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1、第七章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,重点,理解数学期望的概念，掌握它的性质与计算,了解二项分布、泊松分布、正态分布等的数学期望,数学期望这个名词由赌博而来。甲乙两人赌技相同，各出赌金100元，约定先胜三局者为胜，取得全部200元。现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止，问赌本该如何分？,若继续赌下去而不中止，则甲有3/4的机会(概率)取胜，而乙胜的机会为1/4。所以，在甲胜2局乙胜1局这个情况下，甲能“期望”得到的数目，为：,乙能“期望”得到的数目为：,若引入一个随机变量X，X等于在上述局面之下继续赌下去甲的最终所得，那么甲的“期望”所得，等于,“X的可能值与其概率之积的累加”,这就是“数
2、学期望”(简称期望)这个名词的由来。这个名词源出赌博，听起来不大通俗化，本不是一个很恰当的命名，但它在概率论中已源远流长获得公认，也就站住了脚跟。,例 某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每套200元，生产900套，另一种是高档装，每套1800元，生产100套，该公司生产套装平均价格是多少？,这种平均称为加权平均。,例 某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每套200元，生产900套，另一种是高档装，每套1800元，生产100套，该公司生产套装平均价格是多少？,若利用随机变量的观点，设X为该公司生产套装的单价，有,平均价格是该公司生产套装单价X的加权平均，在概率论中称为随机变量X的数学期望。
3、,离散型随机变量的数学期望,数学期望E(X),设离散型随机变量的概率分布为,Mathematical Expectation,定义,离散型随机变量,称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。,它是随机变量X的取值以概率为权的加权平均。,连续型随机变量X的数学期望E(X),连续型随机变量,定义,数学期望 它是一个数不再是 r.v.,X有分布,两点分布,例2 X B(n,p),求 E(X).,解,特例 若X B(1,p),则 E(X),二项分布,例3 X，求E(X)。,解,泊松分布的分布律为：,泊松分布,例4 X N(,2),求 E(X).,解,正态分布,常见 r.v.的数学期望,N(,2),随机
4、变量的函数的数学期望,定理 1：一维情形,离散型,连续型,概率密度为,例1 设随机变量X的分布律为,求。,例2,例 设随机变量X的分布律为,求。,解,因为,所以,例,解,数学期望的性质,.,C 为常数,.,.,特别地，,例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如果到达一个车站，没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）,解,引入随机变量，,则,由题意，任一旅客在第i站不下车的概率为,20位旅客都不在第i站下车的概率为,在第i站有人下车的概率为,即,所以,将X分解成数个随机变量之和，然后利用
5、随机变量和的数学期望等于数学期望之和来求。这种处理方法具有一定的普遍意义。,例(课本)将n个球随机地放入M个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。,练习,独立地操作两台仪器，它们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+p2,Step1.设随机变量X,设产生故障的仪器数目为X,Step2.求X的分布律,I.找出X的所有可能取值,X=0,1,2,II.计算每个取值的概率,P(X=0)=(1-p1)(1-p2),P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2,P(X=2)=p1 p2,E(X)=p1(1-p2)+(1-p1)p2+2p1
6、p2=p1+p2,Step 3.计算E(X),解,第二节 方差和标准差,重点,理解方差的概念，掌握它的性质与计算,了解二项分布、泊松分布、正态分布等的方差,期望反映了随机变量的平均值,是随机变量的一个重要的数字特征。但是，在许多实际问题中，仅仅知道均值是不够的，常常还需要了解随机变量与其均值的偏离程度。,如，测量两种手表，得知它们的日走时误差(分钟)的分布律分别为,那一种手表的精确度高？,为描述随机变量X偏离其均值E(X)的情况，可以考虑考察 的平均值。,是否三个都能较好的描述偏离情况呢？,方差,Variance,定义,D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度,数,均方差/标
7、准差,它与X有相同的度量单位(量纲相同)，在实际应用中经常使用。,原点矩与中心矩,一般地，我们称 为X的k阶原点矩，称 为X的k阶中心矩，其中k是正整数。例如，期望 是一阶原点矩，方差 是二阶中心矩。,一维随机变量的方差,设离散型随机变量X的概率分布为,离散型,连续型,设连续型随机变量X的密度函数为 f(x),方差计算公式,Proof.,方差的计算步骤,Step 1:计算期望 E(X),Step 2:计算 E(X2),Step 3:计算 D(X),两点分布的方差,分布律,方差,D(X)=p q,q=1-p,泊松分布的方差,方差和期望值相等？！,分布律,方差,正态分布的方差,密度函数,方差,方差
8、的性质,.,C 为常数,.,特别地，若X,Y 相互独立，则,.,性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当 X,Y 相互独立时，,注意到，,例2 设X B(n,p)，求D(X).,解 引入随机变量,相互独立，,故,二项分布的方差,常见随机变量的方差,N(,2),例 已知 X 的 密度函数为,其中 A,B 是常数，且 E(X)=0.5.,求 A,B.(2)设 Y=X 2,求 E(Y),D(Y),解(1),(2),第三节 协方差和相关系数,对多维随机变量，随机变量的期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映出随机变量之间的关系。本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间相
9、互依赖关系的一个重要特征。,在证明方差的性质时，我们得到，当X与Y相互独立时，有：,反之说明，当，,X与Y一定不相互独立。,这说明，量,在一定程度上反映了随机变量X与Y之间的关系。,定义,利用数学期望的性质，可将协方差的计算简化：,特别地，当X与Y相互独立时，有。,注：当X与Y不相互独立时，也有可能。,例(课本)设,显然X与Y不相互独立。,意义：,协方差可以帮助我们了解两个变量之间的关系。,如果X取值比较大时(如X大于其期望E(X)，Y也取值比较大(也大于它的期望E(Y),这时cov(X,Y)0；,如果X取值比较小时(如X小于E(X)，Y也取值比较小(也小于E(Y),这时也有cov(X,Y)0
10、。,可见正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或较小值。,反过来，负的协方差反映了两个随机变量有相反方向的变化趋势。,性质,第五节 中心极限定理,定理一,林德伯格-列维中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,定理二,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,二项分布以正态分布为极限分布,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),前面学习正态分布时提到，若随机变量X受众多相互独立随机因素影响，每一因素的影响都是微小的，且这些正、负影响可以叠加，那么这样的随机变量X接近正态分布。,若将各因素作用用 表示，那么，X将服从或近似服从正态分布。如何从理论上、数学上给予解释？由此引
11、发中心极限定理的研究。,粗略地说，所谓中心极限定理就是讨论在什么条件下，独立随机变量之和的分布可用正态分布近似。,独立同分布的中心极限定理,定理 1,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,中心极限定理的意义,在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布,若联系于此随机现象的随机变量为X，,是由于许多彼次没有什么相依关,系、对随机现象谁也不能起突出影响，而,均匀地起到微小作用的随机因素共同作用,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,(即这些因素的叠加)的结果.,高尔顿钉板,钉子层数,常常
12、在赌博试验中见到。庄家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客。可用中心极限定理来解释。,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）,Y n N(np,np(1-p)(近似),定理2,设 是一个独立同分布的随机变量序列，且 则对任意一个，总有,例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击,(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.,解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理,有,(1),(2),例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为 r 千瓦.问供 电所至少要供给这个车间多少电力,才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？,解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，,X 为开工的车床数,则 X B(200,0.6),X N(120,48)(近似),由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,问题转化为求 a,使,查标准正态函数分布表，得,令,解得,(千瓦),作业,P93P94 习题七 1、3、7、,
