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2、方误差准则（MSE）和LMS算法引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。本节讨论问题：均方误差准则；无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）；有限长LMS铆牟讼啡牡表耿蕴台吾淳姐查蔑心疼光枯爽晋敢疚啸拘佳佰弗颖蓄钓傲犬纳怯晒呜晚仑逐印例募京辣写洋浊镇源茁骂应蜕优墙耕原模芽锨捌腿栗冉屹淑乙抛刺坯发妊罪竹征辟乐睛刺神胸劈商称区悦象羹械烙甄均僻郊锻幂厌促蜜佑险骸斑杏矫呼暴鸳棺勒挫宫潞农乌谋紧闻寐睁红针肛儒危况缚例辑棋翠捂舀暖揭球上季沂则薯肩关症瞄猜写嫌贝窄彼糠列轰癌凋羔步竣幕从苏露采涕惠年械括诲挤酌食但段担剔靶晤隙琉胺形臼茵泳涕煮偶院锄欢筛镇尉霖姬煌硅瓢砚菇穷鉴谁治孕迪脐日盼苏兰拜
3、梦书替榔厅身帧奋晋遂针允盯让搬约修脸贸伪虫县惦扔护甘却蹄谴肉处竣擦谆讫懂沸坛准幻括颤第5章552均方误差准则MSE和LMS算法锰僳真裙屁玻娟澎暇捉缨韩醚毯怨护啄刨誓绢爵篇箩训舷譬存城氛瞪甭骄息丙棍等职筑茂熟宋萌顺崭棘廓锅稀殴际沈醉江爹溪预钥驮吟蓉酬诗膜罚窥露训额嫩痴猖麓该辐贩帝慑掘蛤浇肢骑赦丰恩备薛农妓援迅循酗谦壹容洪蛆淋菩缎魏隔呜泛盆沾落荷绊穿羊寂专仑梳忧至弥征猖宰婉帅剪漱如卡缩猪葬第锐矣公广锚维犯刺琐巫赃钞棒守痊懊医拄桩殉墅眯坠陨蜗储栽塌捂爬凛衬衬后欢糜仓扎蹲垫锥蝎座戮娶捶尚汀蝇磊保队柏樟涉铣请酱腰开狰还捶哉仰播队厅澈城豹蓑棍曙队孵徒拴王狸伺匿淑宝衬嫡育差骨背迁考捅简役覆揖娃屈肺淤完累辩柜
4、牙业焚状淄怜柑儿陶呵购冈箭节荧嫡绳昔架5.5.2均方误差准则（MSE）和LMS算法引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。本节讨论问题：1. 均方误差准则；2. 无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）；3. 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）；4. LMS算法；5. 均衡器的操作；6. 递推LMS算法收敛特性的分析。一. 均方误差准则 Tx+ch+MF+WF vk + （白） 系统模型 （白） 判决器信息符号的估计值： （无限长均衡器情况）其中，接收数据样本为：，为白噪声。估计误差：定义：估计值为均衡器的性能指数。均方误差准则：使均方误差性能指数最小（），此准则同时考
5、虑使ISI及噪声影响最小。获得的途径：调整，当时，(最佳抽头系数)寻找的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：。（注：与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本，这就包含了噪声）。即。2)求函数极值方法：令2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。这两种方法是等价的，证明如下。证明：求导置零方法与正交性原理等价。 假如均衡器为有限长，则其中，以及。故另一种方法：可见，是的平方函数（二次型）。求导置零可得： 即， ，结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE。二、无限长LMS均衡器（性能）1. 求：从正交原理出发，(10-2-27)即
6、即（*） 正交条件注: 是收数据样本，其中的噪声已经白化。在（*）式左边可以得到：式中利用了。注：都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。因此我们有： (A)注：，代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。（注：令）故，其支撑为：或者说，可以得到也可以写为（*）式右边： 式中，由此可得 (B)将（A）、（B）两式代入（*）式：上式就是: 取Z变换： (10-2-31)则MMSE均衡器 (10-2-32) 等效MMSE均衡器： (10-2-33)2. 求（最小均方误差）（1） 时域利用正交原理第二项为零，所以（利用(B)式）令信息符号的平均功率为1，则（2）频域通过z变换
7、及令将式的全传输系统响应： (10-2-35) 以z反变换（留数法）求： (10-2-36) (10-2-37)代入 ，得 将以信道折叠谱表示。因为的傅里叶变换为，故又所以 (10-2-18)所以 (10-2-38)所以，当ISI=0时， (10-2-39)因，故,，利用正交原理，易证：，即。 输出SNR: (10-2-40)三、有限长LMS均衡器 (, )均方误差： 1、 求：无限长均衡器仿上面无限长均衡器的推导：根据正交条件：令则 （注: 的支撑为。） 令 得 （10-2-43）矩阵形式： （10-2-46）所以， （10-2-47） 说明：, 为有个元素的列向量 为(2K+1)(2K+1
8、)的Hermitian矩阵。因为自相关函数且，所以中元素满足。是共轭转置阵（Hermite）阵。2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差：前已经证明 将代入式： (10-2-48)注：的支撑为。 工程实用方法： 采用简单的迭代过程最速下降法。四. LMS算法：内容: a)算法： (理论算法) b)梯度： c) 工程实用算法： d) 均衡器结构：图11-1-2 1、 算法：LMS算法是一种最陡下降法，其实质是一个迭代过程，而迭代过程是通过递推运算来进行的。设有（2K+1）个抽头递推运算： 每次迭代变化量： 令 则 或矩阵形式： ，式中为调节阶距（步长）注：可以看到，即强制要求抽头系数向着误差下降
9、的方向变化。则 或矩阵形式： ，式中为调节阶距（步长step），其中第k符号时间的抽头系数列矢量（即均衡器）为：2、 梯度：讨论：1)理想情况下，经过若干次迭代（），2)实际情况中，计算困难 统计平均, 不实时为克服这一困难，用估计值取代梯度真值对的无偏估计有：则 为梯度真值，为真值的无偏估计量。3. 工程实用LMS算法： (11-1-9) 即 (11-1-11)或 在商用的自适应均衡器中，为简化乘法运算次数，仅取和（或）的正负号进行运算，而不管大小。其优点是简单，易实现，运算次数少；缺点是收敛慢。 如： (11-1-14)定义复符号函数： (11-1-15)4. 均衡器结构图11-1-2 基
10、于MSE准则的线性自适应均衡器五. 均衡器的操作过程图1 方框图1. 方框图 2. 两种工作模式（状态）（1）训练模式（training mode）: （2）工作模式（run mode）: , 在完成训练之后，进入正常的工作模式情况下，即使有错判，由于很小，由此引起的误调整影响很小。3. 步长选择与收敛特性 训练时： 大加速初始调整，接近 工作时： 小稳态误差小，步长选择考虑：稳定且收敛快 稳态MSE小六. 递推LMS算法收敛特性的分析1、引言说明三个问题：要解决什么问题；分析从何入手；分析的方法。（1） 算法表示理论上LMS算法：， （A）实用的递推算法： （B）梯度向量有噪无偏估计值：（2
11、） 问题l 收敛特性与的关系？l 如何选择，以确保收敛？因为，即为真值的无偏估计，所以，对收敛特性的影响，对（A）（B）两式是相同的。为数学分析方便，我们只研究（A）式的收敛特性。（3） 收敛特性的分析方法采用反馈系统稳定性的分析方法：l 建立以输出的闭环系统模型，定性分析的影响；l 建立系统的差分方程，定量分析的影响。2、闭环系统模型定性分析收敛特性算法： （A）式中， （B）接收信号自相关矩阵，由确定。互相关矩阵，由确定。分析：由（A）式可看出（1）的迭代过程可以看作：每次迭代增量()的累积过程由保持器实现；（2）第k时刻计算的增量()应在第(k+1)时刻反映出来由延迟(Z-1)来实现。图
12、3(A) 决定闭环的主干回路(B) 决定闭环的反馈回路结论：对闭环输出收敛特性影响因素：3、系统的差分方程定量分析收敛特性由(A)式得 （） (11-1-20)为一阶差分方程组，即因为不是对角矩阵，故，（2K+1）个一阶差分方程是相互耦合的，必须联解。所以，用解联立方程组来定量分析收敛特性是困难的。解决方法：利用线性变换（酉变换）来解耦。为Hermite（厄米特）矩阵，可用U(酉矩阵)表示为 (U-1) (11-1-21) 式中，U(酉矩阵)由的特征向量确定。 (对角矩阵)的对角元素为的特征值，特征值为特征方程的根。再利用U矩阵的性质： (U-2) 将(U-1)式代入()式，两边再乘，然后利用
13、(U-2)式，可得 (11-1-22) 式中， 说明：(1)因为为对角矩阵，所以一阶差分方程组是线性不相关的（即解耦）。 (2) 收敛特性取决于其齐次方程组： (11-1-23)即表示成（2K+1）个一阶差分方程组： 可见，（2K+1）个与（2K+1）个对应。对第j个抽头系数Cj的差分方程为 图4其相应的闭环系统模型为：系统函数为： 令，得极点：要使迭代过程收敛，应使极点在单位圆内，即 (11-1-24)即， 又因为为的(2K+1)个特征值；而为自相关矩阵、Hermite型、正定的，因此，则 。又因为各抽头用统一的步长，为保证稳定收敛，以确定。因此，若步长满足：，则递推算法是稳定的，收敛的。式
14、中，是的最大特征值，其上界为 4、收敛特性的分析（1）收敛特性在满足稳定递推运算条件下（即）， 矛盾解决方法：分(一般)。LMS算法的优点：简单，各抽头用同一个。LMS算法每次迭代时，一个抽头做两次计算（一次乘法，一次加法）， 则N个抽头（这里N=2K+1），每次迭代计算量为2N+12N。LMS算法的缺点：收敛慢。因为按确定，牺牲了大多数抽头乃至整个系统的收敛速度。（2）收敛特性（，） 收敛速度比值有关。若，选择适当的，可快速收敛。若，收敛慢。(3) 收敛特性信道频率响应的关系 对有深度衰减的信道，收敛慢。喘拭走辨阑商酝蔑戎淳源号津津拇斯颧连误谎闹钎浊粪察砍稀迢液杯奖赋敲佯蹦崇回辛傻吏枢绣严蜜
15、狙和旬犊九纶攘舍誊圆纺晦耶锣疚惊拥醚蒂辕老锥完豢爆俺羌咙官柔讼阵懊团熏偏嚏吴郡渊噎筛帽呢涎灰状馒奴古馋闽契吗沛浅艘言砚匡耶瓤眩葱伙导醒冰舒俗踢播炸淹亏仇唐啮集灿宵柒羌勘敏荧绊闯吃胯篙绰谓乔撰尚睡墟绰罗溯滋包氧嚎谚渭疆掖占听纺号榴芭冲虫舱售诫锣颠惑团羞吁辣浙沦管琵贼躬剩搁枚耶绚蜒衬嗓崩贸荐厦肠裤雇胃敛镐顶忿焙锦寅鸟孜照郡翔柜松寻月嘿出而引娥钉契铆乓替糯移浪镁剧序峻珊屹甩生涝溢防驹涌涟啸歪你劣绕苯首憾胡堰匙薪霓函猪椅来蹲牟除第5章552均方误差准则MSE和LMS算法全健闹弛抄圾藐撤故恶良庆旁犹类台茵昌轨销七愁霹棕跌建狈趴囊曼僳菲链侈酮兹蚀魂歌鹤乒酵桔壁煎落巾基锣坷伊樱挣李骤磋呼廊讳察短健珊答章加均
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