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1、第一章 矢量分析与场论,标量场和矢量场,梯度、散度、旋度,矢量场的初等运算,矢量场的微、积分,亥姆霍兹定理,场的图示法,1.1 常用坐标系（正交系）,形式 坐标 取值范围 几何意义,z,z,z,x,y,O,O,O,x,（x0 y0 z0）,r,x,y,（0 0 z0）,（r0 0 0）,三种正交系的相互关系,X=cos=rsin cosY=sin=rsin sinZ=rcosr2=x2+y2+z2=2+z2=rsin=arc tg(y/x)=arc cos(z/r)cos=(x/r)cos=(y/r)cos=(z/r)cos2+cos2+cos2=1,1.2 标量与矢量,物理量通常是时间和空间
2、的函数描述空间的数学语言是坐标描述物理量的数学语言是标量和矢量,标量（A）：只有大小没有方向的物理量,矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。,算数量：0代数量：0不变量：AB,标量与矢量,复数,1.3 标量场与矢量场,1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢,单位矢量 eA:模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。,坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。,（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）,常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。,1.5 源点、场点、矢径、距离矢量,矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式，表示的是空间
3、位置，没有物理含义。,源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S表示。场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。,距离矢量 R：由源点指向场点的矢量，用符号 R 表示。R=r-r,1.5 源点、场点、矢径、距离矢量,例：已知，A=xyex+z2 ey+y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。,注意：矢径和矢量的区别,解：求值 r=x ex+y ey+z ez 由题意可知：x=1,y=2,z=2 将此代入A及r 得：A=2ex+4 ey+2 ez;r=ex+2 ey+2 ez,1.6 矢量的初等运算,矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提,加
4、,减,乘,AB=(Ax Bx)ex+(Ay By)ey+(Az Bz)ez,标乘,点乘,叉乘,A=Axex+Ay ey+Azez,性质：1、若 AB=0 则 AB 2、AA=A2,AB=ABsin(AB)en=,ex ey ez Ax Ay AzBx By Bz,性质：1、若 AB=0 则 AB 2、AA=0,AB,A,B,en,1.6 矢量的初等运算,矢量初等运算规则(设：A、B、C 都是矢量),A+B=B+A;A(BC)=(AB)C,AB=BA;A(B+C)=AB+AC,AB=-BA;A(B+C)=AB+AC,A(BC)=B(CA)=C(AB),(AB)C A(BC);A(BC)(AB)C
5、,A(BC)=(A C)B-(AB)C,Ax Ay Az ABC=BCA=CAB=Bx By Bz Cx Cy Cz,若 B=C 则 AB=A C及AB=A C 成立若 AB=A C及AB=A C 则 B=C不一定成立,结论：等式两边可同时“点”和“叉”，但不能随意消去相同的量,1.7 坐标变换,O,O,u,w,v,z,x,y,q,q,3、坐标旋转坐标系是一钢架，当某一轴替代另一轴时，其它轴也应相应变换。,O,x,z,y,O,y,x,z,O,x,z,y,原坐标,新坐标,1.7 坐标变换,4、坐标单位矢量的变换设：u 和 v 分别为正交坐标系ev1=cos(ev1eu1)eu1 cos(ev1e
6、u2)eu2cos(ev1eu3)eu3=(ev1 eu1)eu1(ev1 eu2)eu2(ev1 eu3)eu3 同理：ev2=(ev2 eu1)eu1(ev2 eu2)eu2(ev2 eu3)eu3 ev3=(ev3 eu1)eu1(ev3 eu2)eu2(ev3 eu3)eu3 用矩阵表示：ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 eu3 eu1 ev2=ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 eu3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 eu3 eu3,eu1,eu3,eu2,ev1,以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的
7、单位矢量的变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,方法（二）：,例：已知，在点P(1,1,0)处有一常矢量 A=2ex+4 ey+2 ez 求：A在该点的球坐标表达式。求：A在(2,2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。,对于点(1,2,2)：sin=1，sin=1/2，cos=0，cos=1/2 因此：ex=1/2er-1/2e，ey=1/2er+1/2e,ez=e A=32er 2 e+2 e对于点(2,2,2)：sin=sin=cos=cos=1/2 因此：ex=1/2er+1/2e-1/2e,ey=1
8、/2er+1/2e+1/2e ez=1/2 er-1/2 e 球：A=(3+2)er+(3-2)e 2e 直：ex,ey,ez为常矢，因而A不随点变化 A=2ex+4ey+2ez,以上结果显示：同一矢量，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。但由矢量场的不变性可知：,对于点(1,2,2)：A=32er 2 e+2 e=2ex+4 ey+2 ez对于点(2,2,2):A=(3+2)er+(3-2)e 2e=2ex+4ey+2ez,同一常矢量，在不同点其直坐标下的表达式是不变的，而球坐标下的表达式是完全不同的。,这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性即：无论你选择那种坐标，所得到的
9、场性能都是一样的。,这表明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应,对于柱或球坐标系每条或r射线都与唯一的一组坐标轴对应,1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。,坐标线元dxdydzdddzdrrd rsind,坐标平面元d 若:则d=x=c,dydzy=c,dxdzz=c,dxdy=c,ddz=c,ddzz=c,ddr=c,r2sindd=c,rsindrd=c,rdrd,坐标体元dvdxdydz dddz r2sindrdd,坐标元任意元,en,dl=-dxex+dyey+dzez=de+dej+dzez=drer-r
10、de+rsinde,概念：,1.8 微分元,坐标：空间某点的位置可用三个坐标(例：xyz)唯一确定。,坐标线：例：当y=a,z=c(a,c为常数)而 x 连续变化所形成的轨迹 称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。,坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与d，d对应的是一微小的曲线，很微小，可视为直线因而与坐标轴重合。这表明：坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。,坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。,弧长元(切线)dl:由空间某点P可引出多条任意曲线，由P点起沿某曲线取
11、一小段(即增量l),且过P点作该曲线的切线，切线上与增量l 相应的切线元dl 称弧长元，显然它是任意方向上的线元。,曲面元(切面)ds：与任意曲面在某点的增量s 相对应的切面元。,坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。显然，只有x,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。,坐标元：坐标的微分量。,1.9 矢量积分,矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。,A dt=A1eu1 dt+A2 eu2 dt+A3 eu3 dt=eu1 A1 dt+eu2 A2 dt+eu3 A3 dt,本教材假定所研究的对象是不运动的，即坐
12、标原点O静止。因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的它们可以提到积分号外。,1.9 矢量积分,标性矢性,A dl=Acos(A,dl)dl=(Axdx+Ay dy+Az dz)=(Ad+Ajd+Azdz)=(Ardr+Ard+Ajrsind)A ds=Acos(A,ds)ds=Axdydz+Aydxdz+Azdxdy=Addz+Ajddz+Azdd=Arr2sindd+Arsindrd+Ajrdrdfdv=f dxdydz=f dddz=f r2sindrdd,2、对空间的积分,标性,矢性,根据积分结果可分为两类,f dl=exfdx+eyfdy+ez fdzA dl=exAxdl+eyAydl
13、+ezAzdl,解：e=excos+eysin,一、定义：,1.10 矢量微分,设：A(u1,u2,u3,t)=A1eu1+A2 eu2+A3 eu3,若：,二、公式：,三、运算,则：称矢量 A 是对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数,若：u1=u1(t),由式可将矢量A 的偏导数用分量形式表示,1.10 矢量微分,设：A(u1,u2,u3,t)=A1eu1+A2 eu2+A3 eu3,1、对坐标单位矢量的偏导,将式代入原式：,设：A(u1,u2,u3,t)=A1eu1+A2 eu2+A3 eu3,以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导,2、对矢量函数的偏导,=Axex+A
14、y ey+Az ez=Ar er+Ae+Ae,=A e+Ae+Az ez,1.11 三度、二式、一定理,以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论下面将对数学场论作介绍,三度：梯度、散度、旋度二式：格林恒等式一定理：亥姆霍兹定理,定义表达式辅助量性质公式,1.11 三度、二式、一定理,梯度:是一矢量，研究数量场u沿某路径变化率可达最大的问题。,由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径l,而这每一个 l 又 分别是每一族曲线在该点的切线(如图示)。由导数的定义可知，数量场u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相同的。因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变化的问
15、题。显然只有沿着不同的直线路径l 其变化率才不同，但只有沿其中的一条路径l 变化其变化率可达最大。,由此定义式可导出更具实用意义的表达式,表达式,哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符,有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行,梯度,对u 求全微分，则有：,对上式两边同时除以dl，及又dl/dl=el,则有:,又dl=dxex+dyey+dzez：,推导，以直坐标为例：,A是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的,el是某路径方向与u无关。u可沿不同的路径l 变化，即el可变。,du/dl 若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el=eA,因而du/dl=A el=A eA el
16、 应改为：du/dlA最大=A eA eA=A,这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率达最大且正好=A的模,或对上式两边同乘以eA：du/dlA最大 eA=A eA=A,将此与定义相比可知，A就是梯度即：G=A 证毕,若对u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。,辅助量 方向导数,数量场u沿某路径l 的变化率称方向导数，记作du/dl,1、标量场u的梯度是矢量。,2、简化了全微分的表达式：du=Gdl,3、方向导数是梯度在该ln 方向上的一个分量的模。由前面的推导中已知：du/dl=G el,li,l2,l1,G,du/dl,4、G方向总是指向u增大的方向，即u2 u1(在G方向
17、上)证:,lG,du dlG最大,G=eG=G eG,l1,l2,u1,u2,lG,du dlG,即：=G 0,又 各ln的方向包括lG 方向在内均以M0为起点向外，即 各ln上的l2总是l1 这就是说，若dl=l2-l1 则dl 0,M0,du u2-u1 dlG l2-l1,因而：=0,梯度,5、G方向为等位线(或面)的法向，即eG=en,等值面：指在三维数量场u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z)=C,证:u(x,y,z)=C du=0 因而：du/dl=G el=Gcos(eG,el)=0 又 G0 cos(eG,el)=0 故
18、：eG el 又 el 为等位线(或面)的切线 eG=en 证毕,等值线：指在二维数量场u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,)=C,性质,梯度,eG,el,6、,u=0或0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。,该式说明：梯度场若存在必是无旋场。,en,公式,梯度,例：求u=1-(x/a)2+(y/b)2在点Mo(a/2,b/2)处 沿曲线1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。,垂直过曲面通量定义中的曲面是有向曲面即S 是 矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。,散度:是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化
19、率。,由通量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：,散度,定义设有一矢量场 A(M)，于场中某一点M0 处作一包含M0点 在内的任一闭曲面(S),所包的空间区域的体积大小用 V表示，矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量 在M0点对体积 V 的变化率称矢量A(M)在点M0处的散度，用符号divA表示。,M0,散度,推导，以直坐标为例：设:A=Axex+Ay ey+Az ez,M0为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0)divA,dS=dydzex+dxdzey+dxdyez,1、矢量场A的散度是一个标量；,散度,4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；,公 式,散度,
20、(CA)=CA;,C=0;,(AB)=AB;,(u A)=uA+Au,r 0,当r=0或0时：,E=(q/e)(r),1、环量（）,环量的意义：若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动；反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反 映了矢量场漩涡源的分布情况。,2、环量面密度（rotn A）,环量面密度意义:表示矢量场A 在点M0 处沿en方向的漩涡源密度,旋度,旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率,定义若在矢量场 A(M)中某一点M0 处，存在这样的一个矢量R，矢 量场 A(M)由点M0处沿R方向所得的环量对面积的变化率(即环 量面密度)达最大且正好等于模R，则称矢量R
21、为矢量场A(M)在点M0处的旋度，用符号rot A表示。由该定义可得如下关系：,旋度,显然，在场矢量A空间中，围绕空间某点M0可取很多个边界曲线为l、面元为S、法线方向各异(如图)的平面。在点M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotn A)各不相同，但有一个可达最大。,由此定义式可导出更具实用意义的表达式,en,M0,旋度,表达式,设:A=Axex+Ay ey+Az ez=A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae,=A,推导，以直坐标为例：设:A=Axex+Ay ey+Az ez,由斯托克斯公式：,环量面密度若要达到最大，则必须沿eB方向变化，即en=eB,旋度,1、矢量场A的旋度仍
22、为矢量，是空间坐标的函数；,旋度,3、由前面的推导已知：rotn A=rot A en 这表明：,旋度R在任一方向en上的投影(即分量)等于该方向的环量面密度,矢量场A 的环路积分等于该矢量场A 的旋度通过该曲面的通量,6、若rot A=0 处处成立，A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，=0 即A的环路积分与路经无关故又称保守场。若rot A 0这表：A为有旋场，其力线无头无尾。,4、A 0 即 A=0或0 该式均成立。,5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度；即：A=J J 旋涡源密度,该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。,公 式,(CA)=CA;,C=0
23、;,(AB)=AB;,(uA)=uAAu,(AB)=B(A)A(B),旋度,例：已知 求：H,H=e=H e,I2p,I,H=0,e ej ez z0 H 0,1,解：选择柱坐标,0,H=I(x)(y)ez,当=0或0时：,亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为：,矢量场(F)=梯度场(Fs)+旋度场(Fl)=-u+A,梯度场是一有源无旋场：Fs的力线是有头有尾的发散线,旋度场是一无源有旋场：Fl的力线是无头无尾的闭合线,u 梯度场的标量位 A 旋度场的矢量位,u 0，A 0 即：梯无旋，旋无散,u 0，A 0
24、 这说明：,讨论：场、源、度的关系,矢量场(F)=梯度场(Fs)+旋度场(Fl)=-u+A,A 0 则：F=-u,讨论：怎样判断场F的属性,对式两边求散度：F=-u+A,若：F 存在，则 F=0 说明F中没有梯度场但必有旋度场 若 F 0 说明F中有梯度场但不一定有旋度场,若：F 存在，则F=0 说明F中没有旋度场但必有梯度场 若F 0 说明F中有旋度场但不一定有梯度场,亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义,是研究电磁场的一条主线,若矢量场A 在某区域内，处处有：A 0 和A 0 则在该区域内，场A为调和场 例：抠出源点的静电场,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,讨论：调和场
25、,1.12 微分算子,有以下三种形式：u=grad u A=div A A=rot A其它形式(如下)无意义：u、A、u,哈密尔顿算符，是一矢性的一阶微分算符,=2 拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符,A,A=A e+Ae+Az ez,柱：,(A e+Ae+Az ez),1.13 场的图示法(一种辅助分析、计算的方法),1、矢量线不是一条而是一族；2、矢量线互不相交(除奇异点)3、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线；4、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线；,形式表达式性质关系,标量场(u)矢量场(A),若A=grad u 则A 线与等位线(面)正交,例：求矢量场A=y ex-x ey 过点(1,0,0)的矢量线方程。,A,A=A e+Ae+Az ez,柱：,(A e+Ae+Az ez),第一章习题,
