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1、概率与统计,开课系：理学院 统计与金融数学系课程主页:http:/教师:陈萍e-mail:Probstat,教材：概率与统计陈萍 等编科学出版社2002,参考书：1.概率论与数理统计浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社2.概率论与数理统计三十三讲魏振军 编中国统计出版社,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性,1.1随机事件及其概率一、随机试验(简称“试验”),随机试验的特点(p2)1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所
2、有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。,随机实验的例,随机事件,二、样本空间(p2),1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.3.由一个样本点组成的单点集称为一个
3、基本事件,也记为e.,EX 给出E1-E7的样本空间,幻灯片 6,随机事件,1.定义(p3定义1.1.2)试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如 对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xT
4、(小时）。,三、事件之间的关系,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,1.包含关系(p4)“A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,2.和事件：(p4)“事件A与B至少有一个发生”，记作AB,2n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,3.积事件(p4):A与B同时发生，
5、记作 ABAB,3n个事件A1,A2,An同时发生，记作 A1A2An,4.差事件(p5)：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,5.互斥的事件(p5)：AB,6.互逆的事件(p5)AB,且AB,五、事件的运算(p5),1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,1.2 概率的定义及其运
6、算,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？,(p6)若某实验E满足1.有限性：样本空间Se1,e 2,e n;2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型与概率,设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质(P7),(1)0 P(A)1；(2)P()1；P()=0(3)AB，则 P(A B)P(A)P(
7、B),古典概型中的概率(P7):,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,二、古典概型的几类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列：从
8、含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率
9、是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,P9,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中
10、在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？,?,定义:(p9)事件A在n次
11、重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即 fn(A)nA/n.,1.3 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若AB，则 fn(AB)fn(A)fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时
12、，fn(A)逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,1.3.2.概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,1.定义(p10)若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；(2)P(S)1；(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.(1.1)则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质
13、P(10-13)(1)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);,(3)事件差 A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB),(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B),(4)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3)互补性：P(A)1 P(A);(5)可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的3
14、0%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,EX,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,若已知第一个人取到的是白球，则
15、第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,S=,A,B,A第一次取到红球,B第二次取到红球,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事
16、件B发生的条件概率(p14),一般地，设A、B是S中的两个事件，则,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)P(A)?何时P(A|B)P(A)?,概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：P(A)0；(2)P(S)1;(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。,例2.(p14)一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只
17、红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球.B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,二、乘法公式(p15),设A、BS，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.4.4),例3 合中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次
18、取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,三、全概率公式与贝叶斯公式,例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,定义(p17)事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1、(p17)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS有,式(1.4.5)就称为全概率公式。,例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有
19、两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2(p18)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有,式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,(P22,22.)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一
20、箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A-发射端
21、发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号,0(0.55),0 1 不清,(0.9)(0.05)(0.05),1(0.45),1 0 不清,(0.85)(0.05)(0.1),条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,1.5 事件的独立性一、两事件独立,(P19)定义1 设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2),从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？,定理、以下四件事等价：(1)事件
22、A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,二、多个事件的独立,定义2、(p20)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),(1.5.3)则称事件A、B、C相互独立。,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.5.4)则称n个事件
23、A1，A2，An相互独立。,思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,答:0.518,0.496,三、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则(1.5.5),2、在可靠性理论上的应用P23,24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？,第一章 小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成,
