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1、,第 讲,1,映射与函数,第二章 函数,一、映射的概念与判定方法1.设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作.2.给定一个从集合A到集合B的映射，且aA，bB，如果元素a和b对应，那么元素b叫做元素a的，元素a叫做元素b的.,在集合B中都有唯一的元素与它对应,f:AB,原象,象,二、函数的三要素及其表示法1.函数的三要素是,，.判断两个函数是否为同一函数只需判定两点:和.2.函数的三种表示方法有、和.三、分段函数与复合函数,定义域,值域,对应法则,定义域是否相同,对应法则是否相同,解析法,列表法,图象法,1.如果一个函
2、数在定义域的不同子集中 因 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏.2.如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=fg(x)叫做复合函数，其中f(u)叫做 函数，g(x)叫做 函数.,对应关系,解析式,外层,内层,1.在映射f:AB中，下列判断正确的是()A.A中的元素a的象可能不止一个B.A中的元素a1和a2的象不可能相同C.B中的元素b的原象可能不止一个D.B中的元素b1和b2的原象可能相同 由映射的定义知，选C.,C,2.设集合M=-1,0,1,N=1,2,3,4,5，映射f:MN满足条件“对任
3、意的xM，x+f(x)是奇数”，这样的映射f个数是()A.125 B.243C.12 D.7 分三步：(1)当x=-1时，f(x)=2,4;(2)当x=0时，f(x)=1,3,5;(3)当x=1时，f(x)=2,4,所以映射f共有232=12个.,C,3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y=2x2+1，值域为9，1，3的“天一函数”共有()A.4个 B.8个C.9个 D.12个,C,分三步：(1)当y=1时，x=0;(2)当y=3时，x=1或x=-1或x=1;(3)当y=9时，x=2或x=-2或x=2,所以“天一函数”共有133=9个
4、.,题型一：映射与函数的概念1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：(1)A=R,B=x|x0，f:x|x|；(2)A=N,B=N，f:x|x-2|；(3)A=x|x0,B=R，f:xx2.,(1)0A，在法则f下，0|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2A，在法则f下，2|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意xA，依法则f:xx2B，故该对应是从集合A到集合B的映射.,点评：映射是一种特殊的对应，函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.对于函数：按某种对应法则f，从非空数集A到非空数集B的函数，要求A中的元素必须有象且唯一，而集
5、合B中的元素也必须有原象，可以有一个或多个.,下列从M到N的各对应法则fi(i=1，2，3，4)中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？,(1)M=直线Ax+By+C=0，N=R，f1:求直线Ax+By+C=0的斜率;(2)M=直线Ax+By+C=0，N=|0，f2:求直线Ax+By+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N=x|x0，f4:求M中每个元素的算术平方根.,(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M中任一元素Ax+By+C=0，该直线恒有唯一确定
6、的倾斜角，且0，)，故f2是从M到N的映射.但由于M不是数集，从而f2不是从M到N的函数.,(3)由于M中元素(kZ)的正切无意义，即它在N中没有象，故f3不是从M到N的映射，自然也不是函数.(4)对于M中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f4是从M到N的映射，又M、N均为非空数集，所以f4是从M到N的函数.,题型二：映射中的象或原象问题2.已知映射f:AB，其中A=B=R，对应法则f:xy=-x2+2x，对于实数kB，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是()A.k1 B.k1C.k1 D.k1,已知象k求原象x，即求方程-x2+2x=k的实数解.本题要求k在A中无原象，即方程在R中无实
7、根.由题意，方程-x2+2x=k在R中无实根，即x2-2x+k=0在R中无实根，所以=(-2)2-4k0，解得k1，所以当k1时，集合A中不存在原象，故选A.,点评：从集合A到集合B的映射，集合A中的元素一定在集合B中有元素对应，即集合A中的元素有象，而集合B中的元素，可以不与集合A中的元素对应，即B中的元素可以没有原象.,在映射f:AB中，已知A中元素(x，y)与B中的元素 对应.求：(1)A中的元素(1，3)的象；(2)B中的元素(-5，2)的原象.,(1)令x=1，y=3，则所以A中的元素(1，3)的象为(2，-1).(2)令则x=-3，y=-7，所以B中的元素(-5，2)的原象是(-3
8、，-7).,题型三：求映射的个数3.已知A=1，2，3，4，5，B=6，7，8.(1)从A到B的映射有多少个？(2)从B到A的映射有多少个？(1)由映射的概念及乘法原理知从A到B的映射共有35=243(个).(2)同理，从B到A的映射共有53=125(个).,点评：设集合A中的元素个数是m，集合B中的元素个数是n，则从集合A到集合B的映射个数是nm.,已知A=B=1，2，3，4，5，从A到B的映射f满足：f(1)f(2)f(5);f的象有且只有2个，则适合条件的映射的个数为()A.10 B.20 C.30 D.40,分步：在B中选定f下的两个象，有 种；确定A中元素在f下的原象，由条件将1，2
9、，3，4，5分前后两组，分别对应较小与较大的两个数，有 种分法，故有 个映射，选D.,题型 表格中的对应关系(原创)表中的数据x(x0)与y之间的对应关系是f：xax2+bx+c，根据表中的数据填空.则处的数据可以是，处的数据可以是.,由题意，可求得，所以x=4时，可得y=10；由y=5050及x0可得x=100.所以处填10；处填100.,1.判断对应是否为映射，要考虑两个要素，一是A中的每个元素是否都有象，二是每个元素的象是否唯一.如果A中存在一个元素没有象或有多个象，则该对应就不是映射.2.在分析映射f:AB中的元素的对应关系时，须注意A中不同的元素可以对应同一个象，B中的元素可以没有原象，即B中的元素可以“剩余”.,
