:7.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是.,G,E,F,三棱锥,如图:,8.两个球的体积之比为 8:27,那么这两个球的表面积之比为.,设两球的半径分别为 R1,R2.,解:,4:9,9.平行投影与中心投影的不同之处在于:平行投影的投影线,而中心投影的投影线.,互相平行,交于一点,三、解答题:10.已知长方体的全面积为 11,十二条棱长之和为 24,求这个长方体的对角线的长.,解:,如图,设同一顶点的三条棱长,分别为 a,b,c,则对角线长为,a,b,c,2(ab+bc+ac)=11
27、,又 4(a+b+c)=24,(a+b+c)2=36,a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=36,a2+b2+c2=25,对角线的长为 5.,11.已知一个半径为 的球有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上),求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比.,解:,如图,内接正方体的对角线,设正方体的棱为为 a,解得 a=2.,球的表面积为 S球表面=,正方体表面积为 S正表面=6a2,长就是球的直径,则对角线,=24,即球面面积与正方体全面积之比为,12.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的.(1)DC1D1 在图中的度数和它表示的
28、角的真实度数都是 45,对吗?(2)A1C1D 的真实度数是 60,对吗?(3)设 BC=1 m,如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少体积的水?,答:(1)是对的,正方体侧面CDD1C1,为正视图,形状不变.,(2)是对的,形的对角线相等,即 A1C1=C1D=DA1,等边三角形一内角等于60.,因为三个全等的正方,12.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的.(1)DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数都是 45,对吗?(2)A1C1D 的真实度数是 60,对吗?(3)设 BC=1 m,如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少体积的水?,装置如图放置,盛水部分为三棱锥,C-C1B1D1,其体积为,答:最多能盛 的水.,(3),完,耶！这一章完啦！,
