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1、由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。,假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为,4.2随机变量的方差,容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？,直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定,一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。,对于甲选手，偏差绝对值之和为：,所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.
2、64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。,类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。,定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;,显然：E(X-EX)=0.,定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2 为X的方差,记为:,DX=E(X-EX)2,特别,记,x=,注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.,结合随机变量函数的数学期望可得:,(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则,DX=E(X-EX)2,(2)若X为连续型,Xf(x),则,DX=E(X-EX)2,随机
3、变量的方差,为X的标准差.,若X的取值比较分散，则方差较大.,若方差D(X)=0,则r.v.X 以概率1取常数值.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,方差的性质:,(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2,证明:(2)D(aX)=EaX-E(aX)2,=Ea(X-EX)2,=a2E(X-EX)2,=a2D(X),(4),DX=E(X-EX)2,=EX2-2X(EX)+(EX)2,=EX2-E2X(EX)+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(E
4、X)2,=EX2-(EX)2,EX2=DX+(EX)2,(常用于计算方差),(注:EX是常数),(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2,从而,证明：若X与Y相互独立,则已知,性质（5）可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当 相互独立时，成立,例1 对服从（01）分布的随机变量 X，分布列为,求 X 的方差。,已知 而且,则 X 的方差为,解,由上节中的例14 知 其中 服从同一（01）分布：,且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得：,解,例2 设随机变量 X 服从二项分布，试求,例 已知随机变量X服从二项分布，且E
5、（X）=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参 数n,p的值为（）n=4,p=0.6 n=6,p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.1,例设X表示 10次独立重复射击命中 目标的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则X2 的数学期望E（X2）=(),18.4,例3 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求,在本章第一节的例中我们已经知道,从而,解,例4 对服从a，b区间上均匀分布的随机变量X，计算,已知，且,解,从而,几何分布,而：,所以：,f(x),x,0,大,EX=，DX=2,正态分布期望和方差,例5 已知 求,由方差的定义可得,解,作代换 则,求EX和DX.,练习：设X
6、的密度 函数为,解得:EX=1,DX=2=1/2,练习:,1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则D(2X-Y)=().2.XN(3,1),YN(2,4),X,Y独立,则X-2Y+1().3.XP(2),YN(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立,则EZ2=().,解:,(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17所以,X-2Y+1N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4,EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或EZ2=DZ+(EZ)
7、2=6+16=22,27,N(0,17),4,22,例6.设X,求EX,DX.,解:(1)EX=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,DX=EX2-(EX)2,=7/6-1=1/6,练习：设X是一随机变量，E(X)=，D(X)=2(,0常数)，则对任意常数C，必有（）。,解:,E(X-C)2=EX2-2CX+C2,=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E(X)+C2=(EX)2+DX-2C E(X)+C2=2+2-2C+C2,=2+(-C)2,而,E(X-)2=,E(X-EX)2,=DX=,2,所以,(4)正确.,例7 设随机变量 X 的期望E（X）和方差D（X）都存在，则称,为
8、X 的标准化随机变量，试求 和,注意到 均为常数，再由期望及方差的性质可得：,解,可见，标准化随机变量的期望是 0，方差是1。因此，把随机变量标准化，可以使所讨,论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量 X 服从正态分布 把 X 标准化 则 服从标准正态分布,于是要求 X 落入某一区间的概率，只需由标准正态分布表查出 落入相应区间的概率即可，这一作法是我们早已熟知并已多少应用过的。,2.随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)EX,(2)DX,(3)EY,(4)DY.,课堂练习,3.,练习册 6某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均一个上 有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值 10元;疵点数大于1个不多余4个为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求产品为废品的概率以及产品的 平均价值.,解：设 X-疵点数,Y-产品价值.,则：EX=0.8,2在长为 的线段上任取两点，求两点间的距离的 数学期望和方差。,综合练习题 三、计算题,解：设所取两点分别为X,Y.则,又 X,Y相互独立，故,
