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1、第8章 不定积分,不定积分概念与基本积分公式换元积分法与分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积分,第8.2节 换元积分法与分部积分法,第一换元积分法（凑微分法）第二换元积分法分部积分法,一、第一换元积分法（凑微分法）,1.问题的提出,？,解决方法,而,利用复合函数，设置中间变量.,令,我们知道,于是可得下述定理,在一般情况下：,注意,使用此公式的关键在于将被积表达式凑成,第一换元公式,定理1（第一换元积分法）,凑微分法,证,例1 求,解一,解二,解三,例2 求,解,常见的凑微分形式有,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,正、余弦三角函数积分偶次幂降幂奇次幂
2、拆开放在微分号后面,解,例8 求,例9 求,解,例10 求,解,利用三角学中的积化和差公式，得,解,类似地可推出,例11 求,练习,提示,二、第二换元积分法,第一换元法是通过变量替换,第二换元法则是通过变量替换 将,将,例13 求,解,令,考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,第二换元公式,定理2（第二类换元积分法）,证,事实上，,例14 求下列不定积分,（利用适当的三角代换化为易求的积分）,解,由辅助三角形（如图）,求,解,求,解,令,例15 用倒代换或根式代换求不定积分,解,令,解,当分母的阶分子的阶时,可考虑试用倒代换,练习,提示,基本积分表续,小结,两类积分换元法：,凑微分,三角代换、
3、根式代换、倒数代换,三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,三、分部积分法(Integration by Parts),问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,关键,处理两类不同类型函数的乘积的不定积分,例1 求积分,解 若,令,显然，选择不当，积分更难进行.,令,例2 求积分,解,若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为 u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,（再次使用分部积分法）,例4 求积分,解,令,例5 求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.,例6 求积分,解,有时候使用
4、若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。,例7 求积分,解,注意循环形式,同理可计算,例8 求积分,解,例9 求积分,解,令,解,两边同时对 求导,得,例10,例11（递推法）,解,由此解出,合理选择 正确使用分部积分式,小结,(1)被积函数是幂函数与正(余)弦函数的乘积,设幂函数为u(假定幂指数是正整数),一般地,(2)被积函数是幂函数与指数函数的乘积,设幂函数为 u,(假定幂指数是正整数),(4)被积函数是指数函数与三角函数乘积,二者皆可作为u,但作为u的函数的类型不变。,(3)被积函数是幂函数与对数或反三角函数的乘积，设对数函数或反三角函数为 u.,降幂法,升幂法,循环法,练 习 题,练习题答案,
