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1、第七章 数理统计的一些基本概念,第一节 基本概念第二节 抽样分布,前面六章我们讲述了概率论的基本内容，随后的几章将讲述数理统计数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断 数理统计的内容包括：1.如何收集、整理数据资料；2.如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断后者就是我们所说的统计推断问题。本书只讲述统计推断的基本内容。本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布,第一节 基本概念,一、总体与样本,总体（母体）：研究对
2、象的全体.个体：组成总体的每个元素.样本：从母体中抽取部分个体组成的集合.样本容量：样本中含有的个体的个数.,（1）样本具有二重性,（2）对样本的要求,注：,样本的观测值,样本,二、统计量与样本矩,1.统计量：不含任何未知参数的样本的函数.,注：统计量是随机变量.,如：,（1）样本均值(1),观测值记为,（2）样本方差(2),观测值记为,2.几个常用的统计量及其观测值,（3）样本r阶原点矩（3）,观测值记为,（4）样本r阶中心矩（4）,观测值记为,第二节 抽样分布,统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的
3、精确分布，一般来说是困难的.本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布.今后，我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用.,一、正态总体样本的线性函数的分布,二、三个重要分布,为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态分布导出的统计量中的三个重要分布，即 分布，分布，分布。1.分布设 是来自总体 的样本，则称统计量（1）服从自由度为 的 分布，记为,此处，自由度是指（1）式右端包含独立变量个数,分布的概率密度为,的图形如图63所示。,（2）,图6-3,此结论可推广：设 且相互独立,分布的可加性,（证明略）,则,若，则有,分布的数学期望和方差,因,故,因此,又,于是,则称点 为 的上 分位点,分
4、布的分位点,定义 设有分布函数,若对给定的,有,(6),当 有密度函数 时，式（6）可写成,(7),由上述定义得 分布的上 分位点为,(8),如图6-4所示，对于不同的 上 分位点的值已制成表格，可以查用.,图6-4,2.分布,设，且 独立,服从自由度为 的 分布,记为,分布又称为学生氏（student）分布,分布的概率密度函数为,(11),图6-5,的点 为 分布的上 分位点.(见图6-6),分布的分位点,对于给定的，称满足条件,（13）,图6-6,由 分布上 分位点的定义及 图形的对称性知,在 时，对于常用的 的值，就用正态近似,（14）,分布的上 分位点可自附表查得.,（15）,3.分布
5、,设,且 独立，,记为,（16）,的概率密度为,（17）,图6-7中画出了 的图形,由定义可知，若 则（18）,图6-7,分布的分位点,对于给定的,称满足条件,（19）,的点 为 分布的上 分位点(图6-8),图6-8,容易证明等式：,（20）,利用这个等式，查附录表，可以计算当,时的 的值,例如,F分布的上 分位点有表格可查.,三、正态总体统计量分布,研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量 的分布一般说来，要确定某个统计量的分布是困难的，有的甚至是不可能的然而，对于总体服从正态分布的情形已经有了详尽的研究.下面我们讨论服从正态分布的总体的统计量的分布.,假设 是来自正态总体 的样本
6、，即它们是独立同分布的,皆服从 分布,样本均值与样本方差分别是,定理1 设总体 服从正态分布，,即,则,因为随机变量 相互独立且与总体 服从相同的正态分布,证,所以,由正态分布的性质可知，它们的线性组合服从,正态分布,即,这个定理的证明从略.,推论1 设 是来自 的样本，则统计量,由定理1知，统计量,又由定理2知，统计量,因为 与 相互独立,证,于是，由 分布的定义可知，统计量,推论2 设 来自，来自 的两个独立样本，记,则统计量,由定理1可知，统计量,证,且 与 相互独立,由正态分布的性质知,即,又由定理2知：,因为 与 相互独立，与 相互独立,所以统计量 与 也相互独立,因为 与 相互独立，所以由 分布的可加性可知,统计量,于是，由 分布定义可知，统计量,由假设，相互独立，则由 分布的定义,证,由定理2,知,注：若两个正态分布的方差 与 不相等，,则统计量,
