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1、第六章最小二乘法与曲线拟合,6.0 问题的提出6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组6.2 多项式拟合,如果实际问题要求解在a,b区间的每一点都“很好地”逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，势必使插值结果更加不准确。如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。,6.0 问题的提出,从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲
2、线。本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。,6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组,一、矛盾方程组的定义,设线性方程组,或写为,其矩阵形式为,当方程组的系数矩阵合增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于rankAn（A的秩为n）的矛盾方程组（Nn），我们寻求其最小二乘意义下的解。,二、用最小二乘法求解矛盾方程组,1.最小二乘原则,由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。,令,称 为偏差。,达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。,工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的绝对值之和 尽可能地小。为
3、了便于分析计算和应用，常采用使偏差的平方和,按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。,把Q看成是n个自变量x1,x2,xn的二次函数，记为Qf(x1,x2,xn)，因此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Qf(x1,x2,xn)的最小值点。,问题：二次函数Qf(x1,x2,xn)是否存在最小值？若最小值存在，如何求出该最小值点？,2.最小二乘解的存在唯一性,引理1：设n元实函数f(x1,x2,xn)在点P0(a1,a2,an)的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如果,(1),(2)矩
4、阵,是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,an)是n元实函数f(x1,x2,xn)的极小（大）值。,引理2：设非齐次线性方程组 的系数矩阵A=(aij)Nn，若rankA=n，则,(1)矩阵ATA是对称正定矩阵；,(2)n阶线性方程组 有唯一的解。,证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。,设齐次线性方程组,因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。因此，对于任意的，有，从而,故矩阵ATA是对称正定矩阵。,(2)因为矩阵ATA是正定矩阵，故rank(ATA)=n，从而线性方程组 有唯一的解。,证毕,定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次函数,一定存在最小值。,证明：因为Q是x1,x2,xn
5、的二次函数，故Q不仅是连续函数，且有连续的一阶及二阶偏导数。,因为,引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。,故,令,即,（*）,因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设解为x1=a1,x2=a2,xn=an，记为点P0(a1,a2,an)，即二元函数Q存在点P0，使。故满足引理1的条件（1）。,因为,故,由引理2知，当rankA=n时，矩阵M是对称正定阵，M满足引理1的条件（2），故由引理1知，二次函数Q存在极小值。又因方程组（*）式有唯一解，故Q存在的极小值就是最小值，线性方程组（*）式的解就是最小值点。,
6、证毕,Remark1：线性方程组（*）式称为正则方程组。,Remark2：该定理说明，只要矛盾方程组的系数矩阵A的秩rankA=n，则（1）矛盾方程组的最小二乘解存在；（2）正则方程组有唯一解，此解就是矛盾方程组的最小二乘解。,3.最小二乘法解矛盾方程组,计算步骤：,（1）判断方程组的秩是否满足rankA=n？,（2）写出正则方程组；,（3）求解正则方程组，其解就是矛盾方程组的最小二乘解。,一、曲线拟合模型,确定曲线的类型：一般选取简单的低次多项式。,6.2 多项式拟合,求一个次数不高于N1次的多项式：,（其中a0,a1,am待定），使其“最好”的拟合这组数据。“最好”的标准是：使得(x)在x
7、i的偏差,的平方和,达到最小。,由于拟合曲线y=(x)不一定过点(xi,yi)，因此，把点(xi,yi)带入y=(x)，便得到以a0,a1,am为未知量的矛盾方程组,其矩阵形式为,其中,(x)在xi的偏差就是矛盾方程组各方程的偏差。曲线拟合的条件就是确定a0,a1,am，使得偏差的平方和Q达到最小值。,据此可知，a0,a1,am就是矛盾方程组的最小二乘解，也就是正则方程组 的解。,二、曲线拟合的最小二乘解法,正则方程组为：,三、解的存在唯一性,定理：设x1,x2,xN互异，且Nm+1，则上面的正则方程组有唯一的解。,证明：只需证明矛盾方程组的系数矩阵A的秩rankA=m1。,矛盾方程组的系数矩
8、阵A是N(m+1)的矩阵，记A的前m1行构成m1阶子矩阵,该矩阵是范德蒙矩阵，由x1,x2,xN互异知行列式不为零，从而有rankA=m1。由引理2知，正则方程组有唯一解。,证毕,四、最小二乘法拟合曲线的步骤,1.通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或根据经验公式确定数学模型。,2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。,3.写出矛盾方程组。,4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）,5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。,6.将正则方程组的解带回到数学模型中，得到拟合曲线。,Remark,1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误差 和最大偏差 的大小来衡量拟合曲线的优劣。均
9、方误差和最大偏差较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。,2.在解决实际问题时，有时通过观察选择多个函数类型进行计算、分析、比较，最终获得较好的数学模型；有时把经验公式作为数学模型，只是用最小二乘法来确定公式中的待定常数。,Remark,3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时，可直接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。当待定常数不是线性形式时，则应该先将待定常数线性化，再根据矛盾方程组写出正则方程组而求解。,例1：,例2：,曲线拟合应用实例:,例1:试用最小二乘法求一个形如(a,b为常数)的经验公式,使它与下列数据相拟合(取四位小数),解:由于经验公式中待定常数a,b是非线性形式,故做如下变形:,令:,则有:,将x,u带入得到关于A,B的矛盾方程组，进而得正规方程组并求出A,B，由A,B得到a,b即可。（具体计算数据见书P141页例6.3）,则矛盾方程组为：,得正则方程组为：,解得：,则：,则拟合方程为：,
