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1、,第九章 线性代数及其应用,9.1 行列式的概念与计算 9.2 矩阵及其初等变换 9.3 矩阵的秩与逆矩阵 9.4 线性方程组的概念与克莱姆法则9.5 线性方程组的消元解法,我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组,一、二阶行列式,9.1 行列式的概念与计算,如果,那么方程组的解为,如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表,引入记号|,那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为,此式的右端称为二阶行列式的展开式,aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列,例 计算下列各行列式,将一个二阶行列式D的行与列依
2、次互换得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记为D T，如二阶行列式,的转置行列式为,二、二阶行列式的性质,行列式D与它的转置行列式DT的值相等,性质1,性质2 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和,性质3 如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,性质4 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反,例 利用行列式的性质计算下列式子,类似地，三元线性
3、方程组,的系数所构成的行列式规定为,三、三阶行列式,此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式,三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法,下面介绍三阶行列式的展开式：,其中A11、A12、A13分别称为a11、a12、a13的代数余子式,例 计算下列三阶行列式：,定义 设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式,一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列
4、式的定义：,四、n阶行列式,其中 A1j=(-1)1+jM1j,(j=1,2,n),这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j 列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式,由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开,解 因为a12=a13=0 所以由定义,例 计算行列式.,解 由定义，将Dn 按第一行展开，得,如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和,性质2,五、行列式的性质,如果把
5、行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2n),性质3,性质4,推论,性质5,性质6 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等,由于行列式
6、的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：,1.以（r）代表行，（c）代表列,2.把第i 行（或第i 列）的每一个元素加上第j 行（或第j 列）对应元素的k倍，记作（ri）+k（rj）或（ci）+k（cj）,3.互换i 行（列）和j 行（列），记作（ri）（rj）或（ci）（cj）,性质7 行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin（i=1,2,n）,推论 行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0（i,j=1,
7、2,n,ij）,例按第三行展开计算行列式,由mn个数排成的m行n列数表,称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标,定义1,9.2 矩阵及其初等变换,一、矩阵的概念,矩阵通常用A，B，C大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或例如：,为一个23矩阵,在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O或0，如：,当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）,只有1行（1n）或1列（m1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：,若方阵的元素 aij=0（ij），则称A为对角矩
8、阵，aii（i=1,2,n）称为A的对角元，如,为二阶对角矩阵,对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为In,形如,的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵,把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵即矩阵,的转置矩阵,一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵,那么就称这两个矩阵相等.,例 已知,而且A=B，求a,b,c,d,解 根据矩阵相等的定义，可得方程组,解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即当a=5,b=2,c=2,d=-1时A=B,应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行
9、列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号,显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算,容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：,（）交换律：A+B=B+A；,（）结合律：(A+B)+C=A+(B+C),二、矩阵的加法和减法,例 已知,求A+AT和A-AT,定义 一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为kA，并且规定Ak=kA例如，设,三、数与矩阵相乘,设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为,如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为,四、矩阵与矩阵相乘,
10、则这两家公司的月利润（单位：万元）应为,可见，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的利润为341万元,矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：,则由元素,构成的mn矩阵,称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB,乘积C 中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素与B 的第j列 元素对应乘积之和，即,A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；,乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数,由定义可知：,AD无意义,由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似,若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的,由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序
11、颠倒,矩阵乘法满足如下运算规律：,（）结合律：(AB)C=A(BC)；,（）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；,（）k(AB)=(kA)B=A(kB)，k为任意常数,因为AB=BA，所以A与B可交换.,称为矩阵A的k次幂矩阵A的运算满足,由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说,矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用.,定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵A的秩，记为r（A）,根据这个定义，可以得出求矩阵A的秩的一般步骤：,(1)用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵；,(2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行,9.3 矩阵的秩
12、与逆矩阵,一、矩阵的秩,所以 r（A）=3,所以 r（B）=3,若n阶矩阵A可逆，矩阵A总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵，则用同样的初等行变换就将I化为A-1这就给我们提供了一个计算A-1的有效方法：,若对(A|I)施以初等行变换将A变为I，则I就变为A-1，即,二、用矩阵初等行变换求逆矩阵,例 已知矩阵,求逆矩阵A-1,值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变换且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵,设n元n个方程组为,其系数行列式为,9.4 线性方程组的
13、概念与克莱姆法则,一、克莱姆法则,在系数行列式D 中第 j 列的元素依次改换为b1，b2，bn，得到的行列式记作Dj，即：,关于线性方程组（1）的解有下述法则：,当线性方程组（1）的系数行列式D0时，该方程组有且只有唯一解：,例 用克莱姆法则解方程组,克莱姆法则,解 因为,经计算还可得到,方程组的解为,一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：克莱姆法则；逆矩阵；矩阵法其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解先考察先面的两个例
14、子,例 讨论线性方程组,二、一般线性方程组的解,最后一个矩阵对应于方程组：,因此有,由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解,最后一个矩阵对应于方程组：,其中第三个方程0=3是不可能成立的因而方程组无解,从以上两个例子最后得到的两个矩阵和来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵）外，其余元素均为零,一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组,它的增广矩阵,一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵（rn），而在以下（m-r）各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零即增广矩阵经过行初
15、等变换后可化成以下形式，其中rn：,为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念,定义 若方程组有解，则称方程组是相容的；若方程组无解，则称方程组是不相容的,下面分别按矩阵出现的各种不同情形来讨论对应的线性方程组的解,1.若cr+1=0，则线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且都等于r（rn），则线性方程组是相容的当rn时方程组有无穷多组解，当r=n时方程组只有唯一解,2.若cr+10，这时线性方程组的系数矩阵的秩为r，而增广矩阵的秩为r+1所以这个线性方程组相应地化为,因为cr+10，所以上述方程组中最后一个方程不能成立，即方程组是不相容的归纳上述讨论，得到如下两个定理：,定理1 线性方
16、程组相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,定理2 线性方程组是相容的，则当系数矩阵的秩r n时，方程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩r=n时，方程组的解是唯一的,所以R（A）=R（AB）=3，即方程组是相容的,这时，对应的方程组为,其中x3与x4的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，则方程组的解为,其中c1与 c2为任意常数,在线性方程组中，若b1=b2=bm=0，则方程组称为齐次线性方程组,在齐次线性方程组,三、齐次线性方程组,中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是有解的根据定理2，可以得到以下定理：,定理3 设齐次线性方程组的
17、系数矩阵A的秩R（A）=r,若r=n，则方程组只有零解；,若rn，则方程组有无穷多组非零解,对于n个未知数，n个方程的齐次线性方程组，还可由定理3推得以下的定理：,定理4 齐次线性方程组,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式|A|=0,解 计算系数行列式：,所以方程组只有唯一的一组零解，即x=y=z=0,解 计算系数行列式：,所以方程组有无穷多组解为此写出它的增广矩阵，并作行初等变换如下：,这时，对应的方程组为,设z=c，则方程组的解为,消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程，从而求出方程组
18、的解下面通过例子说明如何解系数行列式不等于零的线性方程组,例 用消元法解线性方程组,9.5 线性方程组的消元解法,解 把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照,由此得到方程组的解为,由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵的初等变换顺序完全相同.,一般地，对一个n元线性方程组，当它的系数行列式不等于零时，只要对方程组的增广矩阵施以适当的行初等变换，使它成为以下的形式：,那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解，即x1=c1，x2=c2，xn=cn这种消元法称为矩阵法,例 用矩阵法解线性方程组,因此方程组的解为,由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程，不仅简便而且清晰明了,归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过程可以表述为：首先用增广矩阵表示线性方程组AX=B，然后将用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵，最后写出简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组，从中解出原方程组的解,
