《不定积分的概念与质.PPT》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分的概念与质.PPT（181页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一讲 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结 思考题,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求
2、曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,例4 求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性
3、质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,第二讲 换元积分法,一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、小结 思考题,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三
4、）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,解,例14 设 求.,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.
5、,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中,令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第三讲
6、 分部积分法,一、基本内容二、小结 思考题,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,例1 求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.,例5 求积分,解,例6 求积分,解,注意循环形式,例7 求积分,解,令,解,两边同时对 求导,得,合理选择，正
7、确使用分部积分公式,二、小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,练 习 题,练习题答案,第四讲 几种特殊类型函数的积分,一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结 思考题,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分
8、式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,例4 求积分,解,例5 求积分,解,例6 求积分,解,令,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公
9、式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,例9 求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,例12 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,思考题解答,分解后的部
10、分分式必须是最简分式.,练习题,练习题答案,第五讲 积分表的使用,一、关于积分表的说明二、例题,（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.,（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.,（4）积分表见高等数学（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第452页,（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果.,一、关于积分表的说明,例1 求,被积函数中含有,在积分表（一）中查得公式（7）,现在,于是,二、例题,例2 求,被积函数中含有三角函数,在积分表（十一）中查得此类公式有两个,选公式（105）,将 代入得,例3 求,表中不能直接查出,需先进行变量代换.,令,被积函数中含有
11、,在积分表（六）中查得公式（37）,将 代入得,例4 求,在积分表（十一）中查得公式（95）,利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果.这个公式叫递推公式.,现在,于是,对积分 使用公式（93）,说明,初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.,例,练 习 题,练习题答案,第四章习题课,一、主要内容二、典型例题,积分法,原 函 数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法 第二换元法,直接积分法,分部积分法,不 定 积 分,几种特殊类型函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(
12、1)定义,(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3)不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u的有效方法:LIATE选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,9、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,令,（2）三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,（3）简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,(倒代换),例5,解,解得,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,例11,解,测 验 题,测验题答案,
