圆锥曲线及解题技巧.docx

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1、椭圆与双曲线的对偶性质1. 点P处的切线PT平分 PF/2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.%2 , y 2e , y y 15. 若P(气，y)在椭圆一 + T上，则过P的椭圆的切线方程是+普 =L000a2 b20a2b2x2 , y26. 若P (气,y)在椭圆+二1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是0 0 0a2 b2121 2有 yy+ = 1 a2b

2、2X2 , y 27. 椭圆云+丘 T (ab0)的左右焦点分别为FF 2，点P为椭圆上任意一点匕FpF2 =y，则椭圆的焦点角形y的面积为S昭竺=b2tan万.X2 y 218. 椭圆一 +=1 (ab0)的焦半径公式：a2 b2IMF = a + ex I MF = aex( F (c,0) , F (c,0) M(x , y ).10,20、1, 20 0，9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点，则MFXNF.10.11.12.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,气、A2为椭圆长轴上的顶点，

3、A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q 交于点N，则MFXNF.b2， a2x2 y2AB是椭圆云+瓦二1的不平行于对称轴的弦，MS。, y)为AB的中点，则k0M -kAB即Kabb 2 x0a 2 y0x2 y 2x x y y x 2 y 2若P0( x0, y0)在椭圆云+b t内，则被Po所平分的中点弦的方程是责+br=片十左.x2 y2x2y2 x x y y13.若眼y0)在椭圆云+b t内，则过Po的弦中点的轨迹方程是云+b=渭+在双曲线1. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.2. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直

4、径的圆，除去长轴的 两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)5. 若P 3 ,)在双曲线三2 -2 =1 (a0,b0)上，则过P的双曲线的切线方程是三上-谷 =1.000a2 b20a2b2X2 y 26. 若。( 0)在双曲线悠-b2 =1(a0,b0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为PP2，则切点x x y y .弦PP的直线方程是-* =1.1 2a2b2x2 y27. 双曲线石-丘=1 (a0,bo)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点FpF2 =，则双y曲线

5、的焦点角形的面积为S理PF = b2co t.x2 y28. 双曲线a赤=1(a0,bo)的焦半径公式：(匕(c,0) , F,(c,0)当 M(x , y )在右支上时，I MF 1= ex + a I MF 1= ex 一 a 0010,20当 M(x , y )在左支上时，I MF I=-ex + a I MF I=-ex 一 a 0010,209. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFXNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, AA2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A

6、2Q交于点M， A2P和A1Q交于点N，则MFXNF.x2 y211. AB是双曲线尽b2 =1 ( a 0,b 0 )的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为AB的中点，则K - K =竺，即 K =竺。om ab a 2 yab a 2 y12. 若P (x , y )在双曲线T 一2 T(a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是端一早 =%2-半.000a2 b2a2b2a2b13.x2 y2若 M *)在双曲线。2 一 b2 =1 (a0,b0)内,椭圆与双曲线的对偶性质则过Po的弦中点的轨迹方程是x2 y2 = x0x yy . a2 b2 a2 b2(会推导的经典结论),

7、_. x2 , y 21. 椭圆a + 2 =1 (abo)的两个顶点为A1(-a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P、P2时A1P1x2y2 1与a2p2交点的轨迹方程是云-寿t.x2y22. 过椭圆a + b =1 (a0, b0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直,b2 x线BC有定向且kBC =(常数).y0x2 y 23.若P为椭圆一 + =1 (ab0)上异于长轴端点的任一点, F是焦点，ZPFF =a, ZPFF, =P，a2 b21 21 22 14.5.6.X2 y 21设椭圆a+b T（ab0）的两个焦点为F1、f

8、2，p （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在逐F1F2中，记ZFPF = , ZPFF = ,ZFFP =7，则有.严.=C = e1 21 21 2sin p + sin y a若椭圆f T（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为匚则当OVed1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.X2y 212a-1AF I1 PAI +1 PF lb0）上任一点，F1，F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则A2a + B b 2 (?2x + By + C) o o .8.X2 y2已知椭圆一 +厂 =1 ( a b 0 )，a2 b211114a2b2IOPK+

9、lOgb = a+商 IOPI2+IOQI2的最大值为打；%opq的最小值是a2+b2-O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点且OP 1OQ.( 1)a2b29.X2 y 21过椭圆一 +厂=】（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴 a2 b2I PF I e于 P，则 I MNI 2 -10.，一 x2 , y2已知椭圆云+ b =1 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（xo,0）,a2 一 b2a2 一 b2则-一 X0- -11.X2y2设p点是椭圆a+对t（ab0）上异于长轴端点的任一点，f1、f2为其焦点记容

10、1PF2=，则2b2 一 yI PF II PF I= (2) S= b tanLV 12 1 + COS0 迪FF2 12.r一一 X2 , y2设A、B是椭圆a+b =1 （ ab 0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，/PAB=aZPBA=p , ZBPA=y2ab21 cos Ie分别是椭圆的半焦距离心率，则有IPA |4 a2 - C2COS2 ytana tan 0 = 1 一 e2（3）S =coty,APAB b2 0-2,一 x2 , J213. 已知椭圆一 +?=】（ab0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、02 b2B两点，点C在右准线l上，且

11、BC1X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）双曲线x2 y21. 双曲

12、线a2 - b2 T （a0,b0）的两个顶点为4（一o，0）,A （,0），与y轴平行的直线交双曲线于P、X2 y 2.P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 +丘=1.XJ22. 过双曲线2 b2 =1 （a0,bo）上任一点A（x0, *）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两,b2x点，则直线BC有定向且kBc =-J0 （常数）.X2 J23.若P为双曲线云一页= l（a0,b。）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点，PFq=a,ca , a 0ca , 0 aZPFF = p，贝ij= tancot-2 (或=tan-2cot).X2 y 2.4.设双曲线云-

13、丘=1 （a0,b0）的两个焦点为耳、（异于长轴端点）为双曲线上任意一点在PFF 中，记 ZFPF =a, ZPFF =0 , ZFF P=y，则有：ina1 21 21 21 2(siny sin 0) a5.若双曲线02一b =1 （a0,b0）的左、右焦点分别为F、F2，左准线为L，则当1VeWV2 +1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6-p为双曲线at（a0b0）上任一点膺为二焦点，a为双曲线内一定点，则IAF21 -2a 0,b0）与直线Ax+By + C = 0有公共点的充要条件是A2a2 -B2b2 a 0）, O为坐标原点，P、Q为双

14、曲线上两动点，且OP 1OQ.a2 b211114a2b2a2b 有+网=a 丘;IOP|2+IOQ|2的最小值为 e ；opq的最小值是 e -X2y2 .9.10.过双曲线一-=1（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平 a2 b2I PF I e分线交x轴于P，则| = 2.I 1VJL1 V I 匕X2 y 2./ a2 + b 或X0 0,b0） ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于 a2 b2a2 + b2点R%,0）,则x0Z11.X2 y 2.设p点是双曲线一m=i a2 b22b2则（1）I PF II PF I=一则1

15、2 1 cos9 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,耳、F2为其焦点记ZFpF2 =， S= b2 cotapf;f22 .12.设A、B是双曲线|-y =1 （a0,b0）的长轴两端点，p是双曲线上的一点，/PAB=a2ab21 cosa IZPBA =0 ,ZBPA=y，c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有（1）IPAhI。2 c2cos2y I 2a2b2（2）tana tan 0 = 1 一 e2（3）S =coty,APAB b2 + a2X2y 2】3.已知双曲线武丘=1 （a。,。）的右准线/与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线l上

16、，且BC1X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与 切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的

17、知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、 法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一.紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例1.已知点A （3, 2），F （2, 0），双曲线X2 一 * = 1，P为双曲线上一点。求IPAI+ 2|PF的最小值。解析：如图所示，双曲线离心率为2, F为右焦点，由第二定律知21 PF即点P到准线距离。.I PAI+ 11PFI=I PAI+IPEI- AM =-22二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例2.求共焦点F、

18、共准线1的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点F到准线I的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t，0） （t为参数）b 2 P =-，而 c =七 c:.b2 = pc = pt再设椭圆短轴端点坐标为P （x，y），则X = C = t消去t，得轨迹方程2 = px三. 数形结合，直观显示将“数,，与“形”两者结合起来，充分发挥“数,，的严密性和“形,，的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单 化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例3.已知X，y e R，且满足方程X2 + y2 = 3（y - 0），又m = W3，求

19、m范围。X+3.1/1/1 3V C I、, C 解析： m = 7+3的几何意义为，曲线x 2+2 一 3（-0）上的点与点（一3,3）连线的斜率，如图所示PA.3 _、.：3TPB m HH3）四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时 引用，问题就会迎刃而解。例4.已知圆3 - 3)2+ y2 = 4和直线y = mx的交点为P、Q，则IOAI0。的值为。解：A0MP A0QNI0PII0Q =I OMII0NI = 5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，

20、平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。x 2 y 2x y _例5,已知椭圆：24 +16 = 1，直线1 : 12 + 8 = 1，P是1上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足I0QI0PTOR2，当点p在1上移动时，求点。的轨迹方程。TTTTTTTT分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OR，OP 共线，设 OR = X OQ，OP =R OQ，OQ = （x，y），则 OR =（及，OP = （px，py）.I OQHOPI =I ORI2pI OQh =处成2点R在椭圆上，P点在直线1上 处 x

21、 2 * 处 y 2 i px + py i 2A +=，12 + T =x 2y 2x y+即 24 16 12 8化简整理得点Q的轨迹方程为：（x -1）2（y T）2_25+5- 1 （直线y -3 x上方部分）23六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6.求经过两圆x2 + y2 + 6x 4 - 0和x2 + y2 + 6y 28 - 0的交点，且圆心在直线x - y - 4 - 上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x2 + y 2 + 6x 一 4 + 人（x2 + y 2 + 6y 一

22、28） - （1 + 人）x2 + （1 + 人）y2 + 6x + 6Xy - （28X + 4） - （-3-3人、则圆心为（1+兀，1+元），在直线x 一 y 一 4 一 上解得人-7故所求的方程为x2 + y2 -x + 7y -32 - 七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。2 - 1相交于两点P、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。y2 例7.过点A（2, 1）的直线与双曲线x2 一解设 P (x，y ), P (x，y ),则贝 111，222，人x12 - 3 - 1x 2-k- 122得(y - y )(y + y

23、)(x - x )(x + x ) - 21 2 12y - y - 2(x + x )即 x2-x1 一 y1+n设p1p2的中点为M(x，y)，则k-匚1 -萸P1P2又kAM kP1P2x -x-一x 2-kAMy而P、A、M、P2共线即厂-萸 x- 2y PP2中点M的轨迹方程是2x2 - y2 - 4x+ y - 解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题（2个选择题，1个填空题，1个解答题），共计30分左右，考查的知识点约为20个左右.其命题一般 紧扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查直线，圆，圆锥曲线，参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲 线中的重要知

24、识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t b 0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、 a22y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.讲解：从直线1所处的位置，设出直线1的方程，由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为y = kx + m(k。0). 代入椭圆方程b2x2 + a2y2 = a2b2，得b2x2 + a2(k2x2 + 2kmx + m2) = a2b2.化简后，得关于x的一元

25、二次方程(a 2 k 2 + b 2) x 2 + 2ka2 mx + a 2 m2 a 2b2 = 0.于是其判别式 = (2ka2m)2 一4(a2k2 + b2)(a2m2 一a2b2) = 4a2b2(a2k2 + b2 一m2). 由已知，得=0 .即a2 k2 + b2 = m2. 在直线方程y = kx + m中m分别令 y=0，x=0，求得 R( ，0),S(0,m). k令顶点P的坐标为(x，y)由已知，得1mx = - kk解得y = m.k=- y xm = y.代入式并整理，得 竺+b = 1,即为所求顶点p的轨迹方程. x2 y2方程竺+企=1形似椭圆的标准方程，你能

26、画出它的图形吗？ x2 y2x 2y 22 33例3已知双曲线云 丘 -1的离心率e = ，过A(a,0),8(0, b)的直线到原点的距离是.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y = kx + 5(k丰0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.讲解：.(I) c = 2 ：3a 3,原点到直线AB：j ab ab -J 3.d =.=-=1 的距离 a 2 + b 2 c 2b = 1, a = 3 .故所求双曲线方程为 立3(2)把y = kx + 5代入x 2 一 3 y 2 = 3中消去y,整理得(1 -3k2)X2 -30kx-78 = 0.设C(x

27、yJD(x , y ),CD的中点是E(x ,y ), 11220 0_ 15 kX 0 = 1 2 2 = 1 一 3 k 2 . y 0=kx + 5 =o15 k x0+ ky0+ k = 0,即 yI,k = 3BEX00,. k 2 = 7为了求出k的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且ZF1PF2的最大值为90，直线l过左焦点 F1与椭圆交于A、B两点，ABF?的面积最大值为12.（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程.讲解（1）设I PF 1= r ,1 PF 1= r ,1 FF 1= 2c

28、对APFF ,由全核定理得讲解：（1）设 11,2 2, 12，对12,由示弦定理，得cos4PF = r： +r； 一牝2 =(尸1+,2)2-272-牝2 = %2一牝2 -1 z %2 4c2 -1 = 1 -2# = 01 22r r2r r2r r + r1 21 21 22( 1 2 2)2解出e = .2(2)考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i）当k存在时，设l的方程为y = k（x + c）椭圆方程为 x2 + 尹=1, A(x ,y ),B(x ,y )由 e = 1! 得 a2 = 2c2,b = c2 . a 2 b 21 12 2 e 2 .于是椭圆方程可转化为

29、 x2 + 2 y2 一2c2 = 0将代入，消去y得x2 + 2k2(x + c)2 - 2c2 = 0,整理为x的一元二次方程，得(1 + 2k 2)x 2 + 4ck 2 x + 2c 2(k 2 -1) = 0.,2、& 1 + k 2则X1、x2是上述方程的两根.且I x2 一气I= 1 + 2k2一一I k IAB 边上的高h =I FF I sinZBFF = 2cx,1 21 2 v1 + k 2S = 12c(1 + k 2 )上=2c2h + 2k / ,1 + k 2I ABI=1 + k2 I x 一x I= 2c(1 + k2)，2 11 + 2k 2r也可这样求解：

30、S = L FF I I y -y I2 1 2 汽七:=c I k I -1 x - x I J=2金吧普=fW； = 2、云2 |2c 2扣 4 + 1一k 4 + k 2ii)当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得)=-2c，| AB= b 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线1 : x 一 2 y = 0上. a22(1)求此椭圆的离心率；(2 )若椭圆的右焦点关于直线1的对称点的在圆x2 + y2 = 4上，求此椭圆的方程.y = x +1，讲解：(1 )设A、B两点的坐标分别为A(x ,y ),B(x ,y ).则由 x2 y2得、1 12 2+ 厂=1I a 2 b 2(

31、a 2 + b 2) x 2 2a 2 x + a 2 a 2b 2 2a22b2x + x =, y + y (x + x ) + 2 =根据韦达定理，得12a 2 + b 212*1/a 2 + b 2a 2线段ab的t中点坐标为（a oTbr）.a 22b 2由已知得ET OTb2，a2 2b2 2(a2 c2)a2 2c2，故椭圆的离心率为 e .（2 ）由（1 ）知b = c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，）,设F（b，0）关于直线I:工-2y = 0的对称点为(x ,y )，则* = -1且 * -2x * = 0,解得工=3b且y =bo % xo - b 222 解得 o 5

32、o 5x2 + y2 = 4, ( b)2 + ( b)2 = 4, b2 = 4+ = 1由已知得，故所小的椭圆方程为.0055o 4例6 已知OM： x2 + (y 2)2 = 1,。是轴上的动点，QA, QB分别切。M于A, B两点，e4（2 讲解：（1）由 |AB |=-，可得程.（1）如果1 AB |= 3，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方I AB I.2沱11MP=(MA|2-(p )2 =,12-(_)2 = 3, 由射影定理，得I MB|2 =| MPI I MQI,得I MQ 1= 3,在 rmoq 中，I OQ I= .MQ I2 - I MO I2 =%

33、; 32 22 = %； 5，故 a = v 5或a = 5，所以直线 ab 方程是 2x + * 5y - 2*：5 = O或2x- t5y + 2.5 = 0;（2）连接 MB，MQ，设 P（x，y）,Q（a,0）,由点 M，P，Q 在一直线上，得二；=，（*）ax由射影定理得IMBI2 =I MPI IMQI,即 vx2 +（y - 2）2 a2 + 4 = 1,（*）c/ A _ 1 / OA把（*）及（*）消去 a，并注意到丁 2，可得x2 +（y 一4）2 = 16（y。2）.适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图，在 RtAABC

34、中，匕CBA=90，AB=2, AC= ?。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在E上运动，且保持| PA |+| PB的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；DM（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设商7定实数入的取值范围.讲解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示.| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y= + 2+(芸=2声动点p的轨迹是椭圆.a = 0,8kX + X = ,6122k 2 +16X X ./1 22k 2 +1i) L与y轴重合时，入ii) L与y轴不重合时，DM x x

35、xDNx -xxx2 气 x 0,1/.0 入 2.6 3(2 +321*+ 土)k 2161,.4 人+ + 2 3 , . 人163X 1.的取值范围是3，1 0 X 1, c 2 1 10 L 1c 2 X + X 2,值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.例8直线1过抛物线J2 = 2px(P。0)的焦点，且与抛物线相交于A(气，J1)和8(x2, J2)两点.(1)求证：4x1 x2 = p2 ; (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (|,0).若lx轴，则l的方程为X = 5显然管2

36、= p .若l不垂直于x轴，可设y = k(x - p，代入抛物线方程整理得X2 - P(1 + k)x + p = 0,则0气 = p .综上可知 4x1x2 = P2 .(2)设C(乌,c),D(至,)且3 d，则CD的垂直平分线1的方程为y - c + d =-c + d (X - C 2 + d 2) 2 p2 p22 p4 p假设1 过 F,则 0 C + d =-C + d (p - C2+ d 2)整理得(c + d )(2 p 2 + c 2 + d 2) = 0 p。022 p 24 p2 p 2 + C 2 + d 2丰0, + d = 0.这时/的方程为y=0,从而与抛物

37、线y 2 = 2 px只相交于原点.而l与抛物线有两个不同的交 点，因此1与l不重合，l不是CD的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉 课本！例9某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m， PB=150m，ZAPB=60，试说明怎样运土石最省工？讲解：以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的 点为 M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA| |MB|=|BP| |AP|=50, I AB 1= 50, ,.M在双曲线匚 =1的右支上.252 252 x 6故曲线右侧的土石层经道口 B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口 A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.