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1、第六章 积 分 法,6.1 不定积分的基本积分法,定积分 计算,原函数计算,不定积分 的计算,10 不定积分的运算性质,利用基本不定积分公式计算不定积分,基本思想:,解,由于,原积分,解,原积分,20 凑微分法,复合函数微分法:,如果,将此微分式两边进行不定积分得,则有,所以有以下不定积分的凑微分公式:,(1),说明:,(2)公式(1)也称为不定积分的第一换元法,解,解,解,解,原积分,解,解,解,原积分,解,原积分,解,原积分,简单三角函数的积分法,解,解,原积分,一般地可计算:,同理可计算积分:,解,一般地,反复利用半角公式可计算:,解,原积分,解,原积分,同样方法可计算积分:,型积分的计
2、算方法:,(1)判别式 的情形,此时,(2)判别式 的情形,(3)判别式 的情形,此时,解,因为,设,解,此时判别式 0,30 不定积分的换元法,凑微分法(第一换元法),将上式反过来写,这就是不定积分的换元法(第二换元法),定理(不定积分的第二换元法),说明:,解,解,令,则,由于,所以有,解,原积分,令,原积分,由于,解,注意到,又,所以,解,令(倒数变换),解,令,40 分部积分法,在微分公式,两边积分有,式(2)称为不定积分的分部积分公式,说明:,解,解,解,解,原积分,所以有,解,原积分,解,原积分,解,说明:,解,所以有,即,解,所以有,又,故可根据上式推得,说明:,50 有理函数积分法,如果 m n,则,(r(x)为多项式),当 m n 时,称为有理真分式,定理,从定理可知:,计算 将面临以下四种类型的积分:,(1),(2),(3),(4),由于,解,比较等式两边有,解得:,所以有,解,由于,所以,60 可化为有理函数的积分,(1)三角有理函数的积分,对于三角有理式,因为,解,令，则有,解,(2)形如 积分的计算,令,则,这是一有理函数的积分问题,解,令,原积分,(3)其它的例子,解,令,原积分,解,原积分,解,原积分,令,
